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高中数学重难点突破
专题七 初等函数综合问题求解策略
知识归纳
一、幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
二、五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
图象
定义域 R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减
定点 (1，1)
三、常用结论
幂函数的图象特征与性质
在第一象限的图象，可分为如图中的三类，其余象限部分由奇偶性决定．
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)；
(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增，特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
(4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
(7)对于形如f(x)＝xα(其中α∈Z)，当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数为偶函数，图象关于y轴对称．
(8)对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数的奇偶性：
①当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
②当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
③当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
四、指数函数的定义
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
五、指数函数的图象
函数 y＝ax(a>0，且a≠1)
0
1
图象
图象特征 在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升
六、常用结论
1．指数函数图象的画法：画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，
(0，1)，和一条渐近线y＝0．
2．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当03．函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
4．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．简称“底大图高”．
七、对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
八、对数函数的图象
函数 y＝logax，a>1 y＝logax，0图象
图象特征 在y轴右侧，过定点(1，0)
当x逐渐增大时，图象是上升的 当x逐渐增大时，图象是下降的
九、指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线
y＝x对称．
十、常用结论
(1)对数函数图象的画法
画对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，0)，(a，1)，和一条渐近线x＝0．
(2)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0(3)函数y＝logax与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．
(4)对数函数的图象与底数大小的比较
如图是对数函数(1)y＝logax，(2)y＝logbx，(3)y＝logcx，(4)y＝logdx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象越右，底数越大．简称“底大图右”．
典例分析
题型一、初等函数的图像及变换
例1、(1)给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝．其中满足条件f >(x1>x2>0)的函数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A 解析 ①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f ＝；②函数
f(x)＝x2的图象是下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f <；③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f <；④函数f(x)＝的图象是上凸形曲线，故当x1>x2>0时，f >；⑤在第一象限，函数f(x)＝的图象是一条下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f <．故仅有函数f(x)＝满足当x1>x2>0时，f >．
(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c
答案 B 解析 由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图
知a>b>c>d，故选B．
例2、(1)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )
答案 C 解析 选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，
幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．
(2)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
答案 A 解析 因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
(3)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
答案 C 解析 由函数f(x)的图象可知，－1＜b＜0，a＞1，则g(x)＝ax＋b为增函数，当x＝0时，g(0)＝1＋b＞0，故选C．
例2、(1)函数f(x)＝lg的大致图象是( )
答案 D 解析 f(x)＝lg＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数y＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．由y
＝－lg|x|的图象可知D项正确．
(2)已知lg a＋lg b＝0(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是( )
答案 B 解析 因为lg a＋lg b＝0，所以lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝－
x＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知B项正确．故选B．
题型二、比较大小
例4、(1)已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为( )
A．b答案 C 解析 因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C．
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a答案 A 解析 由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b．综上，a＞b＞c．
例5、(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
答案 D 解析 ∵log3log22，∴1，∴c>a>b．
(2)已知a＝log3，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
答案 D 解析 因为c＝＝log35>log3>log33＝1，所以c>a，又b＝<1，所以b例6、(1)若a>b>c>1，且acA．logab>logbc>logca B．logcb>logba>logac
C．logbc>logab>logca D．logba>logcb>logac
答案 B 解法一：因为a>b>c>1，所以logablogcc＝1，所以logab因为a>b>c>1，且aclogb>logb，得logcb>logba>1，而logac<1.故logcb＞logba＞logac.
解法二：可以代入特殊值进行检验，令a＝4，b＝3，c＝2，可排除A，C，再令a＝6，b＝4，c＝2，可以排除D.故选B.
(2)(多选题)若a>b>1，0A．acbac C．alogbc答案 BC 解析 ∵y＝xα，α∈(0，1)在(0，＋∞)上是增函数，∴当a>b>1，0bc，选项A不正确．∵y＝xα，α∈(－1，0)在(0，＋∞)上是减函数，∴当a>b>1，0bac，选项B正确．∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，∴alg a>blg b>0，∴>．又∵0logbc，选项D不正确．
题型三、函数图像的运用
例7、(1)若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(0，2) D．(0，1)
答案 C 解析 在同一坐标系内分别作出函数y＝和y＝2x－a的图象，则由图知，当a∈(0，2)时符合要求．
(2)已知函数a，b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．其中不可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B 解析 函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．
由得a(3)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．
答案 解析 由于f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值e；当x<1时，f(x)>e．故f(x)的最小值为f(1)＝e．
例8、(1)已知f(x)＝|2x－1|，当af(c)>f(b)，则必有( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．2－a<2c D．1<2a＋2c<2
答案 D 解析 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为af(c)>f(b)，所以必有a<0，0|2c－1|，所以1－2a>2c－1，则2a＋2c<2，且2a＋2c>1．故选D．
(2)已知函数f(x)＝|lgx|．若0A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
答案 C 解析 f(x)＝|lg x|的图象如图所示，由题知f(a)＝f(b)，则有0f(b)＝|lg b|＝lg b，即－lg a＝lg b，则a＝，∴a＋2b＝2b＋．令g(b)＝2b＋，g′(b)＝2－，显然当b∈(1，＋∞)时，g′(b)>0，∴g(b)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(b)＝2b＋>3，故选C．
例9、(1)如图，在面积为8的平行四边形OABC中，AC⊥CO，AC与BO交于点E．若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)经过点E，B，则a的值为( )
A． B． C．2 D．3
答案 A 解析 设点E(t，at)，则点B的坐标为(2t，2at)．因为2at＝a2t，所以at＝2．因为平行四边
形OABC的面积＝OC×AC＝at×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝．故选A．
(2)设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________．
答案 12 解析 由题意知，n＝log2m＋2，所以m＝2n－2．又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，
所以可知B(m＋，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以n－1＝log2(m＋)，即m＝2n－1－，所以2n＝4，所以m＝，所以m·2n＝×4＝12．
题型四、初等函数与不等式综合问题
例10、(1)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪ 解析 不等式(a＋1)<(3－2a)等价于a＋1>3－2a>0或3－2a(2)已知不等式logx(2x2＋1)答案 解析 原不等式 或解得例11、(1)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为__________．
答案 解析 当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，因为f(x)>1在[1，2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得11在[1，2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，即a＞4，故不存在实数a满足题意．综上可知，实数a的取值范围是．
(2)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是__________．
答案 [－2，0] 解析 因为|f(x)|＝所以由|f(x)|≥ax，分两种情况：①由恒成立，可得a≥x－2恒成立，则a≥(x－2)max，即a≥－2；②由恒成立，并根据函数图象可知a≤0．综上，得－2≤a≤0．
题型五、复合函数问题
例12、(1)函数f(x)＝的值域为________．
18．答案 (0，4] 解析 令t＝x2－2x，则有y＝t，根据二次函数的图象可求得t≥－1，结合指数函数
y＝x的图象可得0(2)函数f(x)＝的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函数f(x)的定义域为[0，1]，因为y＝t是减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数y＝－x2＋x在[0，1]上的减区间，故选D．
(3)若函数y＝4x－2x＋1＋b在[－1，1]上的最大值是3，则实数b＝( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 A 解析 y＝4x－2x＋1＋b＝(2x)2－2·2x＋b．设2x＝t，则y＝t2－2t＋b＝(t－1)2＋b－1．因为x∈[－1，1]，所以t∈．当t＝2时，ymax＝3，即1＋b－1＝3，b＝3．故选A．
(4)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________．
答案 (－∞，4] 解析 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
(5)若函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a>0且a≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A． B． C．(1， ] D．
答案 B 解析 令t＝ax，则原函数转化为y＝t2－(3a2＋1)t，其图象的对称轴为直线t＝．若a>1，则t＝ax≥1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则≤1，解得－≤a≤，与a>1矛盾；若0例13、(1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1，2) B．[1，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A 解析 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，其图象的对称轴为x＝a，要使函
数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则即解得1≤a<2，即a∈[1，2)，故选A．
(2)已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；
(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．
解：(1)由f(x)的定义域为R，
知x2－2ax＋3＞0的解集为R，
则Δ＝4a2－12＜0，解得－＜a＜.
所以a的取值范围为(－，)．
(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0 a≤－或a≥.
所以实数a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
(3)由f(x)在[－1，＋∞)内有意义，知u(x)＝x2－2ax＋3＞0对x∈[－1，＋∞)恒成立，
因为y＝u(x)图象的对称轴为x＝a，所以当a＜－1时，u(x)min＝u(－1)＞0，
即解得－2＜a＜－1；
当a≥－1时，u(x)min＝u(a)＝3－a2＞0，即－＜a＜，所以－1≤a＜.
综上可知，a的取值范围为(－2，)．
(4)因为y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞)，
又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，则有u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.
(3)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝(f(x)＋1)·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得
(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3，从而k＜－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
题型六、初等函数综合问题
例14、(1) 当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A． B． C．(1，) D．(，2)
答案 B 解析 易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，∴＜a＜1，故选B．
(2) 设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2＜0 B．x1x2＝0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
答案 D 解析 作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1＜0，x2＜0．不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D．
例15、(1)(多选题)已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，则以下结论错误的是 ( )
A.对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有＜0
B.对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有＜0
C.f(x)有最小值，无最大值
D.g(x)有最小值，无最大值
解：对于A：f1(x)＝ex，f2(x)＝－e－x在R上均是增函数，所以f(x)是R上的增函数，故错误；
对于B：因为g(－x)＝e－x＋ex＝g(x)(x∈R)，所以g(x)是偶函数，所以g(x)在R上不可能是减函数，故错误；
对于C：因为f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)(x∈R)，所以f(x)是奇函数，又f(x)在R上是增函数，所以f(x)无最值，故错误；
对于D：任意的x1，x2∈[0，＋∞)且x1因为ex1ex2－1>0，ex1－ex2<0，g(x1)－g(x2)<0，所以g(x1)因为g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以g(x)min＝g(0)，无最大值，故正确．
故选ABC.
(2)已知函数f(x)＝g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为________．
解：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，即f(x)max≤g(x)min，由y＝f(x)的图象(如图)可知，
当x＝时，f(x)取最大值，且f(x)max＝；
因为g(x)＝|x－k|＋|x－1|≥|x－k－(x－1)|＝|k－1|，所以g(x)min＝|k－1|，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.故填∪.
(3)关于函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)有下列命题：
①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；
③函数f(x)的最小值为lg 2；
④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数．
其中是真命题的序号为________．
答案 ①③④
解析 ∵函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；
当x>0时，f(x)＝lg ＝lg ＝lg，令t(x)＝x＋，x>0，则t′(x)＝1－，可知当x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即f(x)在x＝1处取得最小值lg 2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.
(4)已知函数f(x)＝ln(x＋)，g(x)＝f(x)＋2 017，下列命题：
①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；
②f(x)是奇函数；
③f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
④若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝1；
⑤设函数g(x)在[－2 017，2 017]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝2 017．
其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
答案 ①②③④ 解析 对于①，∵>＝|x|≥－x，∴＋x>0， ∴f(x)的定义域为R，∴①正确．对于②，f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln[(x2＋1)－x2]＝ln 1＝0．∴f(x)是奇函数，∴②正确．对于③，令u(x)＝x＋，则u(x)在[0，＋∞)上单调递增．当x∈(－∞，0]时，u(x)＝x＋＝，而y＝－x在(－∞，0]上单调递减，且－x>0．∴u(x)＝在(－∞，0]上单调递增，又u(0)＝1，∴u(x)在R上单调递增，∴f(x)＝ln (x＋)在R上单调递增，∴③正确．对于④，∵f(x)是奇函数，而f(a)＋f(b－1)＝0，∴a＋(b－1)＝0，∴a＋b＝1，∴④正确．对于⑤，f(x)＝g(x)－2 017是奇函数，当x∈[－2 017，2 017]时，f(x)max＝M－2 017，f(x)min＝m－2 017，∴(M－2 017)＋(m－2 017)＝0，∴M＋m＝4 034，∴⑤不正确．
例16、已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝m有解，求实数m的取值范围．
解：(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，所以log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，即log4＝－4kx，所以log44x＝－4kx，所以x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0对一切x∈R恒成立，所以k＝－.
(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x＝log4＝log4，因为2x＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以m≥log42＝.故要使方程f(x)＝m有解，实数m的取值范围为.
例17、已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
22．解 (1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1．
从而有f(x)＝．又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2．
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，
从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k．
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－．
故k的取值范围为．
例18、定义在[－4，4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－4，0]时，f(x)＝＋(a∈R)．
(1)求f(x)在[0，4]上的解析式；
(2)若x∈[－2，－1]时，不等式f(x)≤－恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)是定义在[－4，4]上的奇函数，x∈[－4，0]时，f(x)＝＋，
所以f(0)＝＋＝0，解得a＝－1，所以x∈[－4，0]时，f(x)＝－.
当x∈[0，4]时，－x∈[－4，0]，所以f(－x)＝－＝4x－3x，又f(－x)＝－f(x)，
所以－f(x)＝4x－3x，f(x)＝3x－4x，
即f(x)在[0，4]上的解析式为f(x)＝3x－4x.
(2)由(1)知，x∈[－2，－1]时，f(x)＝－，所以f(x)≤－可化为－≤－，
整理得m≥＋＝x＋2·x，
令g(x)＝x＋2·x，根据指数函数单调性可得，y＝x与y＝x都是减函数，所以g(x)也是减函数．
因为x∈[－2，－1]时，不等式f(x)≤－恒成立，
等价于m≥g(x)在x∈[－2，－1]上恒成立，
所以，只需m≥g(x)max＝g(－2)＝4＋2×＝.
所以实数m的取值范围是.
同步练习
1、函数y＝lg|x－1|的图象是( )
1、答案 A 解析 因为y＝lg|x－1|＝当x＝1时，函数无意义，故排除B、D．又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．
2、在同一直角坐标系中，函数 y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
2、答案 D 解析 对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图象恒过定点，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D．
3、函数f(x)＝2log4(1－x)，则函数f(x)的大致图象是( )
3、答案 C 解析 函数f(x)＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；函数f(x)＝2log4(1－x)在定
义域上单调递减，排除D．故选C．
4、函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
4、答案 A 解析 令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝
ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D．由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确．
5、若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
5、答案 B 解析 若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a>1，故函数y＝loga|x|的大致图象如
选项B中图所示．
6、已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A．f(b)6、答案 B 解析 易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝＝>＝b>0，c＝log2<0，则a>b>c，所以f(c)7、定义一种运算：a b＝已知函数f(x)＝2x (3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图象是( )
7、答案 B 解析 由题意可得f(x)＝2x－x)＝所以f(x＋1)＝则大致图象为B项．
8、已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是
x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x28、答案 A 解析 分别作出三个函数的图象，如图所示，由图可知x29、函数y＝的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0，4] D．[4，＋∞)
9、答案 C 解析 设t＝x2＋2x－1，则y＝t．因为0<<1，所以y＝t为关于t的减函数．因为t＝2－2≥－2，所以010、若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lgx)>g(1)时，x的取值范围是( )
A．∪(10，＋∞) B．[1，2) C．∪[10，＋∞) D．(10，＋∞)
10、答案 A 解析 作出g(x)的图象如图所示，若使g(lg x)>g(1)，则lgx>1或lg x<－1，解得x>10或011、若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
11、答案 B 解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|．由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B．
12、已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为( )
A．∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C．∪(2，＋∞) D．(－∞，2)
12、答案 B 解析 函数f(x)＝ex－的定义域为R，∵f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等价于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证f(x)是R上的单调递增函数，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(2，＋∞)．
13．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A． B．(1，＋∞) C．∪(1，＋∞) D．
13、答案 C 解析 当01时，loga1．∴实
数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
14、函数f(x)＝loga(ax－3)(a>0，且a≠1)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0，1) C． D．(3，＋∞)
14、答案 D 解析 由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a>1．又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，∴a－3>0，即a>3．
15、设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(aA．a＋b>0 B．a＋b>1 C．2a＋b>0 D．2a＋b>1
15、答案 A 解析 作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，
由f(a)＝f(b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0．所以0＝ab＋a＋b<＋a＋b，即(a＋b)(a＋b＋4)>0，显然－10，∴a＋b＋4>0．∴a＋b>0．故选A．
16、函数y＝log4(7＋6x－x2)的单调递增区间是__________．
16、答案 (－1，3] 解析 设y＝log4u，u＝g(x)＝7＋6x－x2＝－(x－3)2＋16，则对于二次函数u＝g(x)，当x ≤3时为增函数，当x≥3时为减函数．又y＝log4u是增函数，且由7＋6x－x2＞0得函数的定义域为(－1，7)，于是函数f(x)的单调递增区间为(－1，3]．
17、不等式23－2x<0．53x－4的解集为________．
17、解析 {x|x<1} 解析 原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4
－3x，解得x<1，则不等式的解集为{x|x<1}．
18、已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
18、答案 解析 ①当0②当a>1时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．所以实数a的取值范围是．
19、已知当019、答案 解析 若\f(1,4)，))解得20、不等式x20，且a≠1)对x∈恒成立，则实数a的取值范围是 ．
20、答案 解析 设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x21时，显然不成立；当0所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a<1．即实数a的取值范围是．
21、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg 2·lg 50＋(lg 5)2)＋f(lg x－2)<0，则x的取值范围为________．
21、答案 (0，10) 解析 ∵lg 2·lg 50＋(lg 5)2＝(1－lg 5)(1＋lg 5)＋(lg 5)2＝1，∴f(lg 2·lg 50＋(lg 5)2)＋f(lg x－2)<0可化为f(1)＋f(lg x－2)<0，即f(lg x－2)<－f(1)．∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(lg x－2)22、函数y＝x－x＋1在[－3，2]上的值域是________．
22、答案 解析 令t＝x，由x∈[－3，2]，得t∈．则y＝t2－t＋1＝2＋．当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57．故所求函数的值域是．
23、如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在[－1，1]上有最大值14，则a的值为__________．
23、答案 或3 解析 设t＝ax>0，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，其对称轴为t＝－1．①若a>1，因为t＝ax在[－1，1]上递增，所以t∈．因为－1<0<，所以y＝(t＋1)2－2在t∈上递增，由复合函数单调性知原函数在[－1，1]上递增，故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1，由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍)，所以a＝3．②若024、设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(41－x，x≤1，,1－x，x＞1，))则满足不等式f(x)≤2的实数x的取值集合为__________．
24、答案 {x 解析 原不等式等价于或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>1，,1－x≤2，))解得≤x≤1或125、若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．
25、答案 解析 当a>1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为增函数，则a2－1＝2，∴a＝±．又∵a>1，
∴a＝．当026、若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
26、答案 (－1，＋∞) 解析 不等式2x(x－a)<1可变形为x－a－1．
27、已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)xm＋1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数h(x)＝f(x)＋ax＋3－a≥0在区间[－2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．
27、解 (1)由f(x)为幂函数知－2m2＋m＋2＝1，得m＝1或m＝－．
当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意；当m＝－时，f(x)＝x，不合题意，舍去．所以f(x)＝x2．
(2)h(x)＝2－－a＋3，令h(x)在[－2，2]上的最小值为g(a)．
①当－＜－2，即a＞4时，g(a)＝h(－2)＝7－3a≥0，所以a≤．又a＞4，所以a不存在；
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝h＝－－a＋3≥0，所以－6≤a≤2．
又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2；
③当－＞2，即a＜－4时，g(a)＝h(2)＝7＋a≥0，所以a≥－7．又a＜－4，所以－7≤a＜－4．
综上可知，a的取值范围为[－7，2]．
28、已知定义在R上的函数f(x)＝2x－．
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
28、解 (1)当x＜0时，f(x)＝0，无解；当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－，∵2x＞0，∴x＝1．
(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1，2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．
29、已知函数f(x)＝logax＋m(a>0且a≠1)的图象过点(8，2)，点P(3，－1)关于直线x＝2的对称点Q在f(x)
的图象上．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
29、解 (1)点P(3，－1)关于直线x＝2的对称点Q的坐标为(1，－1)．
由得解得m＝－1，a＝2，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝－1＋log2x．
(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]＝log2－1(x>1)，
∵＝＝(x－1)＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，“＝”成立，而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
则log2－1≥log24－1＝1，故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1．
30、设x∈[2，8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求实数a的
值．
30、解 f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)＝[(logax)2＋3logax＋2]＝2－．
当f(x)取最小值－时，logax＝－．∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1)．∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴f(x)的最大值必在x＝2或x＝8处取得．
若2－＝1，则a＝2，此时f(x)取得最小值时，x＝(2)＝ [2，8]，舍去；
若2－＝1，则a＝，此时f(x)取得最小值时，x＝－＝2∈[2，8]，符合题意．
∴a＝．
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高中数学重难点突破
专题七 幂函数、指数函数与对数函数
知识归纳
一、幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
二、五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
图象
定义域 R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减
定点 (1，1)
三、常用结论
幂函数的图象特征与性质
在第一象限的图象，可分为如图中的三类，其余象限部分由奇偶性决定．
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)；
(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增，特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
(4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
(7)对于形如f(x)＝xα(其中α∈Z)，当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数为偶函数，图象关于y轴对称．
(8)对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数的奇偶性：
①当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
②当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
③当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
四、指数函数的定义
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
五、指数函数的图象
函数 y＝ax(a>0，且a≠1)
01
图象
图象特征 在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升
六、常用结论
1．指数函数图象的画法：画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，
(0，1)，和一条渐近线y＝0．
2．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当03．函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
4．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．简称“底大图高”．
七、对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
八、对数函数的图象
函数 y＝logax，a>1 y＝logax，0图象
图象特征 在y轴右侧，过定点(1，0)
当x逐渐增大时，图象是上升的 当x逐渐增大时，图象是下降的
九、指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线
y＝x对称．
十、常用结论
(1)对数函数图象的画法
画对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，0)，(a，1)，和一条渐近线x＝0．
(2)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0(3)函数y＝logax与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．
(4)对数函数的图象与底数大小的比较
如图是对数函数(1)y＝logax，(2)y＝logbx，(3)y＝logcx，(4)y＝logdx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象越右，底数越大．简称“底大图右”．
典例分析
题型一、初等函数的图像及变换
例1、(1)给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝．其中满足条件>(x1>x2>0)的函数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c
例2、(1)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )
(2)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
(3)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
例2、(1)函数f(x)＝lg的大致图象是( )
(2)已知lg a＋lg b＝0(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是( )
题型二、比较大小
例4、(1)已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为( )
A．b(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a例5、(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
(2)已知a＝log3，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
例6、(1)若a>b>c>1，且acA．logab>logbc>logca B．logcb>logba>logac
C．logbc>logab>logca D．logba>logcb>logac
(2)(多选题)若a>b>1，0A．acbac C．alogbc题型三、函数图像的运用
例7、(1)若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(0，2) D．(0，1)
(2)已知函数a，b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．其中不可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(3)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．
例8、(1)已知f(x)＝|2x－1|，当af(c)>f(b)，则必有( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．2－a<2c D．1<2a＋2c<2
(2)已知函数f(x)＝|lgx|．若0A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
例9、(1)如图，在面积为8的平行四边形OABC中，AC⊥CO，AC与BO交于点E．若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)经过点E，B，则a的值为( )
A． B． C．2 D．3
(2)设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________．
题型四、初等函数与不等式综合问题
例10、(1)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
(2)已知不等式logx(2x2＋1)例11、(1)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为__________．
(2)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是__________．
题型五、复合函数问题
例12、(1)函数f(x)＝的值域为________．
(2)函数f(x)＝的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
(3)若函数y＝4x－2x＋1＋b在[－1，1]上的最大值是3，则实数b＝( )
A．3 B．2 C．1 D．0
(4)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________．
(5)若函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a>0且a≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A． B． C．(1， ] D．
例13、(1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1，2) B．[1，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．
①若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
②若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
③若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；
④若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．
(3)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
①当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝(f(x)＋1)·g(x)的值域；
②如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
题型六、初等函数综合问题
例14、(1) 当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A． B． C．(1，) D．(，2)
(2) 设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2＜0 B．x1x2＝0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
例15、(1)(多选题)已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，则以下结论错误的是 ( )
A.对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有＜0
B.对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有＜0
C.f(x)有最小值，无最大值
D.g(x)有最小值，无最大值
(2)已知函数f(x)＝g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为________．
(3)关于函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)有下列命题：
①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；
③函数f(x)的最小值为lg 2；
④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数．
其中是真命题的序号为________．
(4)已知函数f(x)＝ln(x＋)，g(x)＝f(x)＋2 017，下列命题：
①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；
②f(x)是奇函数；
③f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
④若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝1；
⑤设函数g(x)在[－2 017，2 017]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝2 017．
其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
例16、已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝m有解，求实数m的取值范围．
例17、已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
例18、定义在[－4，4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－4，0]时，f(x)＝＋(a∈R)．
(1)求f(x)在[0，4]上的解析式；
(2)若x∈[－2，－1]时，不等式f(x)≤－恒成立，求实数m的取值范围．
同步练习
1、函数y＝lg|x－1|的图象是( )
2、在同一直角坐标系中，函数 y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
3、函数f(x)＝2log4(1－x)，则函数f(x)的大致图象是( )
4、函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
5、若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
6、已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A．f(b)C．f(c)7、定义一种运算：a b＝已知函数f(x)＝2x (3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图象是( )
8、已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是
x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
x2C．x19、函数y＝的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0，4] D．[4，＋∞)
10、若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lgx)>g(1)时，x的取值范围是( )
A．∪(10，＋∞) B．[1，2)
C．∪[10，＋∞) D．(10，＋∞)
11、若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
12、已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为( )
A．∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．∪(2，＋∞) D．(－∞，2)
13、若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A． B．(1，＋∞)
C．∪(1，＋∞) D．
14、函数f(x)＝loga(ax－3)(a>0，且a≠1)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0，1)
C． D．(3，＋∞)
15、设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(aA．a＋b>0 B．a＋b>1
C．2a＋b>0 D．2a＋b>1
16、函数y＝log4(7＋6x－x2)的单调递增区间是__________．
17、不等式23－2x<0．53x－4的解集为________．
18、已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
19、已知当020、不等式x20，且a≠1)对x∈恒成立，则实数a的取值范围是 ．
21、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg 2·lg 50＋(lg 5)2)＋f(lg x－2)<0，则x的取值范围为________．
22、函数y＝x－x＋1在[－3，2]上的值域是________．
23、如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在[－1，1]上有最大值14，则a的值为__________．
24、设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(41－x，x≤1，,1－x，x＞1，))则满足不等式f(x)≤2的实数x的取值集合为__________．
25、若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．
26、若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
27、已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)xm＋1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数h(x)＝f(x)＋ax＋3－a≥0在区间[－2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．
28、已知定义在R上的函数f(x)＝2x－．
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
29、已知函数f(x)＝logax＋m(a>0且a≠1)的图象过点(8，2)，点P(3，－1)关于直线x＝2的对称点Q在f(x)
的图象上．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
30、设x∈[2，8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求实数a的
值．
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