2023-2024学年重庆市高二（上）入学数学试卷（word版含解析）

2023-2024学年重庆市高二（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3. 在中，，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知，是空间中两个不同的平面，，是空间中两条不同的直线，则( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
5. 已知函数在上的最小值为，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 某圆台的侧面展开是一个半圆环如图所示，且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为和，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，，为侧棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
8. 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数满足，则( )
A. B. 是纯虚数
C. D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
10. 已知正方形的边长为，向量，满足，，则( )
A. B.
C. 在上的投影向量的模为 D.
11. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，，则( )
A. B.
C. D. 外接圆的半径为
12. 如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，，为圆柱的两条母线，且，，，则( )
A. 平面
B. 直线与平面所成的角的正切值为
C. 直线与直线所成的角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，已知，，则 ______ ．
14. 设复数，在复平面内对应的点为，，若，，则的最大值为______ ．
15. 在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是______ ．
16. 汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的三个测量基点，，，现测得，，，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 ______ 结果精确到参考数据：取，，．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知复数，，．
若是纯虚数，求；
若，求
18. 本小题分
已知点为中边上一点，．
设，求的值．
设，求的值．
19. 本小题分
如图所示，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，，且，，分别是，的中点．
证明：平面平面；
若平面平面，求四棱锥的体积．
20. 本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，证明：是直角三角形．
21. 本小题分
函数的部分图象如图所示已知，，，．
求和的解析式；
将的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
22. 本小题分
中国剪纸是一种民间艺术具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，现有一张矩形卡片，对角线长为为常数，从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．
当时，求正方形纸片的边长结果用表示；
当变化时，求的最大值及对应的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为复数，
所以，
所以的虚部为．
故选：．
根据共轭复数的定义写出的共轭复数，再写出的虚部．
本题考查了共轭复数的定义与应用问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为向量，，
所以，，
所以在上的投影向量为．
故选：．
先求出向量，再利用投影向量的定义求解．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为在中，，所以为锐角，
所以，，
则．
故选：．
先由求出和，再用两角和的正切公式即可求出．
本题主要考查了同角基本关系及两角和的正切公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，当，时，直线，相交，异面，平行都有可能；
对于，还少了条件，，才能得到相应的结论；
对于，当，时，，与相交但不垂直都有可能；
对于，设直线，的方向向量分别为，
若，，，则平面，的一个法向量分别为，且，
所以，所以D正确．
故选：．
根据线面平行、垂直和面面平行、垂直的性质和判定分析判断即可．
本题考查线线、线面和面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
函数在上的最小值为，
，
则，解得．
故选：．
先求出，再结合函数在上的最小值为，列出等式，即可求解．
本题主要考查三角函数的最值，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则，，
所以，，且圆台的母线长为，
则圆台的高为，
所以圆台的体积为．
故选：．
利用圆台的体积公式求解．
本题主要考查圆台的体积，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：连接，，设，则是，的中点，连接，
由于是的中点，所以，
则为异面直线与所成的角，
，
由于平面，所以平面，
而平面，所以，
则．
故选：．
根据线线平行即可得为异面直线与所成的角，由三角形的边角关系即可求解．
本题考查了异面直线所成的角的计算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，，
，，，
可得，，，
若，
则，，，
可得，，，
所以，
所以是等边三角形．
建立如图所示的平面直角坐标系，
，
，．
由题意设，
则，，
．
因为，
所以．
故选：．
先根据条件确定是等边三角形，再建立坐标系，用坐标法求数量积的范围．
本题考查平面向量与三角函数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设，则，
由，
可得，
所以解得，，因此，A正确；
，为纯虚数，B正确；
，C错误；
，其在复平面内对应的点为，在第四象限，D正确．
故选：．
根据复数的概念以及几何意义、除法运算求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由已知可得，
在正方形中可得，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，在上的投影向量的模为，故C错误；
对于，，
又与均不是零向量，
所以，故D正确．
故选：．
利用条件表示出，进而可以判断A错误；利用向量的数量积运算可以判断B正确；利用投影向量的定义即可判断C错误；由可以判断D正确．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由余弦定理可知，，故A正确；
由，解得，故C错误；
由，解得，故B正确；
因为，
所以三角形外接圆直径，即，故D错误．
故选：．
根据余弦定理可求出判断，由余弦的半角公式求出判断，再由余弦定理求出判断，由正弦定理求外接圆半径判断．
本题考查余弦定理和正弦定理的应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由已知得平面，平面，所以，
又因为是底面圆的直径，在圆周上且异于、两点，所以，
又，、平面，所以平面，故A正确；
对于，因为平面，所以直线与平面所成的角为，
因为，则，
所以，，，
故，
故直线与平面所成的角的正切值为，故B错误；
对于，连接，
因为且，故四边形为平行四边形，
所以，
所以直线与直线所成的角为或其补角，
在中，，
，
所以，故C正确；
对于，设点到平面的距离为，
则，即，
又，，
所以，解得，故D正确．
故选：．
利用线面垂直的判定定理可判断选项；利用线面角的定义可判断选项；利用异面直线所成角的定义可判断选项；利用等体积法求出点到平面的距离，可判断选项．
本题考查线面垂直的判断，线面角的求解，线线角的求解，点面距的求解，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由斜二测画法得，在中，，，
所以．
故答案为：．
根据斜二测画法和已知条件得到为直角三角形，从而可求得结果．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，则点组成的集合是圆心在原点，半径的圆及其内部．
的坐标为．
所以的最大值为．
故答案为：．
根据复数的几何意义分析可得：点组成的集合是圆心在原点，半径的圆及其内部，结合圆的性质运算求解．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，．
，，三点共线，
，，，，
．
故答案为：．
利用向量三点共线定理得到即可．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：在中，由余弦定理得，
则
．
在中，由正弦定理得，
则．
在中，，
所以．
故答案为：．
根据余弦定理先求出，再利用正弦定理即可求解．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：由题意得，
因为是纯虚数，
所以，
解得：．
因为，
所以，
解得：．
故．
【解析】先计算，然后由其为纯虚数，可得实部为零，虚部不为零，从而可求出的值；
由，可得复数为实数，则虚部为零，实部大于零，求出的值，从而可求出复数，进而可求得
本题考查了复数的有关概念，考查复数求模，是基础题．
18.【答案】解：已知点为中边上一点，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以；
已知，
则
．
【解析】根据平面向量的线性运算求得，，由此求得；
根据向量数量积运算求得的值．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量数量积的运算，属基础题．
19.【答案】解：证明：因为，，是的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
从而．
因为平面，平面，
所以平面．
同理平面，
又，
所以平面平面．
设的中点为，连接，则．
因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面，
因为，平面，
所以平面，
所以到平面的距离为，
所以．
【解析】根据条件可以证明平面，平面，进而可以证明平面平面；
利用条件可以求出到平面的距离，进而利用体积公式可以求出结果．
本题考查面面平行的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．
20.【答案】解：，
，
由余弦定理得，
又，；
证明：，
由正弦定理得，
，
，
，
，即，
故是直角三角形．
【解析】由题意得，利用余弦定理，即可得出答案；
利用正弦定理，把题中边的关系化为角的关系，求解即可证明结论．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设的最小正周期为，因为，
所以，则，，
所以，，又，
所以，解得，
将点的坐标代入，可得，
解得，因为，所以，
所以；
将的图象向右平移个单位长度后，
可得的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到的图象，由，
可得，所以，
所以在上的值域为．
【解析】根据点，的坐标可得，根据，可得，再代入点可得解析式；根据变换规律可得，利用整体法思想求函数值域即可．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】解：设正方形的边长为，则，，
则，，，
即，整理得，
当时，；
，，
因为，则，，
则，
令，在上单调递减，
故，
故的最大值为，此时，
又，所以．
【解析】设正方形的边长为，由可得，再结合即可求出关于的表达式；
由题意可得，再利用换元法求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用函数的单调性求最值，属于中档题．
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