1.2一定是直角三角形吗 同步练习（含答案） 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

北师大版数学八年级上册 第一章 勾股定理
1.2一定是直角三角形吗
一、选择题。
1．△ABC中，如果三边满足关系：BC2＝AB2＋AC2，则△ABC的直角是 (　　)
A．∠C B．∠A
C．∠B D．不能确定
2．已知△ABC的三边长分别为5,12,13，则△ABC的面积为 (　　)
A．30 B．60
C．78 D．无法确定
3．在△ABC中，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(　　)
A．b2＝a2－c2
B．a2∶b2∶c2＝1∶3∶2
C．∠A＝∠B－∠C
D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
4．若a，b，c分别是△ABC的三边，且a2＋(b＋c)2＝ 2bc＋2c2，则△ABC为 (　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
5．三角形三边之长分别为①3,4,5；②9,40,41；③7,24,25；④13,84,85.其中是直角三角形的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．如图，在7×4的网格上有一个△ABC(A，B，C分别在小正方形的顶点上)．若每个小正方形的边长都为1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
7.(2021·福州质检)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )
A.2,3,4 B.4,6,8 C.6,8,10 D.5,11,12
8.已知△ABC的三条边之比为3∶4∶5,则这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
9.(2021·泉州质检)三角形三边长分别为8,15,17,则最短边上的高为 ( )
A.8 B.15 C.16 D.17
10.在△ABC中,BC=0.5,AC=0.4,AB=0.3,则 ( )
A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D.∠A+∠B=90°
二、填空题。
1．（2021春 开福区期中）已知△ABC中，AC＝8，AB＝10，BC＝6，D是AB的中点，则CD＝　　．
2．（2021春 娄星区校级期中）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能判断出是△ABC直角三角形的有　　．
（1）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（2）a：b：c＝5：4：3；（3）a2+b2＝c2；
（4）∠A＝90°﹣∠B；（5）∠A+∠B＝∠C．
3．（2021春 广州校级期中）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点D为BC的中点，则线段AD的长为　　．
4．（2021春 海珠区月考）若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是　　．
5．（2020秋 宝应县期末）已知△ABC的三边长分别为6、8、10，则最长边上的高为　　．
三、判断。
1.以长度为2,2,3的线段为边能构成直角三角形. ( )
2.以1.5,2,2.5长度的三条线段,能组成直角三角形. ( )
3.在△ABC中,若AB=13,BC=5,AC=12,则∠A=90°. ( )
4.一个三角形的三边BC,AC,AB有如下关系:BC2=AC2+AB2,则△ABC中的直角是∠C. ( )
四、解答题。
1．如图，已知 ，点P在 上， ， ，垂足分别为D，E．求证： ．
2.如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．
(1)判断△BCD的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的周长．
3.有一块土地，如图所示，已知AB=8,,BC=6,CD=24,AD=26,求这块土地的面积.
4．已知等腰三角形ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
5．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．小明的解法：
解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，①
所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，②
所以c2＝a2＋b2，③
即△ABC是直角三角形．
请问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？
请写出该步的代号：__③__；
(2)错误的原因：__没有考虑a2－b2＝0的情况，因而出现丢解的错误__；
(3)写出本题正确的结论，并说明理由．
答案
一、选择题。
1.B 2.A 3.D 4.A 5.D 6.C 7.C 8.B 9.B 10.A
二、填空题。
1. 5
2.（2）（3）（4）（5）
3.
4.
5.
判断。
×
2.√
3.×
4.×
四、解答题。
1.15．【答案】证明：∵ ，
∴ 为 的角平分线，
又∵点P在 上， ， ，
∴ ， ，
又∵ （公共边），
∴ ．
2.(1)解：△BDC为直角三角形，理由如下，
∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，
而102=62+82，
∴BC2=BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形；
(2)解：设AB=xcm，
∵等腰△ABC，
∴AB=AC=x，则AD=x-6，
∵AB2=AD2+BD2，
即x2=（x-6）2+82，
∴x=，
∴△ABC的周长=2AB+BC=（cm）．
3.
解：连接AC，
∵AB=8，∠B=90°，BC=6，
∴AC= ．
∵CD=24，AD=26，
∴CD2=242=576，AD2=262=676，AC2=1002=100，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC
= AC CD- AB BC
=×10×24-×8×6
=120-24
=96．
答：这块土地的面积是96．
4.【解答】证明：（1）设AB＝AC＝acm，
∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
即∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）∵∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，
即a2＝（a﹣6）2+82，
解得：a＝，
即AB＝cm．
5.解：(3)△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．理由如下：
因为a2c2－b2c2＝a4－b4，
所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
即(a2－b2)·[c2－(a2＋b2)]＝0，
所以a2－b2＝0或c2－(a2＋b2)＝0.
当a2－b2＝0时，得a＝b，则△ABC为等腰三角形；
当c2－(a2＋b2)＝0时，得c2＝a2＋b2，
则△ABC为直角三角形；
当a2－b2＝0且c2－(a2＋b2)＝0时，
则△ABC为等腰直角三角形．
综上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．