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高中数学重难点突破
专题四 基本不等式
知识归纳
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
2.ab≤≤.
3.≤≤≤(a＞0，b＞0)．
典例分析
题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值
例1、(1)已知0(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
【答案】(1) (2)2＋2
【解析】(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．(2)y＝
＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立．
题型二 通过常数代换利用基本不等式求最值
例2、(1)若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为( )
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
【答案】A
【解析】因为2m＋n＝1，则＋＝·(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当n＝m，即m＝，n＝－1时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2，故选A.
(2)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．
【答案】7＋4
【解析】因为＋＝1，所以xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)＝7＋＋≥7＋4(当且仅当y＝x，即x＝1＋，y＝2＋时取等号)．
所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.
(3)已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为________．
【答案】
【解析】令x＋1＝m，y＋2＝n，∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
∴＋＝＋＝×(m＋n)＝≥·(2＋2)＝.
当且仅当＝，即m＝n＝4时等号成立．∴＋的最小值为.
题型三 通过消元法利用基本不等式求最值
例3、(1)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
【答案】6
【解析】 法一：由已知得x＋3y＝9－xy，
又因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2，所以3xy≤，
当且仅当x＝3y时，即x＝3，y＝1时取等号，
(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6即x＋3y≥6.
法二：由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6.
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1时等号成立．所以x＋3y的最小值为6.
(2)已知，，，，则的（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为
【答案】A
【解析】由题意知，，，，则，
又由，
当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故选A．
题型四 利用基本不等式构造不等式求最值
例4、正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________．
【答案】
【解析】∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，∴5xy≤1，∴xy≤，当且仅当y＝2x时取等号，
∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，
∴(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤2，即(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2，
∴(2x＋y)2≤，∴2x＋y≤，当且仅当2x＝y时，取等号．
题型五 多次利用基本不等式求最值
例5、(1)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.
(2)设a>b>0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵a>b>0，∴a－b>0，
∴a(a－b)>0，a2＋＋＝a2＋ab－ab＋＋＝a2－ab＋＋ab＋
＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，
当且仅当即a＝，b＝时等号成立．∴a2＋＋的最小值是4.
题型六、利用基本不等式求参数的值或取值范围
例6、(1)已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．
【答案】4
【解析】(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a>0)，
当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)的最小值为(＋1)2，
所以(＋1)2≥9恒成立，所以a≥4.
(2)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．a＞
C．a＜ D．a≤
【答案】A
【解析】因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，
当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥.故选A.
(3)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即a≥－＋3.
设g(x)＝x＋，当x＝，即x＝2时，g(x)取得最小值，又x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝.
因为g(2)＞g(3)，所以g(x)min＝，所以－＋3≤－，
所以a≥－，故a的取值范围是.
同步训练
1．已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，则ab的最大值是( )
A．15 B．12
C．5 D．3
【答案】C
【解析】因为a2＋b2＝15－ab≥2ab，所以3ab≤15，即ab≤5，当且仅当a＝b＝±时等号成立．所以ab的最大值为5.故选C.
2．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为( )
A. B．
C．－1 D．0
【答案】D
【解析】f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.
3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
【答案】C
【解析】因为＋＝，所以a＞0，b＞0，
由＝＋≥2＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2.
4．已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是( )
A. B．
C. D．3
【答案】D
【解析】因为x＋y＋z＝1，05．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12
C．18 D．24
【答案】B
【解析】由＋≥，得m≤(a＋3b)＝＋＋6.
又＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，
所以m≤12，所以m的最大值为12.
6．(多选题)已知，为正数，，则
A．的最大值为2 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】
【解析】因为，为正数，，可得，当且仅当时取等号，所以正确；
由于，当且仅当时取等号，所以不正确；
因为，所以，当且仅当时取等号，所以不正确；
因为，所以，当且仅当时取等号，所以正确；
7．(多选题)下列说法正确的有
A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
【答案】
【解析】对于选项，当时，，故选项错误，
对于选项，当时，，
则，
当且仅当时，等号成立，故选项正确，
对于选项，若正数、满足，则，
，
当且仅当时，等号成立，故选项正确，
对于选项，，
所以，可得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为，选项正确．
8．已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
【答案】2＋
【解析】由a>0，b>0，3a＋b＝2ab，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋，
当且仅当b＝a时等号成立，则a＋b的最小值为2＋.
9．若a＋b≠0，则a2＋b2＋的最小值为________．
【答案】
【解析】a2＋b2＋≥＋≥2＝，
当且仅当a＝b＝2－时，a2＋b2＋取得最小值.
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解 (1)∵xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8，即xy≥64，
当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立，∴xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.
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专题四 基本不等式
知识归纳
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
2.ab≤≤.
3.≤≤≤(a＞0，b＞0)．
典例分析
题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值
例1、(1)已知0(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
题型二 通过常数代换利用基本不等式求最值
例2、(1)若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为( )
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
(2)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．
(3)已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为________．
题型三 通过消元法利用基本不等式求最值
例3、(1)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
(2)已知，，，，则的（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为
题型四 利用基本不等式构造不等式求最值
例4、正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________．
题型五 多次利用基本不等式求最值
例5、(1)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
(2)设a>b>0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型六、利用基本不等式求参数的值或取值范围
例6、(1)已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．
(2)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．a＞
C．a＜ D．a≤
(3)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
同步训练
1．已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，则ab的最大值是( )
A．15 B．12
C．5 D．3
2．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为( )
A. B．
C．－1 D．0
3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
4．已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是( )
A. B．
C. D．3
5．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12
C．18 D．24
6．(多选题)已知，为正数，，则
A．的最大值为2 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
7．(多选题)下列说法正确的有
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
8．已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
9．若a＋b≠0，则a2＋b2＋的最小值为________．
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
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