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高中数学重难点突破
专题五 函数的概念及其表示
知识归纳
1．函数的概念
(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.
(2)函数的四个特征：
①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
2．函数的三要素
(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).
(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
3．函数的相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
4．区间的概念
设a，b是两个实数，而且a(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
(2)满足不等式a(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
5．函数的表示法
函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
6．抽象函数与复合函数
(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
典例分析
题型一、对函数概念的理解
【例1】以下从M到N的对应关系表示函数的是（ ）
A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
D．M＝R，N＝R，f：x→y
【答案】B．
【解析】A中，M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，
B中，M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
M中任一元素，在B中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，
C中，M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义，
D中，M＝R，N＝R，f：x→y，
M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，
【变式1-1】下列关于x，y的关系中为函数的是（ ）
A． B．y2＝4x C．y
x 1 2 3 4
y 0 0 ﹣6 11
D．
【答案】D．
【解析】对于A，y中，令，解得，即x∈ ，不是关于x，y的函数；
对于B，y2＝x，当x＞0时，有两个y与x对应，不是关于x，y的函数；
对于C，y，当x＝1时，有y＝±1，所以不是关于x，y的函数；
对于D，满足任取定义域内的x，都有唯一的y与x对应，是关于x，y的函数．
【变式1-2】设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B．
【解析】从图象可知，A：2找不到对应的元素，故不是从集合M到集合N的函数；
B：成立；C：1对应两个元素，故不是从集合M到集合N的函数；
D：2对应的元素在集合N外，故不是从集合M到集合N的函数．
题型二、同一函数的判断
【例2】下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．， B．f（x）＝1，g（x）＝x0
C．f（x），g（t）＝|t| D．f（x）＝x+1，
【答案】C．
【解析】对于选项A，函数f（x）的定义域是全体实数，函数g（x）的定义域是全体非负实数，故两个函数不是同一个函数；
对于选项B，函数f（x）的定义域是全体实数，函数g（x）的定义域是全体非零实数，故两个函数不是同一个函数；
对于选项C，函数f（x）的定义域是全体实数，函数g（x）的定义域是全体实数，且对应关系相同，故两个函数是同一个函数；
选项D，函数f（x）的定义域是全体实数，函数g（x）的定义域是不等于1的实数，故两个函数不是同一个函数．
【变式2-1】下列函数中与函数y＝x2是同一函数的是（ ）
A．u＝v2 B．y＝x |x| C．y D．
【答案】A．
【解析】A．y＝x2的定义域为R，u＝v2的定义域为R，定义域和对应关系都相同，是同一函数；
B．y＝x2与y＝x |x|的对应关系不同，不是同一函数；
C.的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；
D.的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一函数．
【变式2-2】下列函数为同一函数的是（ ）
A．f（x）与g（x） B．与
C．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1 D．f（x）＝1与g（x）＝x0（x≠0）
【答案】C．
【解析】对于A，f（x），定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（x），定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B，f（x），定义域是[0，+∞），g（x），定义域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于C，f（x）＝x2﹣2x﹣1，定义域是R，g（t）＝t2﹣2t﹣1，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，f（x）＝1，定义域是R，g（x）＝x0＝1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数．
题型三、函数的定义域问题
【例3】(1)函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【解析】要使f（x）有意义，则，解得，且x≠0，∴f（x）的定义域为．
(2)已知的定义域为，则函数的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得．
【变式3-1】函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【答案】B．
【解析】f（x）的定义域是R，则﹣mx2﹣2x+1≥0恒成立，
即mx2+2x﹣1≤0恒成立，则，解得m≤﹣1，所以实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
【变式3-2】已知函数f（x）的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0或a＜﹣12 B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣12
【答案】B．
【解析】∵f（x）的定义域是R，∴a＝0时，﹣3＜0恒成立；
a≠0时，△＝a2+12a＜0，解得﹣12＜a＜0，满足ax2+ax﹣3＜0恒成立，
∴实数a的取值范围为﹣12＜a≤0．
【变式3-3】(1)已知的定义域为，，求函数的定义域；
(2)已知的定义域为，，求函数的定义域．
(3)已知函数的定义域为，，求函数的定义域．
(4)已知函数的定义域为，，求函数的定义域．
【解析】(1)函数的定义域为，，由得：，，
故函数的定义域为，；’
(2)函数的定义域为，，，，，，
故函数的定义域为：，．
(3)因为函数的定义域是，，所以函数 f（1﹣x2）中﹣1≤1﹣x2≤2，
∴﹣1≤x2≤2，即，，的定义域为，．
(4)函数的定义域为，，
∴﹣2＜x≤1，﹣4＜2x≤2，﹣7＜2x﹣3≤﹣1，即函数的定义域为，．
题型四、求函数的解析式
求函数解析式常用的方法
1．换元法：
已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
2．配凑法：
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
3．待定系数法：
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
4．方程组法：
已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
【例4】(1)设函数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，
所以 ，解得：，，所以.故选：D
(2)若函数满足，则___________．
【答案】
【解析】在关系式中，用代换掉得，
两式构成方程组，解方程组可得,所以.
(3)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．
【答案】f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
【解析】令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋
＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
【变式4-1】(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式;
(2)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x,求f(x)的解析式;
(3)已知，求的解析式.
(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
(2)将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
(3)由题意得：定义域为
设，则
题型五、函数的值域问题
【例5】(1)函数，，的值域为 ．
【答案】，
【解析】，，，，，原函数的值域为，．
(2)函数的值域是 .
【答案】[0，+∞）．
【解析】∵当x＞1时，函数 y，且（x﹣2）2≥0，x﹣1＞0，
∴y≥0，即函数的值域为[0，+∞），
(3)函数 的值域是 .
【解析】=
当时 ,，当时 ,，
∴函数的值域为。
(4)函数的值域是 .
【答案】，
【解析】，
，，则，
．即函数的值域是，．
(5)函数的值域是 .
【答案】
【解析】，所以函数的定义域为R.
原函数可以化为整理得：
当时，上式可以看成关于x的二次方程，
该方程的x范围应该满足即此时方程有实数根即，
.
当时方程化为7=0，显然不成立，所以.
(6)函数的最大值是
【答案】
【解析】 故函数的最大值为：.
(7)函数的值域为
【答案】，
【解析】设，则，，
，原函数的值域为．
【变式5-1】函数f（x）＝x2﹣2x+2（x≥2）的值域是（ ）
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C． D．[2，+∞）
【答案】D．
【解析】∵函数f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，故二次函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
∵x≥2，∴当x＝2时，函数取得最小值为2，函数没哟最大值，故函数的值域为[2，+∞），
【变式5-2】函数的值域是
【答案】或
【解析】，
当时，有，
当且仅当，即，也就是时上式等号成立；
当时，有，
当且仅当，即，也就是时上式等号成立．
函数的值域是或．
【变式5-3】函数的值域为
【答案】，
【解析】由，得．函数为上的增函数，函数为，上的增函数，
是，上的增函数，．
即函数的值域为，．
【变式5-4】已知函数的值域为，，则的取值范围是
【答案】，
【解析】当时，对任意实数恒成立，不合题意；
要使函数的值域为，，则，解得．
的取值范围是，．
【变式5-5】已知函数f（x）＝3x2﹣2（m+3）x+m+3的值域为[0，+∞），则实数m的取值范围为（ ）
A．{0，﹣3} B．[﹣3，0] C．（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞） D．{0，3}
【答案】A．
【解析】∵f（x）＝3x2﹣2（m+3）x+m+3的值域为[0，+∞），∴△＝4（m+3）2﹣12（m+3）＝0，
解可得m＝0或m＝﹣3，则实数m的取值范围为{0，﹣3}．
【变式5-6】设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数则y＝[x]称为高斯函数．例如：[π]＝3，[﹣5.1]＝﹣6．已知函数f（x），则函数y＝[f（x）]的值域为（ ）
A．{﹣1} B．{﹣1，0} C．{1} D．{﹣1，0，1}
【答案】D．
【解析】①当x＝0时，f（0）＝0，②当x＞0时，f（x）1（当且仅当x＝1时，等号成立），
故0＜f（x）≤1，
③当x＜0时，f（x）1（当且仅当x＝﹣1时，等号成立），
故﹣1≤f（x）＜0，故函数y＝f（x）的值域为[﹣1，1]，
故函数y＝[f（x）]的值域为{﹣1，0，1}，
题型六、分段函数
【例6】(1)已知函数f（x），则f（f（5））＝（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】C．
【解析】因为5＞0，代入函数解析式f（x）得f（5）＝3﹣5＝﹣2，
所以f（f（5））＝f（﹣2），因为﹣2＜0，代入函数解析式f（x）得f（﹣2）＝（﹣2）2+4×（﹣2）+3＝﹣1
(2)已知则不等式的解集是________.
【答案】
【解析】当时，，代入，解得，∴；
当时，，代入，解得，∴；综上可知.
(3)已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若，则x的值是
E.的解集为
【答案】BD
【解析】由题意知函数的定义域为，故A错误；
当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；
当时，，故C错误；
当时，，解得（舍去），当时，，解得
或（舍去），故D正确；
当时，，解得，当时，，解得，因此的解集为；故E错误.
【变式6-1】已知函数y，若f（a）＝10，则a的值是（ ）
A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5
【答案】B．
【解析】若a≤0，则f（a）＝a2+1＝10,∴a＝﹣3（a＝3舍去）
若a＞0，则f（a）＝2a＝10∴a＝5, 综上可得，a＝5或a＝﹣3
【变式6-2】已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）＝f（1+a），则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】∵a≠0，f（1﹣a）＝f（1+a）
当a＞0时，1﹣a＜1＜1+a，则f（1﹣a）＝2（1﹣a）+a＝2﹣a，f（1+a）＝﹣（1+a）﹣2a＝﹣1﹣3a
∴2﹣a＝﹣1﹣3a，即a（舍）
当a＜0时，1+a＜1＜1﹣a，则f（1﹣a）＝﹣（1﹣a）﹣2a＝﹣1﹣a，f（1+a）＝2（1+a）+a＝2+3a
∴﹣1﹣a＝2+3a即,综上可得a
【变式6-3】设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）
【答案】B
【解析】当时，，则
当时， ， ，有或，，
综上可知：x0的取值范围是或.选B.
课后作业
1、已知函数f（x）的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项能表示f（x）的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
1、【答案】D．
【解析】C表示的不是函数的图象，因为其不函数定义中B中有唯一的元素和A中元素对应；
A、B表示的图象是函数，其值域为B＝{y|0≤y≤2}，故也不满足要求；
D表示的图象是函数，其定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，故满足要求；
2、已知函数，则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A． B．{x|x≠2} C．{x|x≠5} D．
2、【答案】A．
【解析】函数的定义域为{x|x≠2}，则2x+1≠2，解得x
即函数f（2x+1）的定义域为{x|x}，
3、（2021 尖山区校级开学）函数的值域是
A．， B．， C． D．，
3、【答案】．
【解析】函数，故二次函数的图象关于直线对称，
，当时，函数取得最小值为2，函数没哟最大值，
故函数的值域为，，
4、函数的值域是
A． B．， C．， D．，
4、【答案】．
【解析】当时，，故函数的值域为，
5、设f（x），则f（5）的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5、【答案】B．
【解析】∵f（x），
∴f（5）＝f[f（11）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝11．
6、已知函数f（x）对任意x∈R，都有，当x∈[0，2]时，f（x）＝﹣x2+2x，则函数f（x）在[﹣2，6]上的值域为（ ）
A．[0，1] B．[，0] C．[﹣2，0] D．[﹣2，4]
6、【答案】D．
【解析】当x∈[0，2]时，f（x）＝x（2﹣x）＝1﹣（x﹣1）2∈[0，1]，
则当x∈[﹣2，0]时，即x+2∈[0，2]，所以；
当x∈[2，4]时，即x﹣2∈[0，2]，
由，得f（x+2）＝﹣2f（x），从而f（x）＝﹣2f（x﹣2）∈[﹣2，0]；
当x∈[4，6]时，即x﹣2∈[2，4]，则f（x）＝﹣2f（x﹣2）∈[0，4]．
综上得函数f（x）在[﹣2，6]上的值域为[﹣2，4]．
7、函数则不等式的解集是
A． B．
C． D．
7、【答案】．
【解析】当时，，即为，解得或，或
当时，，即为，解得，
综上，
故不等式的解集是
8、已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围为
A． B．， C．， D．，
8、【答案】．
【解析】函数的图象，如图，
不妨设，则，关于直线对称，故，且满足；
则的取值范围是：；
即，．
9、(多选题)若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则实数m的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9、【答案】ABC．
【解析】函数y＝x2﹣4x﹣4的对称轴方程为x＝2，
当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，x＝0时取最大值﹣4，x＝m时有最小值m2﹣4m﹣4＝﹣8，解得m＝2．
则当m＞2时，最小值为﹣8，而f（0）＝﹣4，由对称性可知，m≤4．
∴实数m的值可能为2，3，4．
10、(多选题)若函数在区间，上有意义，则实数的可能取值是
A． B．1 C．3 D．5
10、【答案】．
【解析】①时，解得，，或，
在，上有意义，，，可以取1；
②时，解得，或，满足在，上有意义，可以取，
综上得，的可能取值是，1．
11、(多选题)下列函数中值域为R的有( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg(x2－2)
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3－1
11、【答案】ABD
【解析】A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件；
B项，由x2－2>0得x>或x<－，此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件；
C项，f(x)＝当x>2时，f(x)＝2x>4，当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，所以f(x)≥0，
即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；
D项，f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件．
12、(多选题)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[－1,2]，则值域也为[－1,2]的函数是( )
A．y＝2f(x)＋1 B．y＝f(2x＋1)
C．y＝－f(x)＋1 D．y＝|f(x)|
12、【答案】BC
【解析】y＝f(x)，x∈R，f(x)的值域为[－1,2]，
对于A，f(x)∈[－1,2]，∴2f(x)＋1∈[－1,5]，故A不满足；
对于B，当x∈R时，2x＋1∈R，
∴f(2x＋1)∈[－1,2]，故B满足；
对于C，∵f(x)∈[－1,2]，∴－f(x)∈[－2,1]，
∴－f(x)＋1∈[－1,2]，故C满足；
对于D，f(x)∈[－1,2]，∴|f(x)|∈[0,2]，故D不满足．
13、已知函数，则它的值域为 。
13、【答案】
【解析】，
，，，，，的值域为．
14、已知函数，则该函数在，上的值域是 。
14、【答案】，
【解析】，在上单调递减，在，上单调递增，
（2）是在，上的最小值，且（1），（3），
在，上的值域为，．
15、函数的值域为 。
【解析】由，得．
函数为上的增函数，函数为，上的增函数，
是，上的增函数，．
即函数的值域为，．
16、函数的值域是 。
16、【答案】
【解析】，
当时，单调递增，故；
当时，先减后增，当时，函数取得最小值，故，
综上可得，函数的值域为．
17、已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
【答案】{a|a≥4＋2或a≤4－2}
【解析】令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞) {y|y＝g(x)}，即函数对应的一元二次方程的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，
解得a≥4＋2或a≤4－2，
∴a的取值范围是{a|a≥4＋2或a≤4－2}．
18、已知函数f(x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.
18、【答案】3
【解析】f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b>1，则f(1)＝1，f(b)＝(b－1)2＋1，
∵f(x)在[1，b]上为增函数，∴函数f(x)的值域为.
由已知得(b－1)2＋1＝b，解得b＝3或b＝1(舍).
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高中数学重难点突破
专题五 函数的概念及其表示
知识归纳
1．函数的概念
(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.
(2)函数的四个特征：
①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
2．函数的三要素
(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).
(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
3．函数的相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
4．区间的概念
设a，b是两个实数，而且a(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
(2)满足不等式a(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
5．函数的表示法
函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
6．抽象函数与复合函数
(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
典例分析
题型一、对函数概念的理解
【例1】以下从M到N的对应关系表示函数的是( )
A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
D．M＝R，N＝R，f：x→y
【变式1-1】下列关于x，y的关系中为函数的是( )
A． B．y2＝4x C．y
x 1 2 3 4
y 0 0 ﹣6 11
D．
【变式1-2】设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A．B．C． D．
题型二、同一函数的判断
【例2】下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．， B．f（x）＝1，g（x）＝x0
C．f（x），g（t）＝|t| D．f（x）＝x+1，
【变式2-1】下列函数中与函数y＝x2是同一函数的是( )
A．u＝v2 B．y＝x |x| C．y D．
【变式2-2】下列函数为同一函数的是( )
A．f（x）与g（x） B．与
C．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1 D．f（x）＝1与g（x）＝x0（x≠0）
题型三、函数的定义域问题
【例3】(1)函数的定义域为( )
A． B．
C． D．
(2)已知的定义域为，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【变式3-1】函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【变式3-2】已知函数f（x）的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A．a≥0或a＜﹣12 B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣12
【变式3-3】(1)已知的定义域为，，求函数的定义域；
(2)已知的定义域为，，求函数的定义域．
(3)已知函数的定义域为，，求函数的定义域．
(4)已知函数的定义域为，，求函数的定义域．
题型四、求函数的解析式
求函数解析式常用的方法
1．换元法：
已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
2．配凑法：
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
3．待定系数法：
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
4．方程组法：
已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
【例4】(1)设函数，满足，则( )
A． B． C． D．
(2)若函数满足，则___________．
(3)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．
【变式4-1】(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式;
(2)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x,求f(x)的解析式;
(3)已知，求的解析式.
题型五、函数的值域问题
【例5】(1)函数，，的值域为 ．
(2)函数的值域是 .
(3)函数 的值域是 .
(4)函数的值域是 .
(5)函数的值域是
(6)函数的最大值是
(7)函数的值域为
【变式5-1】函数f（x）＝x2﹣2x+2（x≥2）的值域是( )
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C． D．[2，+∞）
【变式5-2】函数的值域是
【变式5-3】函数的值域为
【变式5-4】已知函数的值域为，，则的取值范围是
【变式5-5】已知函数f（x）＝3x2﹣2（m+3）x+m+3的值域为[0，+∞），则实数m的取值范围为( )
A．{0，﹣3} B．[﹣3，0] C．（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞） D．{0，3}
【变式5-6】设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数则y＝[x]称为高斯函数．例如：[π]＝3，[﹣5.1]＝﹣6．已知函数f（x），则函数y＝[f（x）]的值域为( )
A．{﹣1} B．{﹣1，0} C．{1} D．{﹣1，0，1}
题型六、分段函数
【例6】(1)已知函数f（x），则f（f（5））＝（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1
(2)已知则不等式的解集是________.
(3)已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若，则x的值是
E.的解集为
【变式6-1】已知函数y，若f（a）＝10，则a的值是（ ）
A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5
【变式6-2】已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）＝f（1+a），则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）
课后作业
1、已知函数f（x）的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项能表示f（x）的图象的是（ ）
A． B． C． D．
2、已知函数，则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A． B．{x|x≠2}
C．{x|x≠5} D．
3、函数的值域是
A．， B．，
C． D．，
4、函数的值域是
A． B．，
C．， D．，
5、设f（x），则f（5）的值为（ ）
A．10 B．11
C．12 D．13
6、已知函数f（x）对任意x∈R，都有，当x∈[0，2]时，f（x）＝﹣x2+2x，则函数f（x）在[﹣2，6]上的值域为（ ）
A．[0，1] B．[，0]
C．[﹣2，0] D．[﹣2，4]
7、函数则不等式的解集是
A． B．
C． D．
8、已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围为
A． B．，
C．， D．，
9、(多选题)若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则实数m的值可能为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
10、(多选题)若函数在区间，上有意义，则实数的可能取值是
A． B．1
C．3 D．5
11、(多选题)下列函数中值域为R的有( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg(x2－2)
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3－1
12、(多选题)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[－1,2]，则值域也为[－1,2]的函数是( )
A．y＝2f(x)＋1 B．y＝f(2x＋1)
C．y＝－f(x)＋1 D．y＝|f(x)|
13、已知函数，则它的值域为
14、已知函数，则该函数在，上的值域是
15、函数的值域为
16、函数的值域是
17、已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是 ．
18、已知函数f(x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.
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