圆和圆的位置关系实录

圆和圆的位置关系
生活中我们经常见到或用到许多的圆，这节课我们共同研究圆和圆的位置关系。
回忆：直线与圆有哪几种位置关系？六组四号，相离、相切、相交，各位置关系中圆心与直线的距离d和半径r的大小关系分别是什么？二组四号：相离时d>r；相切d=r；相交d圆与圆是否也有类似的位置关系呢？请大家取出准备好的半径不等的两圆环，同桌合作找出半径不同的两个圆有哪几种位置关系。……
好，你找出了几种？三种、四种、五种……，看来意见不统一嘛，谁的正确？一起来验证：事物的变化总是由量变到质变的过程，两圆运动到一定程度就会产生新的位置关系。下面我们就来解剖整个运动过程，注意数出有几种位置关系：这一阶段都是同一种，我们暂时称为第一种；继续，第二种、第三种、第四种、第五种；同心圆属于第五种，继续，第四种、第三种、第二种，之后都属于第一种。所以半径不同的两个圆有且只有这五种位置关系。
与直线和圆的位置关系类似，我们称第三种为相交；第二种与第四种是相切，其中（2）为外切，（4）是内切；同理（1）为外离，（5）为内离，注意，图（5）中一个圆被另一圆所包含，我们称之内含更为贴切。
外离、外切、相交、内切、内含这五种位置关系的区别在哪儿呢？
公共点的个数不同，外离和内含没有，外切、内切有一个，准确地说是：有且只有一个，数学中称之唯一。相交有两个。
两圆只要有两个公共点，就一定是相交，那么有唯一公共点的外切与内切，没有公共点的外离与内含如何区分呢？小组讨论。
……
好，同学们讨论的很激烈，先看外离时，四组一号，外离时，每个圆上的点都在另一个圆的外部；内含时，一个圆上的点都在另一个圆的内部，很好请坐。想一想，如果我将外离说成：一个圆上的点都在另一个圆的外部，行不行？不行，请站起来说，不行，为什么？内含时红圆上的点也都在另一个圆的外部，但显然不是外离，很好，请坐；所以，数学语言力求严谨。再看外切，注意看图，八组二号，外切时，除公共点外每个圆上的点都在另一个圆的外部；很好，请坐。与之对应，内切时…一组三号，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的内部，内切、外切统称相切，唯一的公共点就称为切点，请坐。下面请大家结合图形理解熟记半径不同的两个圆的这五种位置关系。
知识源于生活，用于生活。我们看一看奥运五环和轴承的各个圆分别存在哪几种位置关系？同桌分工，一人说一个。
……
好了，奥运五环中有几种？两种，哪两种？相离、相交。轴承中呢？五组三号，黑圆与紫圆内切、篮圆与黑圆外切，小组内有没有补充？紫圆与篮圆内含、黑圆与黑圆外离，共四种，非常好，都请坐。
我们知道，圆是轴对称图形，对称轴是，任一直径所在的直线，有多少条？无数条。两个圆组成的图形呢？……
我们把通过两圆圆心的直线称为连心线，可以发现，任意位置关系的两个圆沿连心线对折都重合，即由两个圆组成的图形是，轴对称图形，对称轴是，连心线。另外两圆相交时，两交点是对称点，当两交点逐渐靠近融为一点时，该点一定在对称轴上，即两圆外切时，切点在对称轴上也可以说成在连心线上；同理，两圆内切时切点也在连心线上，总之，如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，即切点、两圆圆心三点共线，有兴趣的同学课后可以用反证法证明这一结论。
前面我们复习到：当半径一定时，直线与圆位置关系由圆心与直线的距离d的大小决定；类似的，两圆半径一定时，其位置关系由什么决定呢？七组二号，由两圆的距离决定，有没有不同意见，你说，由两圆圆心的距离决定，哪种说法更准确，第二种，都请坐，两圆圆心之间的距离简称圆心距，一般用d来表示。下面小组讨论：各位置关系中圆心距d与半径R、r有怎样的关系？
……
好，看图，根据相切时连心线经过切点，所以外切时d=R+r，内切时，三组三号，d=R-r，注意，圆心距d不能为负，所以要注明，R>r，也可给R-r套上绝对值，好，请坐；继续，外离时，d>R+r；内含时，九组二号，d r），可以无限小吗？（d>0）,其它组有没有不同意见？你说，0≤d,为什么？d=0时两个圆是同心圆，也是内含。好，考虑问题很周全，都请坐。再看相交时，四组一号，R-r＜d＜R+r，R>r依据是：三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，他说的对不对？对，没有不同意见吗？……注意看，两圆内切、内含时半径能不能相等，不能，两圆相交时半径能不能相等呢？能，所以R要≥r，好，请坐。
在这里我们注意两点：第一、根据两圆外切可推出d=R+r,反之，根据d=R+r也可判定两圆外切，其它位置关系也是如此；各位置关系中R与r的大小关系；第二，大家在记忆以上规律时可将外切时d=R+r，内切时d=R-r，R>r,做为两个分界点，结合图形系统记忆。
学以致用，看一个练习，圆O的半径为5cm，点P是圆外一点，OP=8cm，以P为圆心，做圆P与圆O外切，求圆P的半径。一起分析：要求半径，首先我们要画出圆P与圆O外切，若设切点为A，因为两圆相切时连心线必过切点，所以OP=OA+AP，而圆P的半径就是PA等于OP-OA，好一起来看解题步骤……
下面请大家解决（2）、（3）两题，同桌两人可以协商分工，一人一题……
做完了的同学请举左手并想一想另一题；没做完的同学可以看一下提示……
好同桌交换互评。注意：第二题关键是作图，有了切点B后，圆P的半径PB唾手可得；第三题，首先要理解相切包括外切、内切然后要注意解题格式，这位同学的解题步骤条理清晰，供大家参考。
做对了举手……
好再看一组练习，注意快速举手抢答，已知两圆半径分别为3cm、5cm,(1)、若圆心距为4cm,两圆的位置关系是什么？相交，因为5-3<4<5+3；（2）、d=10cm呢？10>5+3，所以两圆外离；（3）、若两圆相切，圆心距d等于多少？d=8cm,再想想！2cm或8cm，很好，请坐。
下面请动手解决第二题……
做完了举手……好谁上来说一下你的思路……
如图，根据两圆相切时切点在连心线上，可知滚珠直径等于大圆半径4.7cm减去小圆半径3.8cm等于0.9cm，所以滚珠半径为0.45cm。
非常好，请坐。
哪位同学来总结一下本节课你掌握了哪些知识？
半径不同的两个圆有外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系，从公共点的个数上看外离时没有，外切时有唯一的公共点，相交时有两个，内切时也是唯一的，内含时没有；从d与R、r的关系上看，外离时d>R+r，外切时d=R+r，相交时R-rr)，内含时dr)。
对本节知识谁还有什么问题可以提出来一起研究。……
两圆外离或外切时半径R、r有没有大小限制？
谁能回答这个问题？……
R、r除了都要大于零之外，两者之间没有大小限制
很好，问的答的都非常好，都请坐，
看一个类型题：若两圆内切，已知两圆圆心距d=3，一圆半径R=9，求另一圆的半径r。……
十组二号，
当R为大圆半径时，r=9-3=6，当R为小圆半径时，r=9+3=12，非常好，在实际题目中，R不一定就是大圆的半径。
再有没有问题？
……
好，拿出一页纸，检验一下你对本节知识的掌握情况，A卷必做，B卷选做。
作业：A类必做，B类选做。
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