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高中数学重难点突破
专题三 二次方程、二次不等式与二次函数的关系
知识归纳
三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
典例分析
一元二次不等式的解法
1、一元二次不等式求解
例1、解下列不等式：
(1)0
解 (1)原不等式等价于
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2(2)将原不等式移项通分得≥0，等价于解得x>5或x≤。
所以原不等式的解集为{x。
2、含参数的一元二次不等式的解法
例2、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a<－2时，不等式的解集为.
变式2、解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
解 原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，讨论a＋1与2(a－1)的大小．
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)．
(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}，当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x带字母的代数式因式分解
(1)x2－3ax－18a2>0 (2) (3) (4)
3、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
例3、已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2解 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝－，
故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
变式3、“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1,2)，解关于x的不等式cx2＋bx＋a>0.”给出如下的一种解法：
解：由ax2＋bx＋c>0的解集为(1,2)，得a2＋b＋c>0的解集为，即关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为.
参考上述解法：若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式－>0的解集为( )
A．(－1,1) B.∪ C.∪ D.∪
答案 B
解析 由＋<0的解集为∪，得＋<0的解集为∪，即－>0的解集为∪.故选B.
二、一元二次方程根的分布
表一：（两根与的大小比较）
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论（不讨论）
表二：（根在区间上的分布）
分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内，
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论) ——————
例4、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。
例4、解 由 即 即为所求的范围。
例5、已知方程x2－11x＋m－2＝0的两实根都大于1，求m的取值范围．
例5、答案 12例6、已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
例6、解 (1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得 ∴－(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内，则
∴－例7、已知关于x的方程(m－1)x2－2mx＋m2＋m－6＝0的两根为α、β且0<α<1<β，求m的取值范围．
例7、答案 －3例8、若方程4x＋(m－3)·2x＋m＝0有两个不相同的实根，求m的取值范围．
例8、答案 0解析 令2x＝t转化为关于t的一元二次方程有两个不同的正实根．
三、一元二次函数的图像与性质
1、二次函数的图象
例9、(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的是( )
A．b2>4ac；
B．2a－b＝1；
C．a－b＋c＝0；
D．5a例9、答案 AD
解析 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，B错误；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a2、求二次函数的解析式
例10、(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对 x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．
(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
例10、(1)答案 f(x)＝x2－2x＋3
解析 由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x) ，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.
(2)答案 x2＋2x
解析 设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.
思维升华 求二次函数解析式的方法
3、二次函数的单调性
例11、(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
例11、(1)答案 [－3,0]
解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞]上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上递减知解得－3≤a＜0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
答案 A
解析 二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，
当k＞0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k＜0时，＜0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，
该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
例12、已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围为( )
A．[－，] B．[1，] C．[2,3] D．[1,2]
例12、答案 B
解析 由于函数f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上递减，
∴t≥1. ∴当x∈[0，t＋1]时，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，
要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.
又t≥1，∴1≤t≤.故选B.
4、二次函数的值域与最值
例13、设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是__________．
例13、答案 [0,4]
解析 令f(x)＝－6，得x＝－1或x＝3；令f(x)＝2，得x＝1.
又f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
∴当m＝－1，n＝1时，m＋n取得最小值0；当m＝1，n＝3时，m＋n取得最大值4.
例14、已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B等于( )
A．16 B．－16 C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16
例14、答案 B
解析 令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)·x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，
解得x＝a＋2或x＝a－2.
f(x)与g(x)的图象如图．
由题意知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，
故A－B＝f(a＋2)－g(a－2)
＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.
四、一元二次函数在闭区间的最值问题
(一)、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1、轴定区间定
例15、函数的最小值为 ．
例15、答案 0
2、轴定区间动
例16、已知，当时，求的最小值与最大值．
例16、解 由已知可求对称轴为．
（1）当时，在上单调递增，
．
（2）当，即时，．
，根据对称性当时，．
当时，．
（3）当即时，在上单调递减，
，．
3、轴动区间定
评注：已知，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值。
例17、求函数在上的最大值。
例17、解析 函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）；由图可知
（2）；由图可知
（3） 时；由图可知
；即
(二)、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。
例18、已知函数在区间上的值域是，求m，n的值。
例18、解 讨论对称轴中1与的位置关系。
①若，则
解得
②若，则，无解
③若，则，无解
④若，则，无解
综上，
解析2：由，知，则，f(x)在上递增。
所以
解得
五、一元二次函数恒成立问题
1、在R上的恒成立问题
例19、已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
例19、解 当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．
当m≠0时，则即－4综上，－42、在给定区间上的恒成立问题
例20、已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．
例20、解 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，所以0当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二 因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
引申探究
1．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？
解 若f(x)<5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，
即m≥恒成立，则m≥max，
又x∈[1,3]，得m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞)．
2．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围．
解 由题意知f(x)<5－m有解，即m<有解，则m又x∈[1,3]，得m<6，即m的取值范围为(－∞，6)．
例21、函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．
例21、答案 2
解析 令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，
显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，
所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以a的最大值为2.
3、给定参数范围的恒成立问题
例22、若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．
例22、解 设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，
则即解得故x的取值范围为.
思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
同步练习
1．(多选题)下列不等式的解集为R的有( )
A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
答案 AC
解析 A中Δ＝12－4×1<0.满足条件；B中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
C中Δ＝62－4×10<0.满足条件；
D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．
2．已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案 D
解析 A项，因为a＜0，－＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．
B项，因为a＜0，－＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．
C项，因为a＞0，－＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．
D项，因为a＞0，－＞0，所以b<0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D.
3．若0A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2或x≥3a} D．{x|x≤3a或x≥3a2}
答案 A
解析 因为0所以不等式的解集为{x|3a2≤x≤3a}．
4．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B．
C. D．
答案 A
解析 法一：x2－2ax－8a2＜0可化为(x＋2a)(x－4a)＜0.
∵a＞0且解集为(x1，x2)，则x1＝－2a，x2＝4a，∴x2－x1＝6a＝15，解得a＝.
法二：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，
故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，结合a＞0得a＝.
5．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( )
A. B.
C．{x|－21}
答案 A
解析 ∵不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1即－1＋2＝－，(－1)×2＝，解得a＝－1，b＝1，则所求不等式可化为2x2＋x－1>0，
解得，故选A.
6．若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3,0) B．[－3,0] C．[－3,0) D．(－3,0]
答案 A
解析 由题意可得解得－37．若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为( )
A．(13，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(－∞，13)
答案 B
解析 m>x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时，f(x)min＝5，
存在x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故选B.
8．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
答案 B
解析 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，此时符合要求；当a>1时，不等
式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即19．当x∈(a，b]时，不等式≤1恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[－2,3) B．(－2,3]
C．(－2,3) D．{－2}
答案 A
解析 由≤1，得－1＝≤0，解得－2所以(a，b] (－2,3]，则a∈[－2,3)，故选A.
10．若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 由题意得，函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需
即解得－＜m＜0.]
11．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 。
答案
解析 不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，
∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-
12．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
答案
解析 由题意知，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
故解得a＝c，b＝a.
所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，解得即不等式ax2－bx＋c>0的解集为.
13．不等式ax2－bx＋c>0的解集是，对于系数a，b，c，有下列结论：
①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0.
其中正确结论的序号是________．
答案 ③⑤
解析 由ax2－bx＋c>0的解集为知a<0，∵＝－×2＝－1<0，∴c>0.
又＝－＋2>0，∴b<0. ∵－1 ，∴a＋b＋c≤0，又1∈，
∴a－b＋c>0，故③⑤正确．
14．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A {x|1≤x≤3}，则a的取值范围为________．
答案 －1解析 设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A {x|1≤x≤3}，
所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0.
若A＝ ，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1若A≠ ，则即所以2≤a≤.
综上，a的取值范围为－115．求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0.
(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
(2)有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4；
(3)至少有一个正根．
解 设y＝f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6.
(1)依题意有f(2)<0，即4＋4(m－1)＋2m＋6<0，得m<－1.
(2)依题意有解得－(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得
即∴－3②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<－3.
③有一个正根，另一根为0，此时可得∴m＝－3.
综上所述，得m≤－1.
16．解关于x的不等式：(a＋1)x2－(2a＋3)x＋2<0.
解 ①当a＋1=0即 a＝-1时，原不等式变为－x＋2<0， 即x>2.
②当a＋1>0即a>-1时，原不等式可转化为，
方程的根是；
若-12，解得2若a>，则<2， 解得③当a<-1时，原不等式可转化为.
∵a<-1，∴<2， 解得x<或x>2.
综上可知，当a>时，原不等式的解集为{x|当-12}．
当a<-1时，原不等式的解集为{x| x<或x>2}．
17．若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解 f(x)＝
当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2－ax＋a＝2＋a－，
当x∈(－∞，1)时，f(x)＝x2＋ax－a＝2－a－.
①当>1，即a>2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
②当0≤≤1，即0≤a≤2时，符合题意；③当<0，即a<0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是[0,2]．
18．函数f(x)＝x2＋ax＋3，
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围。
解 (1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
所以实数a的取值范围是[－6,2]。
(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：
①如图①，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，
有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2。
②如图②，g(x)的图象与x轴有交点，
但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即即
可得解得a∈ 。
③如图③，g(x)的图象与x轴有交点，
但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0。
即即可得所以－7≤a≤－6，
综上，实数a的取值范围是[－7,2]。
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3。
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立。
只需即解得x≤－3－或x≥－3＋。
所以实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)。
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高中数学重难点突破
专题三 二次方程、二次不等式与二次函数的关系
知识归纳
三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
典例分析
一元二次不等式的解法
1、一元二次不等式求解
例1、解下列不等式：
(1)02、含参数的一元二次不等式的解法
例2、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．
变式2、解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
带字母的代数式因式分解
(1)x2－3ax－18a2>0 (2) (3) (4)
3、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
例3、已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2变式3、“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1,2)，解关于x的不等式cx2＋bx＋a>0.”给出如下的一种解法：
解：由ax2＋bx＋c>0的解集为(1,2)，得a2＋b＋c>0的解集为，即关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为.
参考上述解法：若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式－>0的解集为( )
A．(－1,1) B.∪ C.∪ D.∪
二、一元二次方程根的分布
表一：（两根与的大小比较）
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论（不讨论）
表二：（根在区间上的分布）
分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内，
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论) ——————
例4、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。
例5、已知方程x2－11x＋m－2＝0的两实根都大于1，求m的取值范围．
例6、已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
例7、已知关于x的方程(m－1)x2－2mx＋m2＋m－6＝0的两根为α、β且0<α<1<β，求m的取值范围．
例8、若方程4x＋(m－3)·2x＋m＝0有两个不相同的实根，求m的取值范围．
三、一元二次函数的图像与性质
1、二次函数的图象
例9、(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的是( )
A．b2>4ac；
B．2a－b＝1；
C．a－b＋c＝0；
D．5a2、求二次函数的解析式
例10、(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对 x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．
(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
思维升华 求二次函数解析式的方法
3、二次函数的单调性
例11、(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
例12、已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围为( )
A．[－，] B．[1，] C．[2,3] D．[1,2]
4、二次函数的值域与最值
例13、设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是__________．
例14、已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B等于( )
A．16 B．－16 C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16
四、一元二次函数在闭区间的最值问题
(一)、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1、轴定区间定
例15、函数的最小值为 ．
2、轴定区间动
例16、已知，当时，求的最小值与最大值．
3、轴动区间定
评注：已知，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值。
例17、求函数在上的最大值。
(二)、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。
例18、已知函数在区间上的值域是，求m，n的值。
五、一元二次函数恒成立问题
1、在R上的恒成立问题
例19、已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
2、在给定区间上的恒成立问题
例20、已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．
引申探究
1．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？
2．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围．
例21、函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．
3、给定参数范围的恒成立问题
例22、若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．
同步练习
1．(多选题)下列不等式的解集为R的有( )
A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
2．已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
3．若0A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2或x≥3a} D．{x|x≤3a或x≥3a2}
4．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A． B．
C． D．
5．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( )
A． B．
C．{x|－21}
6．若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3,0) B．[－3,0] C．[－3,0) D．(－3,0]
7．若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为( )
A．(13，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(－∞，13)
8．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
9．当x∈(a，b]时，不等式≤1恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[－2,3) B．(－2,3]
C．(－2,3) D．{－2}
10．若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．
11．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 .
12．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
13．不等式ax2－bx＋c>0的解集是，对于系数a，b，c，有下列结论：
①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0.
其中正确结论的序号是________．
14．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A {x|1≤x≤3}，则a的取值范围为________．
15．求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0.
(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
(2)有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4；
(3)至少有一个正根．
16．解关于x的不等式：(a＋1)x2－(2a＋3)x＋2<0.
17．若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
18．函数f(x)＝x2＋ax＋3，
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围。
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