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高中数学重难点突破
专题六 函数的基本性质
知识归纳
一、函数的单调性
1、单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2、单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
二、函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为y＝f(x)的最大值 M为y＝f(x)的最小值
三、函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
四、函数的对称性
1、轴对称
对于函数的定义域内任意一个，
图象关于直线对称.
推论1： 的图象关于直线对称.
推论2： 的图象关于直线对称.
推论3： 的图象关于直线对称.
求对称轴方法：
2、中心对称
对于函数的定义域内任意一个，
的图象关于点对称.
推论1：的图象关于点对称.
推论2：的图象关于点对称.
推论3：的图象关于点对称.
求对称中心方法：
小结: 轴对称与中心对称的区别
轴对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；
中心对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.
典例分析
题型一、函数单调的判定
【例1-1】函数f（x）的单调递增区间是 ．
【答案】[0，1]
【解析】设t＝2x﹣x2，则y为增函数，
由2x﹣x2≥0，得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，
函数t＝2x﹣x2的对称轴为x＝1，
要求f（x）的单调递增区间，即求函数t＝2x﹣x2的单调递增区间，
∵t＝2x﹣x2的单调递增区间为[0，1]，∴函数f（x）的单调递增区间为[0，1]，
故答案为：[0，1]
【例1-2】（多选题）关于函数的下列结论正确的是（ ）
A．图像关于对称 B．最小值为
C．图像关于点对称 D．在上单调递减
【答案】ABD
【解析】函数图像如图所示， 观察函数图像可得：图像关于 x 1对称，选项 A 正确；最小值为 1，选项 B 正确； 图像不关于点 1, 1 对称，选项 C 错误；在 ,0 上单调递减，选项 D 正确；故选 C.
【例1-3】函数的单调增区间是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【解析】定义域为 恒成立
所以在上单增，在上单增
所以函数的单调增区间是
【例1-4】设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
【答案】[0,1)
【解析】由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．
【变式1】作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
【答案】（1）减区间：和，值域：；
减区间：和，增区间：和，值域：；
增区间：和，减区间：，值域：；
减区间：和，增区间：和，值域：；
（5）减区间：和，增区间：和，值域：，大致图像见解析
【解析】（1），图象如图一所示：
图一 图二 图三
函数在和为减函数.因为，所以，故值域为：；
（2），图象如图二所示：
函数在和为减函数，在和为增函数，
当时，取得最小值，故值域：；
（3），图象如图三所示：
函数在和为增函数，在为减函数，
值域为：.
（4），图象如图四所示：
图四 图五
函数在和为减函数，在和为增函数.值域为：；
（5），图象如图五所示，函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：.
题型二、函数单调性的运用
【例2-1】若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x＝3解得故答案为：
【例2-2】若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【答案】B
【解析】因为函数f(x)＝2|x－a|＋3＝且函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a＞1.所以a的取值范围是(1，＋∞)．
【例2-3】函数在区间（b，+∞）上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞﹣2 B．b＞﹣1 C．b≥﹣1 D．a＜﹣2
【答案】AC．
【解析】根据题意，2，
可以由函数y的图象向左平移一个单位，向上平移2个单位得到，
若函数在区间（b，+∞）上单调递增，必有﹣（2+a）＜0且b≥﹣1，
解可得：a＞﹣2且b≥﹣1，
【例2-4】已知函数是上的增函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】函数是上的增函数，设，
由分段函数的性质可知，函数在，单调递增，函数在单调递增，且（1）（1），解可得，
【变式2】已知f(x)＝不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－2)
【解析】二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，
∴－x2－2x＋3＜3，∴f(x)在R上单调递减，
∴由f(x＋a)＞f(2a－x)得到x＋a＜2a－x，即2x＜a，∴2x＜a在[a，a＋1]上恒成立，
∴2(a＋1)＜a，∴a＜－2，∴实数a的取值范围是(－∞，－2)．
题型三、函数的最值与值域的求解
【例3-1】函数f(x)＝－的值域为________．
【答案】[－，]
【解析】因为所以－2≤x≤4，所以函数f(x)的定义域为[－2,4]．
又y1＝，y2＝－在区间[－2,4]上均为减函数，
所以f(x)＝－在[－2,4]上为减函数，
所以f(4)≤f(x)≤f(－2)，即－≤f(x)≤.
【例3-2】函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
【答案】
【解析】令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.]
【例3-3】设函数，则函数f（x）（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最大值
【答案】D．
【解析】∵x＜0，∴，
当且仅当，即时，等号成立．∴f（x）max＝﹣21，
【变式3】若对任意的实数x，函数f（x）的值都取x2，4﹣3x，3x+10中的最小值，则f（x）的最大值为 ．
【答案】4
【解析】分别作出三个函数的图像，由图象可得，
f（x）点A处取得最大值，由可得A（﹣2，4），所以f（x）的最大值为4．
题型四、利用函数的最值求参数
【例4-1】函数f（x）＝|x2﹣2x+a|在区间[﹣1，2]上的最大值是7，则实数a的值为 ．
【答案】4或﹣6．
【解析】∵x2﹣2x+a为二次三项式，∴f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值只能在x＝﹣1，1，2处取得，
①若f（x）在x＝﹣1处取得最大值7，则|3+a|＝7，解得a＝4或a＝﹣10，经检验，a＝﹣10不合题意，故a＝4；
②若f（x）在x＝1处取得最大值7，则|a﹣1|＝7，解得a＝8或a＝﹣6，经检验，a＝8不合题意，故a＝﹣6；
③若f（x）在x＝2处取得最大值7，则|a|＝7，解得a±7，经检验，a＝±7均不合题意，舍去．
综上，a＝4或﹣6．
【例4-2】函数f（x）＝x|x﹣a|在区间（0，1）上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】f（x）＝x|x﹣a|，
又因为函数f（x）＝x|x﹣a|在区间（0，1）上既有最大值，也有最小值，所以a＞0，
图象如图所示：
显然函数f（x）在（0，a）的最大值为f（），由，解得x，
因为函数f（x）＝x|x﹣a|在区间上既有最大值又有最小值，
所以，即，所以22≤a＜1，
【例4-3】函数y＝|x﹣1|+|x|，x∈[a，2]的最大值为3，则a的取值范围为 ．
【答案】[﹣1，2）．
【解析】y＝|x﹣1|+|x|，作出分段函数的图象如图：
由图可知，要使函数y＝|x﹣1|+|x|，x∈[a，2]的最大值为3，
则a的取值范围为[﹣1，2）．
【变式4-1】若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
【答案】D.
【解析】当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
故当x＝1时取得最小值2＋a，
∵f(x)的最小值为f(0)，
∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，
此时的最小值为f(0)＝a2，
故2＋a≥a2，得－1≤a≤2.又a≥0，得0≤a≤2.
【变式4-2】已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝
当x∈[0,2]时，－1≤f(x)≤0，当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，
所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为－1.
(2)因为f(x)＝又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，
所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4.当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1.
即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，
故实数a的取值范围为[－4，－2]．
题型五、函数奇偶性的判定
【例5-1】(多选题)下列判断中哪些是不正确的
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是非奇非偶函数
【答案】．
【解析】．的定义域为，，定义域不关于原点对称，不是偶函数，该判断错误；
．设，，则，是奇函数，该判断正确；
．解得，，的定义域关于原点对称，且，是偶函数，
该判断正确；
．解得，，或，，是奇函数，
该判断错误．
【例5-2】(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【答案】BC
【解析】作∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数．根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，所以|f(x)g(x)|为偶函数，故选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确．故选B、C.
【变式5】已知函数f（x），g（x）＝x2﹣2x，则（ ）
A．f（x+1）为奇函数，g（x﹣1）为偶函数
B．f（x+1）为奇函数，g（x+1）为偶函数
C．f（x）为奇函数，g（x﹣1）为偶函数
D．f（x）为奇函数，g（x+1）为偶函数
【答案】D．
【解析】因为函数f（x），g（x）＝x2﹣2x，
所以f（x），f（x+1），g（x+1）＝x2﹣1，g（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1，
则f（x）为奇函数，g（x+1）为偶函数，f（x+1）和g（x﹣1）均为非奇非偶函数．
题型六、函数奇偶性的运用
【例6-1】已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】对于函数知f（x）＝ax2+bx，依题意得：f（﹣x）＝f（x），∴b＝0．
又 a﹣1＝﹣2a，∴a，∴a+b．
【例6-2】已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图像可知在时，在，；在，；
由为奇函数，图象关于原点对称，在时，在，；在，；
又，在时与同号，在时与异号
故不等式的解集为：，故选：C
【变式6】已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（ ）
A．f（x）＝﹣x（x+2） B．f（x）＝x（x﹣2）
C．f（x）＝﹣x（x﹣2） D．f（x）＝x（x+2）
【答案】A．
【解析】任取x＜0则﹣x＞0，∵x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，∴f（﹣x）＝x2+2x，①
又函数y＝f（x）在R上为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）②
由①②得x＜0时，f（x）＝﹣x（x+2）
题型七、函数性质的综合运用
【例7-1】定义在上的偶函数，当时单调递增，设，m的取值范围是 .
【答案】
【解析】解： 是定义在上的偶函数， 又，
又当时单调递增∴当时单调递减.而
解得即所求的取值范围为.
【例7-2】定义在，上的奇函数单调递减，且满足，则实数的取值范围为 ．
【答案】，
【解析】，即为，
又是定义在，上的奇函数，，
又单调递减，，解得，实数的取值范围为，．
【例7-3】函数在上单调递增，且恒成立，则关于的不等式的解集为________
【答案】( ,1)
【解析】 f (x) f (4 x) 恒成立， 函数关于 x 2对称， 函数 y f (x) 在[2, ) 上单调递增，
函数在 , 2 单调递减， 关于 x 的不等式 f (x 3) f (2x2 2) ， | x 3 2| |2x2 2 2|，
即 |x 1| 2x2 ，解得
故不等式的解集为 ( ,1).
【例7-4】已知函数f（x）是定义域为R的递减函数，且f（4﹣x）+f（x）＝0，则不等式f（x2+3x）+f（x﹣1）＜0的解集为（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
C．（﹣5，1） D．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）
【答案】D．
【解析】因为f（4﹣x）+f（x）＝0，
所以f（4﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣1）＝﹣f（5﹣x），
因为f（x2+3x）+f（x﹣1）＜0，即f（x2+3x）＜﹣f（x﹣1），
即f（x2+3x）＜f（5﹣x），
因为函数f（x）是定义域为R的递减函数，
所以x2+3x＞5﹣x，解得x＜﹣5或x＞1．
【变式7】已知函数f（x），则（ ）
A．函数f（x）的图象关于x＝2对称 B．函数f（x）的图象关于x＝4对称
C．函数f（x）的图象关于（2，2）对称 D．函数f（x）的图象关于（4，4）对称
【答案】C．
【解析】不是偶函数，∴f（x+2）的图象不关于x＝0对称，
∴f（x）的图象不关于x＝2对称，即A错误；
不是偶函数，从而得出f（x）的图象不关于x＝4对称，即B错误；
，∴f（x+2）﹣2是奇函数，图象关于（0，0）对称，
∴f（x）的图象关于（2，2）对称，即C正确；
，∴f（x+4）﹣4不是奇函数，
∴f（x）的图象不关于（4，4）对称，即D错误．
题型八、抽象函数问题
【例8】定义在上的函数，满足，且当时，.
（1）求的值.
（2）求证：.
（3）求证：在上是增函数.
（4）若，解不等式.
（5）比较与的大小.
【解析】（1）令，由条件得.
（2），即.
（3）任取，，且，则.
由（2）得.，即.
∴在上是增函数.
（4）∵，∴，
.
又在上为增函数，∴解得.
故不等式的解集为.
（5）∵，
，
∵，∴（当且仅当时取等号）.
又在上是增函数，∴.
∴.
课后作业
1、下列函数是偶函数且值域是（0，+∞）的函数是（ ）
A．y＝2x+1（x＞0） B．y C． D．
1、【答案】C【解析】A．函数的定义域为（0，+∞），f（x）为非奇非偶函数，不满足条件．
B．由x2﹣1≥0，得x≥1或x≤﹣1，则f（﹣x）f（x），则f（x）是偶函数，f（x）0，即函数的值域为[0，+∞），不满足条件，
C．由x2﹣1＞0，得x＞1或x＜﹣1，则f（﹣x）f（x），
则f（x）是偶函数，f（x）0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件，
D．f（﹣x）f（x），f（x）为奇函数，不满足条件．
2、函数f（x）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，0），（0，1）
C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（1，+∞）
2、【答案】B【解析】由t＝x2﹣2x≠0，可知函数开口向上，对称轴x＝1，x≠0且x≠2．
∴可得（﹣∞，0），（0，1）单调递减，原函数f（x）的单调递增区间（﹣∞，0），（0，1）．
3、设，是区间，上的减函数，下列命题中正确的是
A．在区间，上有最小值（a） B．在，上有最小值（a）
C．在，上有最小值（a） D．在，上有最小值（a）
3、【答案】【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，是区间，上的减函数，则其在区间，上有最小值（b），错误；
对于，是区间，上的减函数，而函数在，上单调性无法确定，
其最小值无法确定，错误；
对于，是区间，上的减函数，在区间，上也是减函数，
其最小值（b），错误；
对于，是区间，上的减函数，且，
则在区间，上的增函数，则在，上有最小值（a），正确；
4、已知函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）
4、【答案】C【解析】根据题意，函数f（x）a，
若f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，必有，
解可得：a＜﹣1或1＜a≤2，即a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，2]，
5、设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
5、【答案】C【解析】利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，
所以不等式xf(x)<0可化为或由图可知x>2或x<－2.
6、设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
6、【答案】B【解析】A.1112，不是奇函数，
B.为奇函数，
C．y＝f（x）﹣1111，定义域为{x|x≠﹣1}，定义域关于原点不对称，不是奇函数，
D．y＝f（x）+111，定义域为{x|x≠﹣1}，定义域关于原点不对称，不是奇函数，
7、定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[－1,1)
7、【答案】C【解析】因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，
所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C.]
8、已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8、【答案】B【解析】由题意是偶函数，且在上单调递增，
∴不等式可变为，∴，解得．
9、若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B．[－6，－4] C．[－3，－2] D．[－4，－3]
9、【答案】B 【解析】由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．
由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．
10、(多选题)若x∈R，f（x）是y＝2﹣x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f（x）（ ）
A．最大值为2 B．最大值为1 C．最小值为﹣1 D．无最小值
10、【答案】BD．【解析】作出函数y＝2﹣x2，y＝x的图象如图，则f（x）的图象为图中实线部分，由图可知，当x＝1时，f（x）取最大值为1，无最小值．
11、(多选题)关于函数f（x）＝x|x|+x，下列结论正确的是（ ）
A．图象关于y轴对称 B．图象关于原点对称
C．在（﹣∞，+∞）上单调递增 D．f（x）恒大于0
11、【答案】BC【解析】f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣x＝﹣x|x|﹣x＝﹣（x|x|+x）＝﹣f（x），
即f（x）是奇函数，图象关于原点对称．故A错误，B正确，
当x≥0时，f（x）＝x2+x，为增函数，且f（x）≥0，
当x＜0时，f（x）＝﹣x2+x为增函数，且f（x）＜0，综上f（x）为增函数，
故C正确，D错误，
12、(多选题)设是定义在区间上的单调减函数，若，则下列函数中为单调增函数的是
A． B． C． D．
12、【答案】【解析】根据题意，是定义在区间上的单调减函数，
则任取，，且，必有，
依次分析选项：
对于，任取，，且，则有，则在上为增函数，
符合题意；
对于，任取，，且，同理可得，则在上为增函数，
符合题意；
对于，如函数，在区间上为减函数且，当函数在上为减函数，
错误；
对于，任取，，且，有，则在上为增函数，
正确；
13、(多选题)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是( )
A． x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3
B． x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3
C． x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3
D． x∈[－2,2]， t∈[0,3]，f(x)＝g(t)
13、【答案】AC【解析】作在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函
数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1,3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中， x∈[－2,2]， t∈[0,3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3,5]，g(t)的值域是[－1,3]，D错误．
14、已知函数是奇函数，且，则函数的解析式________.
14、【答案】【解析】奇函数的定义域为，
关于原点对称，所以，得，故，又，即，得，
因此.故答案为.
15、若函数f(x)＝－＋b(a＞0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.
【答案】1 【解析】∵f(x)＝－＋b(a＞0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.即解得a＝1，b＝.
16、已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
16、【答案】－x＋1【解析】作当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
17、已知函数f(x)＝x2＋ax＋2(a>0)在区间[0,2]上的最大值等于8，则a＝________；函数y＝f(x)在区间
[－2,1]上的值域为________．
17、【答案】1 【解析】作由题知函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－<0，
故f(x)max＝f(2)＝6＋2a＝8，所以a＝1，
则f(x)＝x2＋x＋2＝＋.因为f(x)的对称轴为直线x＝－∈[－2,1]且f＝，
f(－2)＝4，f(1)＝4，所以所求值域为
18、函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是_________.
18、【答案】【解析】函数是上的奇函数，则，
由可得，
由于函数在上单调递减，则，解得.
因此，满足的的取值范围是.故答案为：.
19、已知函数是上的增函数，且对一切实数都成立，则实数的取值范围是________.
19、【答案】【解析】∵是上的增函数，∴，即对一切都成立，∴.故答案为：．
20、若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．
20、【答案】【解析】由题意知，解得所以a∈.
21、已知函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1，则实数a的取值范围是 ．
21、【答案】（﹣∞，]【解析】∵函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1，
∴|x2﹣2x+a|+a≤1，即|x2﹣2x+a|≤1﹣a，则1﹣a≥0，得a≤1，
∴a﹣1≤x2﹣2x+a≤1﹣a，可得﹣1≤x2﹣2x≤1﹣2a，
∵0≤x≤2，∴﹣1≤x2﹣2x≤0，则1﹣2a≥0，得a．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，]．
22、已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.
22、【解】（1）图象如图所示：
（2）由函数的图象可知，该函数的定义域为，
增区间为，减区间为、、，值域为.
23、已知函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2）．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（3）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．
23、【解】（1）∵函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2），∴2＝1+m，∴m＝1；
（2）f（x）＝x，定义域为：，
又f（﹣x）＝﹣xf（x），∴函数f（x）是奇函数；
（3）函数f（x）在（0，1）上单调递减，设0＜x1＜x2＜1，
则，
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，
∴，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，1）上的单调递减．
24、已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．
24、【解】（1）根据题意，若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）＝（﹣x）2+4（﹣x）+1＝x2﹣4x+1，
又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣4x+1，
故f（x），
（2）当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x+1，开口向上，对称轴x＝2，
当0＜t时，g（t）＝f（t+1）＝t2﹣4t+1，
当t时，g（t）＝f（t）＝t2﹣2t﹣2，
故g（t）；则g（t）min＝g（）
25、已知是定义在上的奇函数且单调递增，.
（1）解不等式：；
（2）若对所有，恒成立，求实数t的取值范围.
25、【解】（1）为定义在上的增函数，
由得：，解得：，
不等式的解集为.
（2）为定义在上的增函数且，，
要使对所有，恒成立，只需对恒成立，即恒成立.设，则只需恒成立，即.
当时，，满足题意；
当时，在上单调递减，则，解得：；
当时，在上单调递增，则，解得：.
综上所述：的取值范围为.
26、设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有
f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.
(1)求f(1)，f 的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(3)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围．
26、【解】(1) 因为对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝－1，
令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0，令x＝y＝3，则f(9)＝f(3)＋f(3)＝－2，
令x＝，y＝9，则有f(1)＝f ＋f(9)＝0，f ＝2.
(2)证明 令x11，f <0，
f(x2)＝f ＝f(x1)＋f (3)由已知不等式f(x)＋f(2－x)<2化为f(2x－x2)又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴解得1－不等式解集为.
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高中数学重难点突破
专题六 函数的基本性质
知识归纳
一、函数的单调性
1、单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2、单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
二、函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为y＝f(x)的最大值 M为y＝f(x)的最小值
三、函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
四、函数的对称性
1、轴对称
对于函数的定义域内任意一个，
图象关于直线对称.
推论1： 的图象关于直线对称.
推论2： 的图象关于直线对称.
推论3： 的图象关于直线对称.
求对称轴方法：
2、中心对称
对于函数的定义域内任意一个，
的图象关于点对称.
推论1：的图象关于点对称.
推论2：的图象关于点对称.
推论3：的图象关于点对称.
求对称中心方法：
小结: 轴对称与中心对称的区别
轴对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；
中心对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.
典例分析
题型一、函数单调的判定
【例1-1】函数f（x）的单调递增区间是 ．
【例1-2】关于函数的下列结论正确的是( )
A．图像关于对称 B．最小值为
C．图像关于点对称 D．在上单调递减
【例1-3】函数的单调增区间是( )
A． B． C． D．
【例1-4】设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
【变式1】作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
题型二、函数单调性的运用
【例2-1】若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
【例2-2】若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【例2-3】函数在区间（b，+∞）上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞﹣2 B．b＞﹣1 C．b≥﹣1 D．a＜﹣2
【例2-4】已知函数是上的增函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
【变式2】已知f(x)＝不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
题型三、函数的最值与值域的求解
【例3-1】函数f(x)＝－的值域为________．
【例3-2】函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
【例3-3】设函数，则函数f（x）（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最大值
【变式3】若对任意的实数x，函数f（x）的值都取x2，4﹣3x，3x+10中的最小值，则f（x）的最大值为 ．
题型四、利用函数的最值求参数
【例4-1】函数f（x）＝|x2﹣2x+a|在区间[﹣1，2]上的最大值是7，则实数a的值为 ．
【例4-2】函数f（x）＝x|x﹣a|在区间（0，1）上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】函数y＝|x﹣1|+|x|，x∈[a，2]的最大值为3，则a的取值范围为 ．
【变式4-1】若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[－1,0] C．[1,2] D．[0,2]
【变式4-2】已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
题型五、函数奇偶性的判定
【例5-1】(多选题)下列判断中哪些是不正确的
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是非奇非偶函数
【例5-2】(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【变式5】已知函数f（x），g（x）＝x2﹣2x，则（ ）
A．f（x+1）为奇函数，g（x﹣1）为偶函数
B．f（x+1）为奇函数，g（x+1）为偶函数
C．f（x）为奇函数，g（x﹣1）为偶函数
D．f（x）为奇函数，g（x+1）为偶函数
题型六、函数奇偶性的运用
【例6-1】已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式6】已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（ ）
A．f（x）＝﹣x（x+2） B．f（x）＝x（x﹣2）
C．f（x）＝﹣x（x﹣2） D．f（x）＝x（x+2）
题型七、函数性质的综合运用
【例7-1】定义在上的偶函数，当时单调递增，设，m的取值范围是 .
【例7-2】定义在，上的奇函数单调递减，且满足，则实数的取值范围为 ．
【例7-3】函数在上单调递增，且恒成立，则关于的不等式的解集为________
【例7-4】已知函数f（x）是定义域为R的递减函数，且f（4﹣x）+f（x）＝0，则不等式f（x2+3x）+f（x﹣1）＜0的解集为（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
C．（﹣5，1） D．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）
【变式7】已知函数f（x），则（ ）
A．函数f（x）的图象关于x＝2对称 B．函数f（x）的图象关于x＝4对称
C．函数f（x）的图象关于（2，2）对称 D．函数f（x）的图象关于（4，4）对称
题型八、抽象函数问题
【例8】定义在上的函数，满足，且当时，.
（1）求的值.
（2）求证：.
（3）求证：在上是增函数.
（4）若，解不等式.
（5）比较与的大小.
课后作业
1、下列函数是偶函数且值域是（0，+∞）的函数是（ ）
A．y＝2x+1（x＞0） B．y
C． D．
2、函数f（x）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，0），（0，1）
C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（1，+∞）
3、设，是区间，上的减函数，下列命题中正确的是
A．在区间，上有最小值（a）
B．在，上有最小值（a）
C．在，上有最小值（a）
D．在，上有最小值（a）
4、已知函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）
5、设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
6、设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7、定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,1) D．[－1,1)
8、已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9、若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B．[－6，－4]
C．[－3，－2] D．[－4，－3]
10、(多选题)若x∈R，f（x）是y＝2﹣x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f（x）（ ）
A．最大值为2 B．最大值为1 C．最小值为﹣1 D．无最小值
11、(多选题)关于函数f（x）＝x|x|+x，下列结论正确的是（ ）
A．图象关于y轴对称 B．图象关于原点对称
C．在（﹣∞，+∞）上单调递增 D．f（x）恒大于0
12、(多选题)设是定义在区间上的单调减函数，若，则下列函数中为单调增函数的是
A． B． C． D．
13、(多选题)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是( )
A． x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3
B． x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3
C． x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3
D． x∈[－2,2]， t∈[0,3]，f(x)＝g(t)
14、已知函数是奇函数，且，则函数的解析式________.
15、若函数f(x)＝－＋b(a＞0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.
16、已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
17、已知函数f(x)＝x2＋ax＋2(a>0)在区间[0,2]上的最大值等于8，则a＝________；函数y＝f(x)在区间
[－2,1]上的值域为________．
18、函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是_________.
19、已知函数是上的增函数，且对一切实数都成立，则实数的取值范围是________.
20、若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．
21、已知函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1，则实数a的取值范围是 ．
22、已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.
23、已知函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2）．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（3）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．
24、已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．
25、已知是定义在上的奇函数且单调递增，.
（1）解不等式：；
（2）若对所有，恒成立，求实数t的取值范围.
26、设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有
f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.
(1)求f(1)，f 的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(3)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围．
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