黑龙江省大庆市林甸县第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（PDF版含解析）

林甸县第一中学 2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
考生注意：
1．本试卷满分 150分，考试时间 120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，．在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．作．答．无．效．。．
3．本卷命题范围：选择性必修二（第五章），选择性必修三（6.1~7.3）。
一、选择题：本大题共 8小题；每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1．完成一件事有三类不同方案，在第 1类方案中有 4种不同的方法，在第 2类方案中有 5种不同的方法，在
第 3类方案中有 6种不同的方法，那么完成这件事共有 N种不同的方法，其中 N＝（ ）
A．15 B．6 C．24 D．120
2．甲、乙两同时去乘坐地铁，一列地铁有 8节车厢，两人进入车厢的方法数共有（ ）
A．15种 B．30种 C．36种 D．64种
3．已知函数 f x x 1 ， f x 是 f x 的导函数，则 f 1 （ ）
x
1
A．1 B． C．0 D． 1
2
6

4．在 x
2
的展开式中．常数项为
x
A．256 B．240 C．192 D．160
5．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为 0.6，0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为 0.9，0.8，
则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.72 B．0.96 C．0.84 D．0.86
6．某省进行高考改革，要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这 6科中选 3科参加考试，规定先
从物理和历史中任选 1科，然后从其他 4科中任选 2科，不同的选法种数为（ ）
A．5 B．12 C．20 D．120
7．函数 f x 1 x3 x2 ax 5在区间 1,2 上不单调，则实数 a的取值范围是（ ）
3
A． 3,1 B． , 3 C． 1, D． , 3 1,
8．已知 f x 是可导的函数，且 f x f x 对于 x R 恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）
A f 1 ef 0 f 2023 e2023． ， f 0 B． f 1 ef 0 ， f 1 e2 f 1
C． f 1 ef 0 ， f 1 e2 f 1 D． f 1 ef 0 f 2023 e2023， f 0
二、选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
2x 1 09．若 a0 a1x a2x2 a 1010x ， x R ，则（ ）
A． a0 2 B． a0 1
C． a0 a1 a a 3
10
2 10 D． a0 a1 a2 a10 3
10．已知 X的分布列为
X 1 0 1
1 1
P a
2 6
则下列说法正确的有（ ）
1
A． P X 0 B． E X 1 C．D X 23 1 D． P X 1
3 3 27 2
11．已知曲线 f x 2x ln x在点 1, f 1 2处的切线与曲线 g x ax a 1 x 1有且只有一个公共点，
则实数 a的值可以是（ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．2
12．已知函数 f x 的导函数为 f x ，若 f x xf x 2 f x x对 x 0, 恒成立，则下列不等式
中，一定成立的是（ ）
A． f 1 f B． f 1 f
f 2 f 2f 1 1 1C． D． f 1
4 2 4 2
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13． A3 C35 8 ______．
14．某班一天上午有 4 节课，下午有 2 节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6
堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是______．
15．为了备战 2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得 1分，负者得 0分，
2
热身进行到有一人比对方多 2分或打满 6局时停止．设丁俊晖在每局中获胜的概率为 ，赵心童在每局中获
3
1
胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为 ，则 E ______．
3
16 y x x．对于函数 (x 0) x可以采用下列方法求导：由 y x 可得 ln y ln x，两边求导可得 y 1 ln x 1，
y
故 y y ln x 1 xx ln x 1 ln x 2，根据这一方法，可得函数 f x x (x 0)的极小值为______．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
417．（10分）若 2x 3 a0 a1x a 22x a x 43x a4x ．
（1）求 a1 a2 a3 a4 的值；
a a a 2 2（2）求 0 2 4 a1 a3 的值．
18．（12分）在学校组织的足球比赛中，某班要与其他 4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班
级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．
（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；
（2）若胜场次数为 X，求 X的分布列．
19．（12分）南京军区某部警卫连炊事班的 6位战友欲合影留念，现排成一排．
（1）如果 A，B两人不排在一起，有几种排法？
（2）如果 A，B两人必须排在一起，有几种排法？
（3）如果 A不在排头，B不在排尾，有几种排法？
20．（12分）
已知函数 f x 2ln x a 2，其中 a 0．
x
（1）若函数在 x 1处取得极值，求实数 a的值；
（2）若函数 f x 1在 1, 上恒成立，求实数 a的取值范围．
21．（12分）为了备战 2024年法国巴黎奥运会（第 33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队女子 50米汽步枪
（三姿）队员苗婉如、张琼月两名运动员展开队内对抗赛，比赛得分为两个相互独立的随机变量 与 ，且 ，
的分布列为：
1 2 3
P a 0.1 0.6
1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求 a，b的值；
（2）计算 ， 的期望与方差，并以此分析苗婉茹、张琼月技术状况．
22．（12分）已知函数 f x ax x2 x ln a．
（1）当 a e时，若函数 g x f x m有 2个零点，求实数 m的取值范围；
f x1 f x2 1
（2）已知 a 0且 a 1，且 x1， x2 1,1 ， 1，求实数 a的取值范围．e
林甸县第一中学 2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 由题意得： N 4 5 6 15．
2．D 每人都可以进入地铁中的任何一节车厢，每个人都有 6种方法，所以两人进入车厢的方法数共有 8×8
＝64 种方法．
f x 1 13．C 2 ， f 1 0．x
6 r
x 2 T C rx6 r 2 r
6 3 r r 3
4．B 二项式 展开式的通项为 r 1 6 C x 26 2 ，令6 r 0，解得 r 4，
x x 2
T C 4x0 4所以 4 1 6 2 240．
5．D 设事件 A表示甲正点到达目的地，事件 B表示甲乘火车到达目的地，事件 C表示甲乘汽车到达目的地，
由题意知 P B 0.4，P C 0.6，P A | B 0.8， P A |C 0.9．由全概率公式得
P A P B P A | B P C P A |C 0.4 0.8 0.6 0.9 0.32 0.54 0.86．
6．B 从物理和历史中任选 1科，有C 21 2种，然后从其他 4科中任选 2科，有C
2
4 6种，共有 2 6 12种．
7．A f x x2 2x a，当 x 1,2 时， f x a 1,a 3 ，要使函数 f x 在区间 1,2 上不单
a 1 0,
调，则 解得 3 a 1．
a 3 0,
f x f
xg x g x f x 8．C 设 x ，则 x ，∵ f x f x ，∴ g x 0，即 g x 在 R上单调e e
f 1 f 0
递减，∴ g 1 g 0 ，即 0 ，即 f 1 ef 0 ，故选项 A 不正确； g 2023 g 0 ，即e e
f 2023 f 0 f 1 f 12023 ，即 f 2023 e2023 f 0 ，故选项 D 不正确； g 1 g 1

，即 ，即
e e0 e e 1
f 1 e2 f 1 ．故选项 B不正确．
10
9．BC ∵ 2x 1 a0 a1x a2x2 a 1010x ，x R ，令 x 0，得 a0 1，故 A错误、B正确；令 x 1，
得 a0 a1 a2 a 3
10
10 ，故 C正确，D错误．
1 1 1 1
10 ． ABD 由 分 布 列 的 性 质 可 知 a 1 ， 即 a ． ∴ P X 0 ， 故 A 正 确 ；
2 6 3 3
2 2
E X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 0 1 ，故 B正确；D X 1
0 1 ，
2 3 6 3 3 2 3 3 3 6 9
故 C错误； P X 1 P X 0 P X 1 1 ，故 D正确．故选 ABD．
2
1
11．AC 由 f x 2 ，则 f 1 1，而 f 1 2 ，∴ 1, f 1 处的切线方程为 y 2 x 1，即
x
x y 1 0 ． 又 x y 1 0 与 g x 2有 一 个 公 共 点 ， ∴ ax a 1 x 1 x 1 ， 整 理 得
ax2 a 2 x 2 0．当 a 0时， a 2 2 8a 0，可得 a 2；当 a 0时，显然只有一个解，
符合题设．∴ a 0或 a 2．
f x x f x f x 1 x2 2x f x x
12．AD 设 g x 2 ， h x ，则 g x x x x4
xf x 2 f x x xf
x f x
3 ， h x

2 ．因为 f x xf x 2 f x x对 x 0, 恒成立，x x
所以 g x 0，h x 0，所以 g x 在 0, 上单调递减，h x 在 0, 上单调递增，则 g 1 g 2 ，
f 1 1 f 2 2 f 2h 1 h ，即 2 2 ， f 1 f
1
，即 f 1 ．故选 AD
1 2 4 2
A3 C3 5 4 3 8 7 613．4 5 8 60 56 4．3 2 1
14．192 由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有C1C14 2 8种；再排其余 4节．根据乘法原理，
共有8 24 192种方法．
266
15． 依题意知， 的所有可能值为 2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
81
2
2 2
1 5
．若该轮结束时比赛还将继续，则丁俊晖、赵心童在该轮中必是各得一份，该轮比赛结果对
3 3 9
5 4 5 20 4 2 16
下轮比赛是否停止没有影响．从而有 P 2 ， P 4 ， P 6 ，故
9 9 9 81 9 81
E 2 5 20 16 266 4 6 ．
9 81 81 81
1 f x16． ∵ ln f x ln x 2 ln x 2ln x 2，∴ ，∴ f x 2 ln x 1 xln x 1，∴ f x 1 在 0,e f x x e
1
1 1 1
ln 2
e 1
上单调递减，在 , 上单调递增，∴ f x 的极小值为 f ．
e e e e
17 1 42x 3 a a x a 2 3．解：（ ）∵ 0 1 2x a3x a 44x ，
令 x 1，可得 2 3 4 4 a0 a1 a2 a3 a4 ；令 x 0，可得 0 3 a0．
4 4
∴ a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 a0 2 3 0 3 88 56 3 ．
4
（2）∵ 2x 3 a0 a1x a2x 2 a x 3 43 a4x ，
4令 x 1，可得 2 3 a0 a1 a2 a3 a4 ；①
4
令 x 1，可得 2 3 a0 a1 a2 a3 a4 ．②
a a a 2 2结合①②可得， 0 2 4 a1 a3
4 4
a0 a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 a5 2 3 2 3 1．
18．解：（1）若胜一场，则其余为平，共有C14 4种情况；
若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 2C14 2 C
2
4 18种情况；
若胜散场，则其余一场为负或平，共有C34 2 8种情况；
若胜四场，则只有 1种情况．综上，共有 4+18+8+1＝31中情况．
4 18
（2）X的可能取值为 1，2，3，4，由（1）可得： P X 1 ，P X 2 ，
31 31
P X 1 4 ，所以 X的分布列为：
31
X 1 2 3 4
4 18 8 1
P
31 31 31 31
19．解：（1）将 A，B插入到其余 4人所形成得 5个空中，因此，排法种数为 A4 24 A5 24 20 480．
（2）将 A，B两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他 4人去安排，因此，排法种数为 A22 A
5
5 2 120 240．
（3）分以下两种情况讨论：
①若 A在排尾，则剩下的 5人全排列，故有 A55 120种排法；
②若 A不在排尾，则 A有 4 个位置可选，B有 4个位置可选，将剩下得 4人全排列，安排在其它 4 个位置即
可，此时，共有C1 1 44C4A4 384种排法．
综上所述，共有120 384 504种不同的排法种数．
20．解：（1）依题意，函数 f x 的定义域为 0, ，
求导得： f x 2 a 2 ，因为函数 f x 在 x 1处取得极值，则有 f 1 2 a 0，x x
2 2 2 x 1
解得 a 2，此时， f x ，
x x2 x2
当0 x 1时， f x 0，当 x 1时， f x 0，
因此函数 f x 在 x 1处取得极值，则 a 2，所以实数 a的值是 2．
（2）因为 x 1, ， f x 1 a等价于 2ln x 2 1，等价于 a 3x 2x ln x．
x
令 g x 3x 2x ln x， x 1，则 g x 3 2 1 ln x 1 2ln x．
当1 x e 时， g x 0；当 x e时， g x 0；
所以 g x 在 1, e 上单调递增，在 e , 上单调递减，
因此，当 x e时， g x g e 3 e 2 e ln e 2 e ，max
故 a 2 e，所以实数 a的取值范围是 2 e, ．
21．解：（1）由离散型随机变量的分布列的性质可知 a 0.1 0.6 1，∴ a 0.3．
同理0.3 b 0.3 1，b 0.4．
（2）E 1 0.3 2 0.1 3 0.6 2.3，E 1 0.3 2 0.4 3 0.3 2，
D 1 2.3 2 0.3 2 2.3 2 0.1 3 2.3 2 0.6 0.81，
D 1 2 2 0.3 2 2 2 0.4 3 2 2 0.3 0.6．
由于 E E ，说明在一次射击中，苗婉茹的平均得分比张琼月高，但 E D ，说明苗婉茹得分
的稳定性不如张琼月，因此苗婉茹、张琼月两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．
22 x 2 x．解：（1）令 g x 0，即 f x m，而 f x e x x，故 f x e 2x 1，
注意到 f x 在 R上单调递减，且 f 0 0，
故当 x ,0 时， f x 0，当 x 0, 时， f x 0，故 f x f 0 1，min
而当 x 时， f x ，当 x 时， f x ，
故m 1，即实数 m的取值范围为 1, ．
f x1 f x2 1
（2） 1 f x1 f x2 1 e f x1 f x2 e 1；e
记函数 f x 在 1,1 上的最大值为 M，最小值为 N，故M N e 1，
x
而 f x a ln a ln a 2x， f 0 0， f x a x ln a 2 2 0，故 f x 为增函数；
故当 x 0时， f x 0，函数 f x 单调递增；当 x 0时， f x 0，函数 f x 单调递减；
故N f 0 1，M max f 1 , f 1 ，
设u a f 1 f 1 a 1 2ln a，令u x x 1 2ln x(x 0)，则u 1 0，
a x
2
u x 1 1 2 1 1 因为 2 0，故u x 在 0, 上单调递增，x x x
故当 a 1时，u a 0，此时M f 1 ，当 0 a 1时，u a 0，此时M f 1 ．
当 a 1时，M N a ln a，设G x x ln x(x 1)，
故G x 1 1 0，故G x 在 1, 上单调递增；
x
又G e e 1，故 a ln a e 1，得G a G e a e．
1 1 1
当0 a 1时，M N ln a， 1，由 ln a e 1，
a a a
G 1 G e 1 1 e 0 a 1 得 ，故实数 a的取值范围为 0, e, ．
a a e e