【细解】初中数学鲁教版七年级上册第六章一次函数5一次函数的应用第2课时两个一次函数的综合应用
一、素养提优
1．如图所示，l甲，l乙分别是甲、乙两弹簧的长y(cm) 与所挂物体质量x(kg)之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹．簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（ ）
A．k甲>k乙 B．k甲=k乙 C．k甲【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图象可知，l甲的倾斜程度大于l乙的倾斜程度，
∴|k甲|＞|k乙|，
∵直线l甲、l乙的解析式中一次项系数均大于0，
∴k甲＞k乙.
故答案为：A.
【分析】观察函数图象可知l甲的倾斜程度大于l乙的倾斜程度，由此可得到|k甲|＞|k乙|，再根据两函数图象都经过一、三象限，由此可得到k甲与k乙的关系.
2．为使冬季“天更蓝、房更暖”，某市决定实施“煤改气"供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，有下列说法：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x=4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图象可知：
甲6小时挖了600米，
∴甲队每天挖600÷6=100米，故①正确；
∵乙开挖2天，挖了300米
∴乙队开挖两天后，每天挖（500-300）÷（6-2）=50米，故②正确；
∵甲队4天挖100×4=400米；
乙队4天挖300+2×50=400米
∴当x=4时，甲、乙两队所挖管道长度相同，故③正确；
∵乙队完成的时间为6+（600-500）÷50=8天，
甲队需6天完成，
∴甲队比乙队提前2天完成任务，故④正确；
∴正确的结论：①②③④共4个.
故答案为：D.
【分析】利用函数图象可知甲6小时挖了600米，可求出甲每天挖的长度，可对①作出判断；乙开挖2天，挖了300米，利用图象可求出乙队开挖两天后，每天所挖的长度，可对②作出判断；分别求出甲乙挖4天的长度，可对③作出判断；然后求出乙队完成的时间和甲队完成的时间，可对④作出判断.
3．如图所示，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司盈利(收入大于成本)时，销售量（ ）
A．小于3 t B．大于3 t C．小于4 t D．大于4 t
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图象可知当x＞4时，盈利收入大于成本，即l1＞l2.
故答案为：D.
【分析】观察函数图象，可知当x＞4时，盈利收入大于成本，即可求解.
4．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y(米)与时间t(秒)之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为 米．
【答案】2200
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设小明从1600米处到终点的速度为a米/秒，小刚从1400米处到终点的速度为b米/秒，
解之：
∴这次越野跑的全程为1600+300×2=2200.
故答案为：2200.
【分析】设小明从1600米处到终点的速度为a米/秒，小刚从1400米处到终点的速度为b米/秒，利用函数图象，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值；然后列式求出这次越野跑的全程.
5．A，B两地相距20 km，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶．甲出发1小时后乙再出发．乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发 小时后和乙相遇．
【答案】
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设y甲=kt（k≠0），图象经过（5，20），
∴5k=20
解之：k=4.
∴y甲=4t（0≤t≤5）；
∵甲出发1小时后乙再出发．乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，
∴乙：当x=2时y=2；当x=4时y=20；
设y乙=mt+b（m≠0）
∴
解之：
∴y乙=9t-16（2≤t≤4）.
∴
解之：
∴甲出发小时后和乙相遇．
故答案为：.
【分析】观察函数图象，可得关键点的坐标；设y甲=kt（k≠0），图象经过（5，20），代入计算可求出函数解析式；再根据甲出发1小时后乙再出发．乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，可知当x=2时y=2；当x=4时y=20；设y乙=mt+b（m≠0）将两点坐标代入，可求出m，b的值，即可得到函数解析式；然后将两函数解析式联立方程组，解方程组求出t的值，即可求解.
6．如图，一次函数y=x+3的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数y=kx的图象交于点B(-1，m)．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若点D是x轴上的点，且△OBD的面积和△OBA的面积相等，求满足条件的点D的坐标．
【答案】（1）解：由一次函数与正比例函数交于点B(- 1，m)，
当x=-1时，得出y=2，即m=2，
将B(-1，2)代入y=kx，得-k=2，即k=-2．
答：y=-2x
（2）解：∵A为y=x+3与y轴的交点，
∴A为(0，3)，
∵B(- 1，2)，
∴△OBA的面积为3×1÷2=1.5；
又∵△OBD的面积与△OBA的面积相同，
∴△OBD的面积为1.5，
∵△OBD的高为2，
∴OD=1.5×2÷2=1.5；
答：D(1.5，0)或(-1.5，0)．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数函数解析式，可求出m的值，即可得到点B的坐标；然后将点B的坐标代入正比例函数解析式，求出k的值，由此可得正比例函数解析式.
（2）利用一次函数解析式求出点A的坐标，利用三角形的面积公式求出△OBA的面积；再根据△OBD的面积和△OBA的面积相等，可求出△OBD的高，由此可求出OD的长，即可得到点D的坐标.
7．（2020·河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下.
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；
设某学生暑期健身x(次)，按照方案一所需费用为 ，(元)，且 ；按照方案二所需费用为 (元) ，且 其函数图象如图所示.
（1）求 和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和 的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少 说明理由.
【答案】（1）解：由图象可得： 经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得： ，
解得： ，
即k1=15，b=30，
k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）解：设打折前的每次健身费用为a元，
由题意得：0.6a=15，
解得：a=25，
即打折前的每次健身费用为25元，
k2表示每次健身按八折优惠的费用，故k2=25×0.8=20；
（3）解：由（1）（2）得： ， ，
当小华健身8次即x=8时，
， ，
∵150<160，
∴方案一所需费用更少，
答：方案一所需费用更少.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得 和 的值，再根据函数表示的实际意义说明即可；（2）设打折前的每次健身费用为a元，根据（1）中算出的 为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到 的值；（3）写出两个函数关系式，分别代入x=8计算，并比较大小即可求解.
二、体验中考
8．（2020·恩施）甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）.
A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为
C．乙车比甲车先到 城 D．乙车比甲车先出发
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】由图象知：
A.甲车的平均速度为 = ，故此选项正确；
B.乙车的平均速度为 ，故此选项正确；
C.甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确；
D.甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，
故答案为：D.
【分析】观察图像整个行程中汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系即可求解.
9．（2021八上·成华期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y=x+5和直线y=ax+b，相交于点P ，根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：求一元一次方程x+5=ax+b的解，可以转化为求直线y=x+5，和直线y=ax+b交点的问题.由函数图象可知，两直线交点的横坐标为20，故x+5=ax+b的解为x=20，故答案为A.
【分析】理解“一元一次方程”和“一次函数”的关系，将一元一次方程解的问题可转化为一次函数与图像交点的问题，结合本题，x+5=ax+b可以看做直线直线y=x+5，和直线y=ax+b求交点时，形成的二元一次方程组消去y后的结果.
10．如图，正比例函数的图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是
【答案】y=-2x
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵函数y=-x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，
当y=2时-x+1=2
解之：x=-1
∴点P（-1，2），
设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）
∴-k=2
解之：k=-2
∴正比例函数解析式为y=-2x.
【分析】将y=2代入一次函数解析式，可求对应的x的值，可得到点P的坐标，设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）再将点P的坐标代入，可求出k的值，即可得到正比例函数解析式.
11．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x-1与直线y=-2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A，B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积．
【答案】（1）解：由y= x-1，y=-2x+2，得 x-1=-2x+2．
解得x=2，所以y= ×2-1=-2．
所以P(2，-2)
（2）解：直线y= x-1与直线y=-2x+2中，
令y=0，则 x-1=0与-2x+2=0，
解得x=-2与x=1，
所以A(- 2，0)，B(1，0)，
所以AB=3，
所以S△PAB= AB·|yp|= ×3×2=3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将两函数解析式联立方程组，解方程组可求出点P的坐标.
（2）由y=0分别求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，利用点A，B的坐标求出AB的长；然后利用三角形的面积公式求出△PAB的面积.
1 / 1【细解】初中数学鲁教版七年级上册第六章一次函数5一次函数的应用第2课时两个一次函数的综合应用
一、素养提优
1．如图所示，l甲，l乙分别是甲、乙两弹簧的长y(cm) 与所挂物体质量x(kg)之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹．簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（ ）
A．k甲>k乙 B．k甲=k乙 C．k甲2．为使冬季“天更蓝、房更暖”，某市决定实施“煤改气"供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，有下列说法：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x=4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司盈利(收入大于成本)时，销售量（ ）
A．小于3 t B．大于3 t C．小于4 t D．大于4 t
4．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y(米)与时间t(秒)之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为 米．
5．A，B两地相距20 km，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶．甲出发1小时后乙再出发．乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发 小时后和乙相遇．
6．如图，一次函数y=x+3的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数y=kx的图象交于点B(-1，m)．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若点D是x轴上的点，且△OBD的面积和△OBA的面积相等，求满足条件的点D的坐标．
7．（2020·河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下.
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；
设某学生暑期健身x(次)，按照方案一所需费用为 ，(元)，且 ；按照方案二所需费用为 (元) ，且 其函数图象如图所示.
（1）求 和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和 的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少 说明理由.
二、体验中考
8．（2020·恩施）甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）.
A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为
C．乙车比甲车先到 城 D．乙车比甲车先出发
9．（2021八上·成华期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y=x+5和直线y=ax+b，相交于点P ，根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
10．如图，正比例函数的图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是
11．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x-1与直线y=-2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A，B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图象可知，l甲的倾斜程度大于l乙的倾斜程度，
∴|k甲|＞|k乙|，
∵直线l甲、l乙的解析式中一次项系数均大于0，
∴k甲＞k乙.
故答案为：A.
【分析】观察函数图象可知l甲的倾斜程度大于l乙的倾斜程度，由此可得到|k甲|＞|k乙|，再根据两函数图象都经过一、三象限，由此可得到k甲与k乙的关系.
2．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图象可知：
甲6小时挖了600米，
∴甲队每天挖600÷6=100米，故①正确；
∵乙开挖2天，挖了300米
∴乙队开挖两天后，每天挖（500-300）÷（6-2）=50米，故②正确；
∵甲队4天挖100×4=400米；
乙队4天挖300+2×50=400米
∴当x=4时，甲、乙两队所挖管道长度相同，故③正确；
∵乙队完成的时间为6+（600-500）÷50=8天，
甲队需6天完成，
∴甲队比乙队提前2天完成任务，故④正确；
∴正确的结论：①②③④共4个.
故答案为：D.
【分析】利用函数图象可知甲6小时挖了600米，可求出甲每天挖的长度，可对①作出判断；乙开挖2天，挖了300米，利用图象可求出乙队开挖两天后，每天所挖的长度，可对②作出判断；分别求出甲乙挖4天的长度，可对③作出判断；然后求出乙队完成的时间和甲队完成的时间，可对④作出判断.
3．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图象可知当x＞4时，盈利收入大于成本，即l1＞l2.
故答案为：D.
【分析】观察函数图象，可知当x＞4时，盈利收入大于成本，即可求解.
4．【答案】2200
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设小明从1600米处到终点的速度为a米/秒，小刚从1400米处到终点的速度为b米/秒，
解之：
∴这次越野跑的全程为1600+300×2=2200.
故答案为：2200.
【分析】设小明从1600米处到终点的速度为a米/秒，小刚从1400米处到终点的速度为b米/秒，利用函数图象，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值；然后列式求出这次越野跑的全程.
5．【答案】
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设y甲=kt（k≠0），图象经过（5，20），
∴5k=20
解之：k=4.
∴y甲=4t（0≤t≤5）；
∵甲出发1小时后乙再出发．乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，
∴乙：当x=2时y=2；当x=4时y=20；
设y乙=mt+b（m≠0）
∴
解之：
∴y乙=9t-16（2≤t≤4）.
∴
解之：
∴甲出发小时后和乙相遇．
故答案为：.
【分析】观察函数图象，可得关键点的坐标；设y甲=kt（k≠0），图象经过（5，20），代入计算可求出函数解析式；再根据甲出发1小时后乙再出发．乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，可知当x=2时y=2；当x=4时y=20；设y乙=mt+b（m≠0）将两点坐标代入，可求出m，b的值，即可得到函数解析式；然后将两函数解析式联立方程组，解方程组求出t的值，即可求解.
6．【答案】（1）解：由一次函数与正比例函数交于点B(- 1，m)，
当x=-1时，得出y=2，即m=2，
将B(-1，2)代入y=kx，得-k=2，即k=-2．
答：y=-2x
（2）解：∵A为y=x+3与y轴的交点，
∴A为(0，3)，
∵B(- 1，2)，
∴△OBA的面积为3×1÷2=1.5；
又∵△OBD的面积与△OBA的面积相同，
∴△OBD的面积为1.5，
∵△OBD的高为2，
∴OD=1.5×2÷2=1.5；
答：D(1.5，0)或(-1.5，0)．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数函数解析式，可求出m的值，即可得到点B的坐标；然后将点B的坐标代入正比例函数解析式，求出k的值，由此可得正比例函数解析式.
（2）利用一次函数解析式求出点A的坐标，利用三角形的面积公式求出△OBA的面积；再根据△OBD的面积和△OBA的面积相等，可求出△OBD的高，由此可求出OD的长，即可得到点D的坐标.
7．【答案】（1）解：由图象可得： 经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得： ，
解得： ，
即k1=15，b=30，
k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）解：设打折前的每次健身费用为a元，
由题意得：0.6a=15，
解得：a=25，
即打折前的每次健身费用为25元，
k2表示每次健身按八折优惠的费用，故k2=25×0.8=20；
（3）解：由（1）（2）得： ， ，
当小华健身8次即x=8时，
， ，
∵150<160，
∴方案一所需费用更少，
答：方案一所需费用更少.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得 和 的值，再根据函数表示的实际意义说明即可；（2）设打折前的每次健身费用为a元，根据（1）中算出的 为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到 的值；（3）写出两个函数关系式，分别代入x=8计算，并比较大小即可求解.
8．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】由图象知：
A.甲车的平均速度为 = ，故此选项正确；
B.乙车的平均速度为 ，故此选项正确；
C.甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确；
D.甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，
故答案为：D.
【分析】观察图像整个行程中汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系即可求解.
9．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：求一元一次方程x+5=ax+b的解，可以转化为求直线y=x+5，和直线y=ax+b交点的问题.由函数图象可知，两直线交点的横坐标为20，故x+5=ax+b的解为x=20，故答案为A.
【分析】理解“一元一次方程”和“一次函数”的关系，将一元一次方程解的问题可转化为一次函数与图像交点的问题，结合本题，x+5=ax+b可以看做直线直线y=x+5，和直线y=ax+b求交点时，形成的二元一次方程组消去y后的结果.
10．【答案】y=-2x
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵函数y=-x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，
当y=2时-x+1=2
解之：x=-1
∴点P（-1，2），
设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）
∴-k=2
解之：k=-2
∴正比例函数解析式为y=-2x.
【分析】将y=2代入一次函数解析式，可求对应的x的值，可得到点P的坐标，设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）再将点P的坐标代入，可求出k的值，即可得到正比例函数解析式.
11．【答案】（1）解：由y= x-1，y=-2x+2，得 x-1=-2x+2．
解得x=2，所以y= ×2-1=-2．
所以P(2，-2)
（2）解：直线y= x-1与直线y=-2x+2中，
令y=0，则 x-1=0与-2x+2=0，
解得x=-2与x=1，
所以A(- 2，0)，B(1，0)，
所以AB=3，
所以S△PAB= AB·|yp|= ×3×2=3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将两函数解析式联立方程组，解方程组可求出点P的坐标.
（2）由y=0分别求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，利用点A，B的坐标求出AB的长；然后利用三角形的面积公式求出△PAB的面积.
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