山东省青岛市2024届高三上学期期初调研检测数学试题（PDF版含答案）

山东省青岛市 2024届高三上学期期初调研检测
数学试题
2023.08
本试卷共 4页，22题.全卷满分 150分.考试用时 120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合M x | x2 1 0 ， N x | x 0 ，则M N （ ）
A. x | x 1 B. x | x 0 C. x | 1 x 0 D. x | 0 x 1
2.已知复数 z 1 3i 4，则 z z （ ）
A.2 B.4 C.8 D.16

3.设 a 1,2 ，b 4,k ，若 a b，则 a b （ ）
A.5 B. 2 5 C.20 D.25
4.已知某设备的使用年限 x（年）与年维护费用 y （千元）的对应数据如下表：
x 2 4 5 6 8
y 3 4.5 6.5 7.5 9
由所给数据分析可知： x与 y 之间具有线性相关关系，且 y关于 x的经验回归方程为 y 1.05x a ，则 a
（ ）
A.0.75 B.0.85 C.0.95 D.1.05
3
5.记 Sn为等比数列 an an 0 的前 n项和，且 a1a3 16，2S1， S2， S3 成等比数列，则 S6 （ ）2
A.256 B.254 C.128 D.126
6.若函数 f x cos x lg x2 m x 为奇函数，则m （ ）
A. 1 B.0 C.1 D. 1
7. 2设抛物线C： x 2py的焦点为 F ，M x, 4 在C上， MF 5，则C的方程为（ ）
A. x2 4y B. x2 4y C. x2 2y D. x2 2y
8.已知 cos cos 4 ， sin sin 3 ，则 cos 2 2 （ ）
5 5
1 1
A.1 B. C. D. 1
2 2
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.一组样本数据 11，19，15，16，19，则这组数据的（ ）
A.众数是 19 B.平均数是 16 C.中位数是 15 D.方差是 44
2x 1
n
10. 已知 的展开式的各二项式系数的和为 256，则（ ）
x
A.n 8 B. x 2展开式中 的系数为 448
C.展开式中常数项为 16 D.展开式中所有项的系数和为 1
11.正四棱锥 P ABCD的底面边长是 4，侧棱长为 4 2，则（ ）
A.正四棱锥 P ABCD的体积为32 6 πB.侧棱与底面所成角为
3
4 6 7 1
C.其外接球的半径为 6 D.其内切球的半径为
3 3
2
12.已知函数 f x ln x，则（ ）
x
A. x 2是 f x 的极大值点
B. y f x x有且只有 1个零点
C.存在正实数 k，使得 f x kx对于任意 x 0, 成立
D.若 f x1 f x2 ， x1 x2 ，则 x1 x2 4
三、填空题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分.
13. f x sin 2 x π 函数 0 的最小正周期为 π，则 __________.
6
14. 2 2已知圆C： x y 4x 0，直线 l过P 3,4 .若直线 l与圆C相交于 A， B两点，且 AB 2 3，写
出满足上面条件的一条直线 l的方程__________.
15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝
洞口边缘 A， B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD 8海里， ADB 135 ，
BDC DCA 15 ， ACB 120 ，则 A， B两点的距离为__________海里.
C x
2 y2
16.椭圆 ： 2 2 1 a b 0 与其对称轴交于四点，按逆时针方向顺次连结这四个点，所得的四边形a b
6
的面积为 2 3，且C的离心率为 ，则C的长轴长为__________；直线 l：y kx 2 k 0 与C交于M ，
3
N 两点，若以MN为直径的圆过点E 1,0 ，则 k的值为__________.（第一空 2分，第二空 3分）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
△ABC 中，已知内角 A， B，C所对的边分别为a，b， c， 2b 3c cos A 3a cosC .
（1）求 A的大小；
（2）若 a 1，B 45 ，求△ABC 的面积.
18.（12分）
在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BB1 2，BC 4， AB1与 A1B交于点 E，点 F 为 BC中点.
（1）求证： AE 平面 A1BC；
（2）求平面 AEF 与平面 AA1C的夹角的余弦值.
19.（12分）
已知O为坐标原点， A(1,0)，B( 1,0)，直线 AM ， BM 的斜率之积为 4，记动点M 的轨迹为 E .
（1）求 E的方程；
（2）直线 l经过点 0, 3 ，与 E交于 P，Q两点，线段 PQ中点D 3为第一象限，且纵坐 为 ，求△OPQ
2
的面积.
20.（12分）
已知数列 an 中， a1 1， a2 2，数列 an 1 an 是公差为 1的等差数列.
（1）求 an 的通项公式：
（2）若b 1n ，求数列 bn 的行前 n项和Ta n 1 n .n
21.（12分）
某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第 1次由甲将球传
出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.n次传球后，记事件“乙、丙、丁三人
均接过传出来的球”发生的概率为 Pn .
（1）求 P3；
（2）当 n 3时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列及数学期望；
（3）当 n 4时，证明： P 1 2 1n Pn 1 n 1 .3 3 3
22.（12分）
a 1已知 ，函数 f x aex ln x ln a .
e
（1）若 a 1，求 f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
（2）求证： f x 4x 4；
2
（3）若 为 f x 的极值点.点 , f 在国 x2 y 1 17 上.求a .
4 16
山东省青岛市 2024届高三上学期期初调研检测
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.
C B A B D C A C
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
9.AB 10.ABD 11.BCD 12.BD
三、填空题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分.
13.1 14.写出 x 3或15x 8y 13 0中的一个即可
15.8 5 716.（1） 2 3；（2）
6
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步驟.
17.（10分）
解：（1）因为 2b 3c cos A a b c 3a cosC ， sin A sin B sinC
所以 2sin Bcos A 3 sinC cos A sin AcosC 3 sin A C ，
因为 A B C π，所以sin A C sin B 0
所以 cos A 3 ， A 30
2
（2）因为 A 30 ， a 1，B 45 ，C 105
又 sin105 sin 45 60 sin 45 cos60 cos 45 sin 60 6 2
4
c a sinC 1 sin105 6 2由正弦定理
sin A sin 30 2
S 1 ac sin B 1 1 6 2 2 3 1所以 △ABC 2 2 2 2 4
18.（12分）
解：（1）证明：因为 BC 平面 ABB1A1， AE 平面 ABB1A1，所以BC AE
因为 ABB1A1为正方形，所以 AE A1B ，
因为 BC A1B B，BC， A1B 平面 A1BC
所以 AE 平面 A1BC

（2）以 A为坐标原点，AB、AD、AA1 分别为 x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，
则 A 0,0,0 ， B 2,0,0 ， A1 0,0,2 ，E 1,0,1 ，C 2,4,0 ， F 2,2,0 ；

AE 1,0,1 ， AF 2,2,0 ， AA1 0,0,2 ， AC 2,4,0
n

AE x z 0
设平面 AEF 的法向量为 n x 1 1 1, y1, z1 ，则 ，取 n 1, 1, 1
n AF 2x1 2y1 0

设平面 AA1C的法向量为m x2 , y2 , z2 ，则
m AA1 2z2 0
，取m 2, 1,0
m AC 2x2 4y2 0
cos m ,n
2 1 15

3 5 5
15
所以，平面 AEF 与平面 AA1C的夹角的余弦值为 5
19.（12分）
解：（1）设点M 的坐标为 x, y ，
2
因为 k y y yAM ， kBM ，所以 k k 4，x 1 x 1 AM BM x2 1
2
2 y
化简得： x 1
4
2
所以 E x2 y的方程为： 1 x 1
4
（2）当直线 PQ的斜率不存在时，显然不符合题意；
设P x1 , y1 ，Q x2 , y2 ，直线 PQ方程为 y kx 3，
2
y kx 3与 x2 y 1联立得： 4 k 2 x2 6kx 13 0，
4
因为 36k 2 52 4 k 2 0，且 4 k 2 0，
解得： k 2 13且 k 2 4，
x x 6k
1 2 k 2 4

x x 13
1
2 k 2 4
3
因为线段 PQ中点D在第一象限，且纵坐标为 ，
2
x x 6k 1 2
2 0k 4
所以 ，
y1 y
24
2 k x x 6 3 1 2 k 2 4
解得 k 2 3或 k 2 3（舍去），
所以直线 PQ为 y 2 3x 3
3 3
x1 x2
所以 2 ，
x x 13
1 2 8
所以 PQ 1 k 2 x1 x2 13 x x
2 4x x 131 2 1 2 2
O PQ d 3 3点到直线 的距离
1 12 13
S 1 13 3 3所以
2 2 13 4
20.（12分）
解：（1）因为数列 an 1 an 是公差为 1的等差数列，
因为 a1 1， a2 2，所以 a2 a1 1
所以 an 1 an 1 n 1 1 n
所以 a2 a1 1， a3 a2 2， a4 a3 3，……，an an 1 n 1 n 2
所以 an a1 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an 1 1 2 3 n 1
n n 1
所以 an a1 2
n n 1 2
a 1 n n 2所以 n n 2 2 2
因为 a1 1适合上式，
n2a n 2所以 n 2
2 1 1
（2 ）因为bn 2

n n 1 n n 1
T 2 1 1 1 1 1 1 2n所以 n 2

2 3

n n 1

n 1
21.（12分）
1
解：（1）乙、丙、丁三人每次接到传球的概率均为 ，3次传球后，事件“乙、两、丁三人均接过传出来的球”
3
1 3 2
发生的概率为 P3 A
3
3 ，
3 9
（2）由题意知， X 的可能取值为 1，2，3，
P X 1
3 1 1 3 2
1 3 ， P X 3 A33

，
3 9 3 9
P X 2 2 1 P X 1 P X 3 ，
3
X 的分布列如下：
X 1 2 3
1 2 2
P
9 3 9
E X 1 1 2 2 3 2 19
9 3 9 9
（3）证明：n次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况，其一为：n 1次传球后乙、丙、丁三
人均接过他人传球，这种情况的概率为 Pn 1；
其二是为：n 1次传球后乙、两、丁中只有两人接过他人传球，第 n次传球时将球传给剩余一人，这种情况
1 1
的概率为 1 P

n 1 3
3n
.
1 3
所以，当 n 4 P 1 P 1 P 3 1 1 2 1时， n n 1 n 1 n 1 P3 3 3 3 n 1

3n 1
P 1 2 1所以 n P 3 3 n 1 3n 1
22.（12分）
解：（1） a 1， f x ex ln x， x 0
f x ex 1因为 ， f 1 e 1，
x
f 1 e1因为 ln1 e，即切点为 1,e
f x 在点 1,e 处的切线方程为： y e 1 x 1
（2）证明：因为 f x aex 1 （ a 1 ， x 0），
x e
设函数 g x f x ，则 g x aex 1 1 2 0（ a ， x 0），x e
所以 f x 在 0, 上单调递增
1 1
又因为 f 2 0， f 0 , 2 ，所以存在2ae 2ae ，使得 f 0，
即 ae 1 1 ， a
e
所以，当 x 0, 时， f x 0， f x 在 0, 上单单递减；
当 x , 时， f x 0， f x 在 , 上单调递增；
所以 f x f ae ln lna 1 2ln

令 h x 1 x 2ln x， x h x 1 4x 4 3x 2ln x 4，
x x
x 1 3x 1
则 x ，
x2
所以， x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增；
所以， x 1 0，
所以，h x 的图象在 y 4x 4的上方，且 h x 与 y 4x 4唯一交点为 1,0 ，
所以， f x 4x 4
2
（3）因为直线 y 1 17 4x 4为圆 x2 y 的切线，切点为 1,0
4 16
2
显然，圆 x2 1 17 y 在直线 y 4x 4的下方
4 16
2
又因为 f x 4x 4，且点 , f 在圆 x2 y 1 17 上，
4 16
所以 1 1， a
e