福建省龙岩市一级校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（PDF版，含答案）

龙岩市一级校联盟 2022~2023学年第二学期半期考联考
高一数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、单选题（本大题共 8小题，共 40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1 i
1．复数 的实部为（ ）
2 i
3 1 4
A． B． C．1 D．
5 5 3
r r r r r r
2．若向量 a 1,1 ，b 1, 1 ，c a 3b，则 c （ ）
A． 2, 2 B． 2,2 C． 2,4 D． 4, 2
3．有一个水平放置的多边形斜二测直观图是直角梯形（如图所示）， ABC 45 ， AB 2 2， AD 2，
DC BC，则原多边形面积为（ ）
A．6 2 B．12 2 C．6 D．12
r r r r r r
4．已知 a 4， b 6 a b ，且 与 的夹角为 ，则 a在b上的投影向量为（ ）
3
1 r r r r
A． b 2 1 3B． b C． b D． b
3 3 4 4
r r r r r r r r r r
5．设向量 a与b的夹角为 ，定义a与b的“向量积”： a b是一个向量，它的模 a b a b sin ，若
r r r r
a 2,3 ，b 3, 2 ，则 a b （ ）
5 13 5 12
A．5 B． C． D．
13 13 13
6．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”
中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长 4丈，上底长 2丈，高 5丈，纵长 200丈
（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ）
A．3 105 立方尺 B．6 105立方尺 C．6 106立方尺 D．3 106立方尺
7．如图所示，为了测量 A，B处岛屿的距离，小明在 D处观测，A，B分别在 D处的北偏西 15°，北偏东 45°
方向，再往正东方向行驶 20海里至 C处，观测 B在 C处的正北方向，A在 C处的北偏西 60°方向，则 A，B
两处岛屿间的距离为（ ）
A． 20 6 海里 B．10 6海里 C． 20 1 3 海里 D．10 1 3 海里
8．已知正六棱锥 P ABCDEF的侧棱长为 2 2，底面边长为 2，点 Q为正六棱锥 P ABCDEF外接球上
一点，则三棱锥Q PAB体积的最大值为（ ）
2 7 2 3 2 7 2 3 2 3 2 7
A． B． C． D．
3 3 3 3
二、多选题（本大题共 4小题，共 20.0分．每小题有多项符合题目要求）
9．下列命题中，真命题有（ ）
A．若复数 z1， z2满足 z1 z2 R，则 z1 R且 z2 R
B．若复数 z1 z2，则 z1z2 R
C．若 z 1 2i 2，则复平面内 z对应的点位于第一象限
D．已知复数 z满足 z 1 z 1，则 z在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．下列说法中正确的是（ ）
A．已知两直线 a，b平行于平面 ，那么直线 a，b一定平行
B．若直线 a，b平行，直线 b在平面 内，则直线 a平行于平面 内的无数条直线
C．若直线 a不平行于平面 ，则平面 内的所有直线均与 a异面
D．若直线 a与平面 有两个公共点，则直线 a在平面 内
11．若△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 c 6， A 45 ， a 2，则△ABC有两组解
B．在△ABC中，已知 a2 tan B b2 tan A，则△ABC是等腰或直角三角形
C．若 sin A sinC，则 cos A cosC

D．若△ABC为锐角三角形，且C ，b 4，则△ABC面积的取值范围是 2 3,8 33
12．如图，在平面四边形 ABCD中， AB BC， AD CD， BAD 120 ， AB AD 1，F为边 AB
的中点．若 E为边 CD上的动点，则（ ）

A．当 E为边 CD的中点时， 2EF DA CB

B． 2 EF DA CB
3
C．三角形 EAB面积的最小值为
4

D．EA EB 21的最小值为
16
三、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分）
ur uur uuur ur uur uuur ur uur uuur ur uur
13．设向量 e1 ，e2 不平行，AB 2e1 ke2 ，CB e1 e2 ，CD 2e1 3e2 ，若 A，B，D三点共线，则 k ______．
4 3
14．已知一个正三棱锥的侧棱为 ，其底面是边长为 2的等边三角形，则此正三棱锥的高为______．
3
15．如图，在△ABC中，已知 AB 2， AC 4， BAC 60 ，BC，AC边上的两条中线 AM，BN相交
于点 P，则 APN 的余弦值为______．
16．如图，设△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，acosC ccos A bsin B ，且 CAB ．若
6
D是△ABC外一点，DC 4，DA 6，则当四边形 ABCD的面积最大时， sinD ______．
四、解答题（本大题共 6小题，共 70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题 10分）
已知复数 z1 1 i， z m2 m 6 m2 3m 2 i m R ．
（1）当 m取何值时，z为纯虚数？
（2）当m 3时，求 z z1 的值．
18．（本小题 12分）

如图所示，在四边形 ABCD中， AB 2DC， AB BC 0， AB 4 3， AD 4，E为 AB的中点，连
接 DE．
（1）将四边形 ABCD绕着线段 AB所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；
（2）将△AED绕着线段 AE所在直线旋转一周形成几何体 W，若球 O是几何体 W的内切球，求球 O的表面
积．
19．（本小题 12分）
uuur r uuur r
如图，在平行四边形ABCD中，AB a，AD b，H，M分别是AD，DC的中点，点F在线段BC上，且 4BF BC．
r r uuuur uuur
（1）以 a，b为基底表示向量 AM 与HF；
r r r r
（2）若 a 3， b 4，a与b的夹角为 120°，求 AM HF．
20．（本小题 12分）
a2 sin B sinC 3 a2 b2 c2
已知△ABC的三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且满足 ．
sin A 2
（1）求角 C的值；
7
（2）若角 C的角平分线交 AB于 D，且DB 2AD，AB边上的中线 CE交 AB于点 E，且CE ，求△ABC
2
的面积．
21．（本小题 12分）

已知在△ABC中， A 60 ， AB 1， AC 2， AE AC 0 1 ．
uuur
（1）求 BE 的取值范围；

（2）若线段 BE上一点 D满足 AD A B A C ，求 1 的最小值．

AB AC


22．（本小题 12分）

对于任意平面向量 AM x, y ，则 AM 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到的向量为

AN x cos y sin , x sin y cos ，如图，已知CB 1, 3 绕 C点逆时针旋转 后再将模长伸长到2
uuur
原来的 3倍得到向量CA．
uuur
（1）求 AB的坐标．

（2）若 D，E，F分别为 CB，BA，AC上的点，且CD CB，△DEF 为正三角形．
1①当 时，求△DEF 的面积；
2
②当 0,1 时，求△DEF 面积的取值范围．