1.3勾股定理的应用 同步练习（含答案） 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

北师大版数学八年级上册 第一章 勾股定理
1.3勾股定理的应用
一、选择题。
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（　　）
A．π B．3π C．9π D．6π
2.(2021·宁夏石嘴山质检)如图,有两棵树,一树高10米,另一树高4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 ( )
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
3．（2021春 长沙期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）
A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
4．（2020春 西城区校级期中）为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（　　）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
5．（2020 巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
6．（2020秋 禅城区期末）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（　　）
A．9 B．13 C．14 D．25
7．如图，带阴影的长方形面积是（　　）
A．9 cm2 B．24 cm2 C．45 cm2 D．51 cm2
8．（2020秋 河东区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝20°，AB+BD＝AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于（　　）
A．80° B．60° C．40° D．30°
9．如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）
A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺
10．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（　　　）海里
A．8 B．10 C．12 D．1
二、填空题。
1.最短路程问题
几何体上的最短路程是将立体图形的　　展开,转化为　　上的路程问题,再利用　　上两点之间,　　最短,解决最短路程问题.
2.要判断一个角是否是直角的方法
(1)以角的　　为端点,在两边上分别截取长度为　　的线段,连接两截点得一个　　.
(2)测量　　长度.
(3)试算三边的平方,判断是否满足　　;满足,则该角是　　.
3.勾股定理的实际应用
(1)构造合适的　　三角形.
(2)利用勾股定理构造　　解决实际问题.
4．（2020春 南岗区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上点C1处，则CD的长为　　．
5．（2020秋 莱州市期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是9cm，9cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，它至少要爬行　　cm．
三、解答题。
1．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，求木杆折断之前的高度.
2．如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移8m，求梯子AB的长.
3．（2019春 卧龙区期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，求△BDE的周长.
4.(2021·甘肃张掖质检)如图,一只螳螂在树干的点A处,发现它的正上方点B处有一只小虫子,螳螂想捕到这只虫子,但又怕被发现,于是就绕到虫子后面吃掉它,已知树干的半径为10 cm,A,B两点的距离为45 cm,求螳螂爬行的最短距离(π取3).
5．（2020秋 峄城区期中）已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？
答案
一、选择题。
1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B 7.C 8.C 9.C 10.B
二、填空题。
1. 侧面 平面 平面 线段
2. （1）顶点 整数 三角形 （2）第三边 （3）a2+b2=c2 直角
3. （1） 直角 （2）方程
4. 3
5. 30
三、解答题。
1.解：∵一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，
∴折断的部分长为：＝5，
∴折断前高度为5+3＝8（m）．
2.解：设AO＝xm，依题意，得AC＝4，BD＝8，
在Rt△AOB中，根据勾股定理
AB2＝AO2+OB2＝x2+72
在Rt△COD中，根据勾股定理
CD2＝CO2+OD2＝（x﹣4）2+（7+8）2，
x2+72＝（x﹣4）2+（7+8）2，
解得x＝24，
∴
3.分析：利用勾股定理求出AB＝10，利用翻折不变性可得AE＝AC＝6，推出BE＝4即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，
∴AB10，
由翻折的性质可知：AE＝AC＝6，CD＝DE，
∴BE＝4，
∴△BDE的周长＝DE+BD+BE＝CD+BD+E＝BC+BE＝8+4＝12
4.解:将圆柱形树干的侧面展开,如图所示,根据两点之间线段最短,可得AB即为螳螂爬行的最短距离.
AF=2π×10≈60 cm,BF=45 cm,∴AB2=AF2+BF2≈602+452=752,AB=75 cm.
答:螳螂爬行的最短距离约为75 cm.
5.【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解析】根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图1：
AB′2＝AB2+BB′2＝（2+1）2+42＝25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图2：
AB′2＝AC2+B′C2＝22+（4+1）2＝4+25＝29；
（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图3：
AB′2＝AD2+B′D2＝12+（4+2）2＝1+36＝37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2＝25，即AB′＝5cm，