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高中数学重难点突破
专题二 常用逻辑用语
知识归纳
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
2.充分必要性的集合判断方法
写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断：
①若A B，则p是q的充分条件；
②若AB，则p是q的充分不必要条件；
③若B A，则p是q的必要条件；
④若BA，则p是q的必要不充分条件；
⑤若A＝B，则p是q的充要条件；
⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．
3.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ ”表示.
4.全称命题和特称命题(命题p的否定记为p，读作“非p”)
名称形式 全称命题 特称命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x0∈M，p(x0) x∈M，p(x)
5.一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表
正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 都是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定
否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 不一定
典例分析
题型二 充分条件、必要条件的判定
例1、(1)(多选题)已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则
A．是的既不充分也不必要条件 B．是的充分条件
C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件
(2)(多选题)若，，，则下列叙述中正确的是
A．“”的充要条件是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“对恒成立”的充要条件是“”
D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
例2、(1)(多选题)给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能成为的充分不必要条件的是
A．① B．② C．③ D．④
(2)命题p：－1≤x<2的一个必要不充分条件是( )
A．－1≤x≤2 B．－1≤x<2
C．0≤x<2 D．0≤x<3
(3)使“x∈”成立的一个充分不必要条件是( )
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈{－1,3,5} D．x≤－或x≥3
题型二 充分条件、必要条件的应用
例3、(1)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
(2)已知“|x－1|<3”是“(x＋2)(x＋a)<0”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是________．
题型三、命题的否定
例4、(1)已知命题p：x＜y，使得x|x|≥y|y|，则p为 ( )
A.x≥y，使得x|x|≥y|y| B.x≥y，总有x|x|＜y|y|
C.x＜y，使得x|x|＜y|y| D.x＜y，总有x|x|＜y|y|
(2)命题“ x＞0，＞0”的否定是( )
A． x＜0，≤0 B． x＞0,0≤x≤1
C． x＞0，≤0 D． x＜0,0≤x≤1
题型四、命题的真假判断
例5、(1)下列命题正确
A．若，则 B．，
C． D．，
(2)设非空集合，满足，且，则下列选项中错误的是
A．，有 B．，使得
C．，使得 D．，有
题型五、含有量词( 、 )的参数取值问题
例6、若“ x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.(2，3] C. D.{3}
例7、已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a>1，x≥2)．
(1)若 x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，求实数m的取值范围；
(2)若x1∈[2，＋∞)，x2∈[2，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．
同步训练
1．已知命题，，那么“”是“为真命题”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
2．设，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若a∈R，则“|a－2|≥1”是“a≤0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知“命题p：x0∈R，ax＋2x0＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[0，1) B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
5．若a，b∈R，使|a|＋|b|＞4成立的一个充分不必要条件是( )
A．|a＋b|≥4 B．|a|≥4 C．|a|≥2且|b|≥2 D．b＜－4
6．下列说法正确的是
A．已知，，则“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的必要条件
D．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为
7．已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
8．若命题“，，”为假命题的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
9．写出x>1的一个必要不充分条件________．
10．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
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专题二 常用逻辑用语
知识归纳
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
2.充分必要性的集合判断方法
写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断：
①若A B，则p是q的充分条件；
②若AB，则p是q的充分不必要条件；
③若B A，则p是q的必要条件；
④若BA，则p是q的必要不充分条件；
⑤若A＝B，则p是q的充要条件；
⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．
3.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ ”表示.
4.全称命题和特称命题(命题p的否定记为p，读作“非p”)
名称形式 全称命题 特称命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x0∈M，p(x0) x∈M，p(x)
5.一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表
正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 都是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定
否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 不一定
典例分析
题型二 充分条件、必要条件的判定
例1、(1)(多选题)已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则
A．是的既不充分也不必要条件
B．是的充分条件
C．是的必要不充分条件
D．是的充要条件
【答案】
【解析】由已知得：；．
是的充分条件；是的充分条件；是的充要条件；是的充要条件．
正确的是、．
(2)(多选题)若，，，则下列叙述中正确的是
A．“”的充要条件是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“对恒成立”的充要条件是“”
D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
【答案】
【解析】对于，成立时，，所以，充分性成立；
时，，不能得出，所以必要性不成立；
是充分不必要条件，错误．
对于，时，成立，即充分性成立；
时，，解得或，必要性不成立；
是充分不必要条件，正确．
对于，对恒成立时，或，；
时，不等式对不恒成立，
是既不充分也不必要条件，错误．
对于，时，方程不一定有实数根，
如，△，方程无实根，所以充分性不成立；
方程有一个正根和一个负根时，，所以，必要性成立；
是必要不充分条件，正确．
例2、(1)(多选题)给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能成为的充分不必要条件的是
A．① B．② C．③ D．④
【答案】．
【解析】，且．当时，，不成立，①对；
，②错；
且，③错；
，但时，④对．
(2)命题p：－1≤x<2的一个必要不充分条件是( )
A．－1≤x≤2 B．－1≤x<2
C．0≤x<2 D．0≤x<3
【答案】A
【解析】－1≤x<2 －1≤x≤2，反之不成立，可得选项A是p的一个必要不充分条件．故选A.]
(3)使“x∈”成立的一个充分不必要条件是( )
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈{－1,3,5} D．x≤－或x≥3
【答案】C
【解析】选项中只有x∈{－1,3,5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件．]
题型二 充分条件、必要条件的应用
例3、(1)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
因为S是非空集合，则
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．
(2)已知“|x－1|<3”是“(x＋2)(x＋a)<0”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－4)
【解析】|x－1|<3 －3(x＋2)(x＋a)<0 所以－a＞4，即a＜－4.
题型三、命题的否定
例4、(1)已知命题p：x＜y，使得x|x|≥y|y|，则p为 ( )
A.x≥y，使得x|x|≥y|y| B.x≥y，总有x|x|＜y|y|
C.x＜y，使得x|x|＜y|y| D.x＜y，总有x|x|＜y|y|
【答案】D
【解析】因为命题p：x＜y，使得x|x|≥y|y|，所以命题p：x＜y，总有x|x|＜y|y|..
(2)命题“ x＞0，＞0”的否定是( )
A． x＜0，≤0 B． x＞0,0≤x≤1
C． x＞0，≤0 D． x＜0,0≤x≤1
【答案】B
【解析】因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，
所以命题的否定是 x＞0,0≤x≤1，故选B.
题型四、命题的真假判断
例5、(1)下列命题正确
A．若，则 B．，
C． D．，
【答案】
【解析】若，所以，则，所以正确；
，，反例时，，所以不正确；
，，当且仅当时，取等号，而时，，所以不正确；
，，恒成立，所以正确；
(2)设非空集合，满足，且，则下列选项中错误的是
A．，有 B．，使得
C．，使得 D．，有
【答案】．
【解析】，，正确；正确；错误；错误．
题型五、含有量词( 、 )的参数取值问题
例6、若“ x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是 ( )
A.(－∞，2] B.(2，3] C. D.{3}
【答案】A
【解析】因为 x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，所以 x∈，
2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即 x∈，λ≤2x＋恒成立是真命题，
当x∈时，由基本不等式得2x＋≥2＝2，当且仅当x＝∈时，等号成立，所以λ≤2，因此，实数λ的取值范围是(－∞，2]．
例7、已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a>1，x≥2)．
(1)若 x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，求实数m的取值范围；
(2)若x1∈[2，＋∞)，x2∈[2，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，
所以若 x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．
(2)因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若x1∈[2，＋∞)，x2∈[2，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，
则解得a∈(1，]．
同步训练
1．已知命题，，那么“”是“为真命题”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】．
【解析】命题，，△，，
为真命题时，，，是为真命题的必要不充分条件，
2．设，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】．
【解析】，，，
，，，，
则是的充分不必要条件，
3．若a∈R，则“|a－2|≥1”是“a≤0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】记不等式|a－2|≥1的解集为A，则A＝{a|a≤1或a≥3}，记B＝{a|a≤0}，则B A，即“a≤0”能推出“|a－2|≥1”，反之不能，所以“|a－2|≥1”是“a≤0”的必要不充分条件．故选B.
4．已知“命题p：x0∈R，ax＋2x0＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是 ( )
A．[0，1) B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
【答案】B
【解析】解法一：当a＝0时，2x＋1＜0，可得x＜－，此时命题p为真；当a≠0时，要使命题p为真，只要Δ＝4－4a＞0，即a＜1且a≠0即可．综上可知，a＜1.
解法二：命题p的否定是“x∈R，ax2＋2x＋1≥0”.当a＝0时，显然命题p为假；当a≠0时，命题p为真的充要条件是a＞0且Δ＝4－4a≤0，即a≥1.故p为真时，a的取值范围为A＝[1，＋∞)，故p为真时，a的取值范围为 RA＝(－∞，1)．
5．若a，b∈R，使|a|＋|b|＞4成立的一个充分不必要条件是( )
A．|a＋b|≥4 B．|a|≥4 C．|a|≥2且|b|≥2 D．b＜－4
【答案】D
【解析】对选项A，若a＝b＝2，则|a|＋|b|＝2＋2＝4，不能推出|a|＋|b|＞4；对选项B，若a＝4≥4，b＝0，此时不能推出|a|＋|b|＞4；对选项C，若a＝2≥2，b＝2≥2，此时不能推出|a|＋|b|＞4；对选项D，由b＜－4可得|a|＋|b|＞4，但由|a|＋|b|＞4得不到b＜－4.故选D.
6．下列说法正确的是
A．已知，，则“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的必要条件
D．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为
【答案】．
【解析】：若，则成立，若，则也成立，即充分性成立，
若，时，满足，但不成立，即必要性不成立，
是的必要不充分条件，正确，
：若，则有，必有成立，即充分性成立，
若，即，不一定成立，即必要性不成立，
是的充分不必要条件，正确，
，是的必要条件，正确，
是的必要不充分条件，即集合，，的最大值小于，
错误．
7．已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】设的一个充分不必要条件是，对应的集合为，
当时，，解得，所以，
因此满足条件的选项为，．
8．若命题“，，”为假命题的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】，，为假命题，
，，为真命题，，，，，
，，
9．写出x>1的一个必要不充分条件________．
【答案】x>0(答案不唯一)
【解析】[设命题P：“x>1”，欲求的条件为Q，
根据必要不充分条件的定义，由P Q成立，而Q推不出P，因此x>a，只要a<1，都能作为条件Q，不妨取a＝0，得“x>1” “x>0”；反之，不成立．]
10．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【答案】(0,3)
【解析】令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．
∵p是q的充分不必要条件，∴，
∴解得0＜a＜3.
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