山东省青岛市2024届高三上学期期初调研检测数学试题(PDF版含答案)

文档属性

名称 山东省青岛市2024届高三上学期期初调研检测数学试题(PDF版含答案)
格式 pdf
文件大小 230.3KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-09-02 21:45:38

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文档简介

山东省青岛市 2024届高三上学期期初调研检测
数学试题
2023.08
本试卷共 4页,22题.全卷满分 150分.考试用时 120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上,并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合M x | x2 1 0 , N x | x 0 ,则M N ( )
A. x | x 1 B. x | x 0 C. x | 1 x 0 D. x | 0 x 1
2.已知复数 z 1 3i 4,则 z z ( )
A.2 B.4 C.8 D.16

3.设 a 1,2 ,b 4,k ,若 a b,则 a b ( )
A.5 B. 2 5 C.20 D.25
4.已知某设备的使用年限 x(年)与年维护费用 y (千元)的对应数据如下表:
x 2 4 5 6 8
y 3 4.5 6.5 7.5 9
由所给数据分析可知: x与 y 之间具有线性相关关系,且 y关于 x的经验回归方程为 y 1.05x a ,则 a
( )
A.0.75 B.0.85 C.0.95 D.1.05
3
5.记 Sn为等比数列 an an 0 的前 n项和,且 a1a3 16,2S1, S2, S3 成等比数列,则 S6 ( )2
A.256 B.254 C.128 D.126
6.若函数 f x cos x lg x2 m x 为奇函数,则m ( )
A. 1 B.0 C.1 D. 1
7. 2设抛物线C: x 2py的焦点为 F ,M x, 4 在C上, MF 5,则C的方程为( )
A. x2 4y B. x2 4y C. x2 2y D. x2 2y
8.已知 cos cos 4 , sin sin 3 ,则 cos 2 2 ( )
5 5
1 1
A.1 B. C. D. 1
2 2
二、多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 2分,有选错的得 0分.
9.一组样本数据 11,19,15,16,19,则这组数据的( )
A.众数是 19 B.平均数是 16 C.中位数是 15 D.方差是 44
2x 1
n
10. 已知 的展开式的各二项式系数的和为 256,则( )
x
A.n 8 B. x 2展开式中 的系数为 448
C.展开式中常数项为 16 D.展开式中所有项的系数和为 1
11.正四棱锥 P ABCD的底面边长是 4,侧棱长为 4 2,则( )
A.正四棱锥 P ABCD的体积为32 6 πB.侧棱与底面所成角为
3
4 6 7 1
C.其外接球的半径为 6 D.其内切球的半径为
3 3
2
12.已知函数 f x ln x,则( )
x
A. x 2是 f x 的极大值点
B. y f x x有且只有 1个零点
C.存在正实数 k,使得 f x kx对于任意 x 0, 成立
D.若 f x1 f x2 , x1 x2 ,则 x1 x2 4
三、填空题:本题共 4个小题,每小题 5分,共 20分.
13. f x sin 2 x π 函数 0 的最小正周期为 π,则 __________.
6
14. 2 2已知圆C: x y 4x 0,直线 l过P 3,4 .若直线 l与圆C相交于 A, B两点,且 AB 2 3,写
出满足上面条件的一条直线 l的方程__________.
15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”,若要测量如图所示某蓝
洞口边缘 A, B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD 8海里, ADB 135 ,
BDC DCA 15 , ACB 120 ,则 A, B两点的距离为__________海里.
C x
2 y2
16.椭圆 : 2 2 1 a b 0 与其对称轴交于四点,按逆时针方向顺次连结这四个点,所得的四边形a b
6
的面积为 2 3,且C的离心率为 ,则C的长轴长为__________;直线 l:y kx 2 k 0 与C交于M ,
3
N 两点,若以MN为直径的圆过点E 1,0 ,则 k的值为__________.(第一空 2分,第二空 3分)
四、解答题:本题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)
△ABC 中,已知内角 A, B,C所对的边分别为a,b, c, 2b 3c cos A 3a cosC .
(1)求 A的大小;
(2)若 a 1,B 45 ,求△ABC 的面积.
18.(12分)
在长方体 ABCD A1B1C1D1中, AB BB1 2,BC 4, AB1与 A1B交于点 E,点 F 为 BC中点.
(1)求证: AE 平面 A1BC;
(2)求平面 AEF 与平面 AA1C的夹角的余弦值.
19.(12分)
已知O为坐标原点, A(1,0),B( 1,0),直线 AM , BM 的斜率之积为 4,记动点M 的轨迹为 E .
(1)求 E的方程;
(2)直线 l经过点 0, 3 ,与 E交于 P,Q两点,线段 PQ中点D 3为第一象限,且纵坐 为 ,求△OPQ
2
的面积.
20.(12分)
已知数列 an 中, a1 1, a2 2,数列 an 1 an 是公差为 1的等差数列.
(1)求 an 的通项公式:
(2)若b 1n ,求数列 bn 的行前 n项和Ta n 1 n .n
21.(12分)
某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中,甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练,第 1次由甲将球传
出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.n次传球后,记事件“乙、丙、丁三人
均接过传出来的球”发生的概率为 Pn .
(1)求 P3;
(2)当 n 3时,记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列及数学期望;
(3)当 n 4时,证明: P 1 2 1n Pn 1 n 1 .3 3 3
22.(12分)
a 1已知 ,函数 f x aex ln x ln a .
e
(1)若 a 1,求 f x 在点 1, f 1 处的切线方程;
(2)求证: f x 4x 4;
2
(3)若 为 f x 的极值点.点 , f 在国 x2 y 1 17 上.求a .
4 16
山东省青岛市 2024届高三上学期期初调研检测
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.
C B A B D C A C
二、多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.
9.AB 10.ABD 11.BCD 12.BD
三、填空题:本题共 4个小题,每小题 5分,共 20分.
13.1 14.写出 x 3或15x 8y 13 0中的一个即可
15.8 5 716.(1) 2 3;(2)
6
四、解答题:本题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步驟.
17.(10分)
解:(1)因为 2b 3c cos A a b c 3a cosC , sin A sin B sinC
所以 2sin Bcos A 3 sinC cos A sin AcosC 3 sin A C ,
因为 A B C π,所以sin A C sin B 0
所以 cos A 3 , A 30
2
(2)因为 A 30 , a 1,B 45 ,C 105
又 sin105 sin 45 60 sin 45 cos60 cos 45 sin 60 6 2
4
c a sinC 1 sin105 6 2由正弦定理
sin A sin 30 2
S 1 ac sin B 1 1 6 2 2 3 1所以 △ABC 2 2 2 2 4
18.(12分)
解:(1)证明:因为 BC 平面 ABB1A1, AE 平面 ABB1A1,所以BC AE
因为 ABB1A1为正方形,所以 AE A1B ,
因为 BC A1B B,BC, A1B 平面 A1BC
所以 AE 平面 A1BC

(2)以 A为坐标原点,AB、AD、AA1 分别为 x、y、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz,
则 A 0,0,0 , B 2,0,0 , A1 0,0,2 ,E 1,0,1 ,C 2,4,0 , F 2,2,0 ;

AE 1,0,1 , AF 2,2,0 , AA1 0,0,2 , AC 2,4,0
n

AE x z 0
设平面 AEF 的法向量为 n x 1 1 1, y1, z1 ,则 ,取 n 1, 1, 1
n AF 2x1 2y1 0

设平面 AA1C的法向量为m x2 , y2 , z2 ,则
m AA1 2z2 0
,取m 2, 1,0
m AC 2x2 4y2 0
cos m ,n
2 1 15

3 5 5
15
所以,平面 AEF 与平面 AA1C的夹角的余弦值为 5
19.(12分)
解:(1)设点M 的坐标为 x, y ,
2
因为 k y y yAM , kBM ,所以 k k 4,x 1 x 1 AM BM x2 1
2
2 y
化简得: x 1
4
2
所以 E x2 y的方程为: 1 x 1
4
(2)当直线 PQ的斜率不存在时,显然不符合题意;
设P x1 , y1 ,Q x2 , y2 ,直线 PQ方程为 y kx 3,
2
y kx 3与 x2 y 1联立得: 4 k 2 x2 6kx 13 0,
4
因为 36k 2 52 4 k 2 0,且 4 k 2 0,
解得: k 2 13且 k 2 4,
x x 6k
1 2 k 2 4

x x 13
1
2 k 2 4
3
因为线段 PQ中点D在第一象限,且纵坐标为 ,
2
x x 6k 1 2
2 0k 4
所以 ,
y1 y
24
2 k x x 6 3 1 2 k 2 4
解得 k 2 3或 k 2 3(舍去),
所以直线 PQ为 y 2 3x 3
3 3
x1 x2
所以 2 ,
x x 13
1 2 8
所以 PQ 1 k 2 x1 x2 13 x x
2 4x x 131 2 1 2 2
O PQ d 3 3点到直线 的距离
1 12 13
S 1 13 3 3所以
2 2 13 4
20.(12分)
解:(1)因为数列 an 1 an 是公差为 1的等差数列,
因为 a1 1, a2 2,所以 a2 a1 1
所以 an 1 an 1 n 1 1 n
所以 a2 a1 1, a3 a2 2, a4 a3 3,……,an an 1 n 1 n 2
所以 an a1 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an 1 1 2 3 n 1
n n 1
所以 an a1 2
n n 1 2
a 1 n n 2所以 n n 2 2 2
因为 a1 1适合上式,
n2a n 2所以 n 2
2 1 1
(2 )因为bn 2

n n 1 n n 1
T 2 1 1 1 1 1 1 2n所以 n 2

2 3

n n 1

n 1
21.(12分)
1
解:(1)乙、丙、丁三人每次接到传球的概率均为 ,3次传球后,事件“乙、两、丁三人均接过传出来的球”
3
1 3 2
发生的概率为 P3 A
3
3 ,
3 9
(2)由题意知, X 的可能取值为 1,2,3,
P X 1
3 1 1 3 2
1 3 , P X 3 A33


3 9 3 9
P X 2 2 1 P X 1 P X 3 ,
3
X 的分布列如下:
X 1 2 3
1 2 2
P
9 3 9
E X 1 1 2 2 3 2 19
9 3 9 9
(3)证明:n次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球,有两种情况,其一为:n 1次传球后乙、丙、丁三
人均接过他人传球,这种情况的概率为 Pn 1;
其二是为:n 1次传球后乙、两、丁中只有两人接过他人传球,第 n次传球时将球传给剩余一人,这种情况
1 1
的概率为 1 P

n 1 3
3n
.
1 3
所以,当 n 4 P 1 P 1 P 3 1 1 2 1时, n n 1 n 1 n 1 P3 3 3 3 n 1

3n 1
P 1 2 1所以 n P 3 3 n 1 3n 1
22.(12分)
解:(1) a 1, f x ex ln x, x 0
f x ex 1因为 , f 1 e 1,
x
f 1 e1因为 ln1 e,即切点为 1,e
f x 在点 1,e 处的切线方程为: y e 1 x 1
(2)证明:因为 f x aex 1 ( a 1 , x 0),
x e
设函数 g x f x ,则 g x aex 1 1 2 0( a , x 0),x e
所以 f x 在 0, 上单调递增
1 1
又因为 f 2 0, f 0 , 2 ,所以存在2ae 2ae ,使得 f 0,
即 ae 1 1 , a
e
所以,当 x 0, 时, f x 0, f x 在 0, 上单单递减;
当 x , 时, f x 0, f x 在 , 上单调递增;
所以 f x f ae ln lna 1 2ln

令 h x 1 x 2ln x, x h x 1 4x 4 3x 2ln x 4,
x x
x 1 3x 1
则 x ,
x2
所以, x 在 0,1 上单调递减,在 1, 上单调递增;
所以, x 1 0,
所以,h x 的图象在 y 4x 4的上方,且 h x 与 y 4x 4唯一交点为 1,0 ,
所以, f x 4x 4
2
(3)因为直线 y 1 17 4x 4为圆 x2 y 的切线,切点为 1,0
4 16
2
显然,圆 x2 1 17 y 在直线 y 4x 4的下方
4 16
2
又因为 f x 4x 4,且点 , f 在圆 x2 y 1 17 上,
4 16
所以 1 1, a
e
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