2023-2024学年重庆市高一（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市高一（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
2. 设，是方程的两根，那么的值是( )
A. B. C. D.
3. 已知二次函数的图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，则( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
5. 若，则“”是“”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 既不是充分条件也不是必要条件 D. 无法判断
6. 若，为正实数，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8. 下列各组函数中，是同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在下列命题中，真命题有( )
A. ， B. 是有理数
C. ，，使 D. ，
10. 已知集合，，若，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
11. 若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
12. 已知，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 若，则 ______ ．
14. 某校高一某班共有人，摸底测验数学成绩人得优，语文成绩人得优，两门都不得优者有人，则两门都得优者有______ 人
15. 若二次不等式的解集是，那么不等式的解集是______ ．
16. 设函数若，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知，，求，，．
18. 已知集合，且．
若是的充分条件，求的取值范围；
若，求的取值范围．
19. 若，为正实数，且，求的最小值
20. 已知恒成立．
求的取值范围；
解关于的不等式．
21. 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为万元辆，出厂价为万元辆，年销售量为辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润出厂价投入成本年销售量．
写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？
22. 已知函数
设，若关于的不等式的解集为，，且的充分不必要条件是，求的取值范围．
方程有两个实数根、，
若、均大于，试求的取值范围．
若，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，则，不正确，B正确，
是平方差公式，正确．
故选：．
直接对照平方差公式，完全平方公式即可判断．
本题考查平方差公式，完全平方公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，是方程的两根，
所以，，
所以．
故选：．
由根与系数的关系可得以，，从而计算得解．
本题主要考查方程的根与系数的关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：二次函数的图象与轴的交点坐标为，
，
又图象的顶点坐标为，
解得，，
故选：．
根据二次函数图象的顶点坐标与坐标轴的交点坐标特点，利用方程组可解答．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，是基础题型，也是常考题型．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的并集运算，属于基础题．
分别把两个集合表示在数轴上，根据数轴求出两集合的并集即可．
【解答】
解：把集合，表示在数轴上，
如图：
则．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分必要条件，考查转化思想，是一道基础题．
根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】
解：若，则，是充分条件，
若，则，不是必要条件，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，为正实数，且，当且仅当成立，
所以，
故选：．
由，为正实数，则，得出结论．
考查基本不等式的应用，基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
故不等式的解集是，
故选：．
结合二次函数的性质求出不等式的解集即可．
本题考查了解二次不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，
中的对应关系不同；
中的对应关系不同；
中的定义域不同；
符合题意．
故选：．
根据同一函数的定义分别判断即可．
本题考查了函数的定义域，解析式问题，考查同一函数的定义，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：由于，故A错误；
由于为有理数，所以也为有理数，故B正确；
当，时，，故选项C正确；
当时，，故D错误．
故选：．
直接利用关系式的变换判定和，利用赋值法的应用判定和的正误．
本题考查的知识要点：关系式的变换，存在性问题和恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为集合，，，
若，，符合题意，对；
若，，符合题意，对；
若，，符合题意，对；
若，，不符合题意，错；
故选：．
通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．
本题考查集合的包含关系，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
，
对于，，，
，，
，故A正确，
对于，，
，
，即，故B错误，
对于，，，
，故C正确，
对于，，
，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的性质，即可依次求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，故，故选项C错误，选项D正确；
，，故选项A错误，选项B正确．
故选：．
利用配凑法求出函数解析式，进而得解．
本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
分子分母同除以，再配方即可求值．
本题考查计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设两门都得优的人数是，则依题意得
，
整理，得：，
解得，
即两门都得优的人数是人．
故答案为：
用方程思想解题：设两门都得优的人数是人，则依据“数学得优人数语文得优人数两门都得优人数两门都不得优人数”列出方程．
本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
15.【答案】或
【解析】解：二次不等式的解集是，
且，解得，
不等式可化为，
两边同除以可得，
分解因式可得
解得或，
故答案为：或
由二次不等式和二次方程的关系可得且，解得代入要解的不等式，由不等式的性质约去可得，解此不等式可得．
本题考查一元二次不等式的解法，涉及韦达定理，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，，解得，
矛盾，无解
当时，，．
综上：
实数的取值范围是．
故答案为：
先根据分段函数的定义域选择好解析式，分时，和时两种情况求解，最后取并集．
本题主要考查分段函数，一元一次不等式，分式不等式的解法，还考查了分类讨论思想和运算能力．
17.【答案】解：，，
结合数轴，由图可知或，
又，
或，
或．
【解析】结合数轴，由图可知或，由，能求出和．
本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：是的充分条件，
，且，
，解得，
的取值范围为；
，且，
，解得，
的取值范围为．
【解析】根据题意即可得出，并且，从而得出，解出的范围即可；
根据，以及即可得出，解出的范围即可．
考查描述法的定义，充分条件的定义，空集的定义，以及子集的定义．
19.【答案】解：由，及，，得．
，当且仅当，，即，时取等号．
的最小值为．
故答案为．
【解析】把已知，变形为，而，展开再利用基本不等式的性质即可．
变形利用基本不等式是解题的关键．
20.【答案】解：因为恒成立．
当时，恒成立；
当时，要使恒成立．则，，
即，
解得：．
综上，的取值范围为：．
由，得．
因为：，
当，即时，
则；
当，即时，，不等式无解；
当，即时，
则．
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
【解析】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，二次不等式的分类讨论以及转化思想的应用，属于中档题．
对讨论，根据二次函数的性质即可求解；
根据的范围，讨论不等式的解集；
21.【答案】解：由题意得：，
整理得：；
要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须，
即，
解得，
所以投入成本增加的比例应在范围内．
【解析】利用年利润出厂价投入成本年销售量代入计算、化简即得结论；
问题即为解不等式，计算即得结论．
本题考查函数模型的选择与应用，考查解不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．
22.【答案】解：由得，即
得，
又，所以，
即，
的充分不必要条件是，
，
则得得，即实数的取值范围是．
方程为
若、均大于，则满足得，
得，即的取值范围．
若，
则，
则，
即，
，
得或，
得或，
则，即实数的值是．
【解析】求出不等式的解集，结合充分条件和必要条件的关系转化为集合关系进行求解即可．
利用根与系数之间的关系，建立不等式或方程进行求解即可．
本题主要考查一元二次方程与一元二次函数之间的关系，根据根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键．
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