黑龙江省大庆市林甸县第一中学2022-2023学年高一下学期期中教学质量检测数学试题（PDF版含解析）

林甸县第一中学 2022-2023学年高一下学期期中教学质量检测
数学试卷
考生注意：
1．本试卷满分 150分，考试时间 120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，．在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．作．答．无．效．。
3．本卷命题范围：必修第一册（第五章），必修第二册（6.1~8.4）。
一、选择题：本大题共 8小题；每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1．若 a和b 是异面直线， b和 c是异面直线，则 a和 c的位置关系是（ ）
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
2．设复数 z满足 z z i 2，则 z的虚部为（ ）
3 3
A． B． i C．1 D． i
4 4

3．某人先向东走3km ，位移记为 a，接着再向北走3km ，位移记为 b，则 a b表示（ ）
A．向东北走3 2km B．向东南走3 2km
C．向东南走3 3km D．向东北走3 3km
4．函数 f x ln 1 2cos2x 的定义域是（ ）
2 2 A． k , k

k Z B 2k , 2k ． k Z
3 3 3 3
2
C ． 2k ,
2
2k k Z D． k ,

k k Z
3 3 3 3
5 2．设m R，则“m 2”是“复数 z m 4 m 1 i为纯虚数”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
f x 6cosx6．函数 的图象大致为（ ）
2x sinx
A． B．
C． D．
7．已知圆锥的表面积为3 ，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
3 3
A． B． C． 3 D． 3
3 3
8．某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高 AB为 15 5 3 m，在它们之
间的地面上的点M （ B、M、D三点共线）处测得楼顶 A、天文台顶C的仰角分别是15 和60 ，在阳台 A
处测得天文台顶C的仰角为30 ，假设 AB,CD和点M 在同一平面内，则小金可测得学校天文台CD的高度
为（ ）
A．20m B． 20 3m C．30m D．30 3m
二、选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9 ．设函数 f x sin 2x

，给出下列命题，正确的是（ ）
3
A． f x ,0 的图象关于点 对称
3
B． f x 的图象关于直线 x 对称
12
C．把 f x 的图象向左平移 个单位长度，得到一个偶函数的图象
12
D． f x 的最小正周期为 ，且在 0, 上为增函数 6
10．设直线 l不在平面 内，直线m 在平面 内，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线 l与直线m 没有公共点 B．直线 l与直线m 异面
C．直线 l与直线m 至多一个公共点 D．直线 l与直线m 不垂直
11．一半径为 4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面 2米，已知水轮每 30秒逆时针匀速转动一圈，如果
当水轮上点P从水中浮现时（图中点 P0）开始计时，则（ ）
A．点 P第一次到达最高点需要 10秒
B．当水轮转动 35秒时，点 P距离水面 2米
C．当水轮转动 25秒时，点 P在水面下方，距离水面 2米
D

．点 P距离水面的高度 h（米）与 t（秒）的函数解析式为h 4sin t 2
30 6
12．已知函数 f x sin x cosx ，下列关于此函数的论述正确的是（ ）
A． 是 f x 的一个周期 B．函数 f x 的值域为 2,1
3 4
C ．函数 f x 在 , 上单调递减 D．函数 f x 在 2 , 2 内有 4个零点 4 3
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13 2．关于 x的不等式 x ax b 0的解集为 2,1 ，则复数a bi所对应的点位于复平面内的第________
象限．
14 ．已知 0, , tan 2，则 cos



________．
2 4
15．如图所示，△ABC 中，AC 12cm，边 AC上的高 BD 12cm，则其水平放置的直观图的面积为________．
16．在钝角△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a 4,sinA 2sinB sinC ，则边 b 的取值范围是
________．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）
如图，棱锥的底面 ABCD 是一个矩形， AC 与 BD 交于点 M ,VM 是棱锥的高．若 VM 4cm ，
AB 4cm,VC 5cm，求锥体的体积．
18．（12分）
（1）已知复数 1 3i是关于 x的方程 x2 px q 0 p,q R 的一个根，求 p q的值；
1 1 1
（2）已知复数 z1 5 10i, z2 3 4i, ，求 z ．z z1 z2
19．（12分）
（1）直线 a和两条异面直线b,c都相交，画出每两条相交直线所确定的平面，并标上字母；
（2）如图，已知 A,B,C,D是空间四点，且点 A,B,C 在同一直线 l 上，点 D 不在直线 l 上．求证：直线
AD,BD,CD在同一平面内．
20．（12分）

已知平面内的三个向量 a 3,2 ,b 1,2 ,c 4,1 ．

（1）若 a b c , R ，求 的值；

（2）若向量 a kb与向量2b c共线，求实数 k 的值．
21．（12分）

如图为函数 f x Asin x A 0, 0,

, x R
2
的部分图象．

（1）求函数解析式；
3
（2）已知 f , 0, ，求 的取值范围；
2
3
（3 ）若方程 f x m在 0, 上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围． 4
22．（12分）
已知 a,b,c分别是△ABC 三个内角 A,B,C 的对边，且 3asinC ccosA c．
（1）求角 A的大小；
a b
（2）若 c a，求m 的取值范围．
c
林甸县第一中学 2022-2023学年高一下学期期中教学质量检测
数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a,b异面，直线 c的位置可如图所示．
2 ． C 解 ： 设 复 数 z x yi, x, y R ， 由 z z i 2 ， 得 x yi x2 y2 i 2 ， 即
(x x2 y2 yi 2 i；所以 y 1，即 z的虚部为 1．

3．A 由题意和向量的加法，得a b表示先向东走3km ，再向北走3km ，即向东北走3 2km．
1 2 2
4 ． D 依 题 意 ， 1 2cos2x 0 ， 即 cos2x , 2k 2x 2k ,k Z ， 解 得 ：
2 3 3
k x k k Z, f x ln 1 2cos2x k , k ， 函数 的定义域是 k Z ．3 3 3 3
2
5 B 2． 复数 z m 4 m 1 i m 4 0,为纯虚数， 解得m 2或 2, m R，则“m 2”
m 1 0,
是“复数 z m2 4 m 1 i为纯虚数”的充分不必要条件．
6cosx
6．A 函数 f x 为奇函数，所以排除选项 B，C；又当 x 0时， f x 第一个零点为 x ，
2x sinx 2
x 2 2 所以令 ，则有2x sinx 0,cos 0，所以 f 0，排除 D．
4 2 4 2 4
7 B 2 2． 设圆锥的底面半径为 r，圆锥的母线长为 l，由 l 2 r，得 l 2r，又 S r r 2r 3 r 3 ，
2
所 以 r 1 ， 解 得 r 1 ； 所 以 圆 锥 的 高 为 h l 2 r2 22 12 3 ， 所 以 圆 锥 的 体 积 为
V 1 1 r2h 3 12 3
3 3 3
7 AM CM
8．C 由题意， CAM , AMC ，即 ACM ，所以△CAM 中， ，
4 12 6 sin ACM sin CAM
则CM AM sin CAM AM AB，而 ，
sin ACM sin
12

5 3 3 sin 3
因为在△CDM 中，CD CM sin 4 30米．3 sin sin 2
6 12

9 ．ABC 因为 f sin 0
，所以 A正确；因为 f
3 12
sin 1，所以 B正确；因为函数 f x 的
2
f sin 1 3 最小正周期为 ，但 f

，所以 D不正确；把函数 f x 的图象向左平移 个
12 2 2 6 12

单位长度，得到函数 y sin 2 x sin 2x cos2x 的图象，函数 y cos2x为偶函数，
12 3 2
所以 C正确．故选 ABC．
10．ABD 对于选项 A，直线 l不在平面 内，直线m 在平面 内，但是，直线 l与m 可以相交，故 A错误；
对于选项 B，直线 l不在平面 内，直线m 在平面 内，但是，直线 l与m 可以相交也可以平行，故 B错误；
对于选项 C，直线 l不在平面 内，直线m 在平面 内，则直线 l与直线m 只可以平行或者相交，不可能重
合，所以，直线 l与直线m 至多一个公共点，故 C正确；对于选项 D，直线 l不在平面 内，直线m 在平面
内，则当直线 l垂直于平面 时，直线 l与直线m 垂直，故 D错误．
11 ． AC 设 点 P 距 离 水 面 的 高 度 h （ 米 ） 和 时 间 t （ 秒 ） 的 函 数 解 析 式 为
hmax A B 6,

hmin A B 2,
h Asin t B A 0, 0,

，由题意得： 2
2 T 30,

h 0 Asin 0 B 0,
A 4,

B 2,

解得： 2 , h 4sin t 2．故 D错误；
T 15 15 6



,
6
6 4sin t 2 sin t 对于 A．令h 6，即 ，即 1,
t ，解得：t 10，故 A对；
15 6 15 6 15 6 2

对于 B ，令 t 35，代入 h 4sin t 2，解得： h 4，故 B 错误；对于 C．令 t 25，代入
15 6
h 4sin t

2，解得： h 2，故 C对．
15 6

12．BCD 选项 A：因为 f 4
0 f 2, 不是 f x 的一个周期，故 A错误；选项 B，D：
4
函数 f x 定义域为R ，并且 f x f x ，所以函数为偶函数；因为 x 0, , f x f x 2 ，
3
为周期函数，故仅需研究函数 f x 在区间 0,2 上的值域及零点个数即可，因为 x 0, ,2 时， 2 2
f x sinx cosx 2sin x
x , 3 f x sinx cosx 2sin x ； 当 时 ， ； 当
4 2 2 4
x 0, 3 ,2 时，令 x t

,
5 , 7 ，则 y 2 sin t, t
, 5 , 7 ，
2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4
y 2,1 x , 3 可得

且仅一个零点；当 时，令 x

t 3 , 7 3 7
2 2 4 4 4
，则 y 2sint, t , ， 4 4
可得 y 2,1 且仅一个零点；所以函数 f x 的值域为 2,1 且在 2 , 2 上有 4个零点．故选项 B，
3 , 4 f x 19 D正确．选项 C：函数 f x 在 上，有 sinx cosx 2sin
x ，所以 x , ，
4 3 4 4 12
则得函数 f x 在该区间上为单调减函数．故选项 C正确．
2 2 1 a,13．二 ∵不等式 x ax b 0的解集为 2,1 ，∴由一元二次方程根与系数的关系，得
2 1 b,
a 1,
解得 即 a 0,b 0，故复数 a bi所对应的点位于复平面内的第二象限．
b 2,
3 10 1
14． 由 tan 2，得 sin 2cos ，又 sin2 cos2 1， cos2 ，
10 5
0, ， cos
5
,sin 2 5 ，因为 cos cos cos

sin sin ，
2 5 5 4 4 4
cos 5 2 2 5 2 3 10 ．
4 5 2 5 2 10
15．18 2cm2 根据题意，设△ABC 的水平放置的直观图的面积为 S，原图△ABC 中， AC 12cm，边
1 S 2 2
AC 2 2上的高 BD 12cm，则 S△ABC 12 12 72cm ，则有 ，则 S 72 18 2cm ．2 S△ABC 4 4
8 16 16 b2 c2 a2 ,
16 ． , ,8

由 sinA 2sinB sinC ，得 a 2b c ．①当 A为针角，则 即
3 5 3 b c a,
b2 (2b 4)2 16, 8 16 a2 b2 c2 , b 16 b
2 (2b 4)2 ,
解得 ；②当 C 为钝角，则b 2b
即 解得
4 4, 3 5 a b c, 4 b 2b 4,
16 8 16 16
b 8．综上， b 的取值范围是 , ,8

3 3 5 3
．

17．解：因为VM 是棱锥的高，所以VM MC ．
在Rt△VMC中，MC VC 2 VM 2 52 42 3 cm ，所 AC 2MC 6 cm ．
在Rt△ABC 中， BC AC 2 AB2 62 42 2 5 cm ．
S AB BC 4 2 5 8 5 cm2底 ，
V 1 S h 1 8 5 4 32 5所以 锥 底 cm3 ．3 3 3
32 5 3
所以棱锥的体积为 cm ．
3
18 2．解：（1）因为 1 3i是方程 x px q 0的一个根，
(3i 1)2 p 3i 1 q 0，
8 p q 3p 6 i 0，而 p,q R，
8 p q 0,

3p 6 0,
p 2,
∴ p q 12．
q 10,
（2） z 1 1 1 z1 z21 5 10i, z2 3 4i, ，z z1 z2 z1z2
z z1z2 5 10i 3 4i 55 10i 55 10i 8 6i 500 250i 5 5 i，
z1 z2 8 6i 8 6i 8 6i 8 6i 100 2
2
z 52 5 5 5 ．
2 2
19．（1）解：根据题意，画出的图形如图所示：
直线 a和直线 b所确定的平面为 ，直线 a直线 c所确定的平面为 ．
（2）证明：因为点 A,B,C 在同一直线 l上，点D不在直线 l上，所以点 A,B,D确定唯一的一个平面，设为 ，
所以 l ，因为C l ，所以C ，所以 A,B,C,D ，
所以 AD ,BD ,CD ，即直线 AD,BD,CD在同一平面内．

20．解：（1） b ,2 , c 4 , ，

b c 4 ,2 ．
4 3,
又a b c,
2 2,
5 , 9 1
解得 ∴ ．
8 , 3
9

（2）a kb 3 k ,2 2k ,2b c 6,3 ．

a kb与2b c共线，
7
3 3 k 6 2 2k ，解得 k ．
3
T
21．解：（1）由题意可知， A 1, , T , 2．
4 4
7 7 函数图象过点 , 1 , sin 1．
12 6
2k ,k Z, , , f x sin 2x ．3 2 3 3
f 3 2 （2） , 2k 2 2k ,k Z，
2 3 3 3
k k ,k Z．
6
0, , 0 ．
6
2k （3）令 2x 2k ,k Z, 5 k x k ,k Z．
2 3 2 12 12
x 0, 3 , f x 0, , 7 7 3 在 上为增，在 上为减，在 , 上为增． 4 12 12 12 12 4
作出 f x sin 2x 在区间 0,
3
3 4
上的图象．

f x sin 2x f x m 1 3有两个零点，即 与 y m有两个交点． 1 m 或 m 1．
3 2 2
22．解：（1）在△ABC 中， 3asinC ccosA c，
由正弦定理可得， 3sinAsinC sinCcosA sinC, sinC 0 ，
则 3sinA cosA 1．

即 3sinA 3 cosA 2 sinA
1
cosA 1，
2 2
sin A 1 ，又 A 0, ，解得 A ．
6 2 3
（ 2 ） 由
3 sin 2 C 3 3 1 3
m a b sinA sinB 2
3 cosC sinC 1 cosC 1 2 2 2 2
c sinC sinC sinC sinC 2
3cos2 C 3cosC
2 1 2 1 3 1C ．2sin cosC 2 2sinC 2 2tanC 2
2 2 2 2
C B C 2 C 2 C 3 C因为 c a，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，得 tan 3，所
3 3 3 3 6 2 3 3 2
3 1
以 C 3，所以1 m 2．3 tan
2