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高中数学重难点突破
专题十二 三角函数的图像与性质
知识归纳
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
1、正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)．
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2、余弦函数y＝cos x,x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π,1)．
3、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图，要找五个关键点，如下列表格：
4、用图像平移画y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)一个周期的简图
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
单调性 递增区间：递减区间： 递增区间：[2kπ－π，2kπ]递减区间：[2kπ，2kπ＋π] 递增区间
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心(kπ，0)k∈Z 对称中心k∈Z 对称中心k∈Z
对称轴x＝kπ＋(k∈Z) 对称轴x＝kπ(k∈Z)
周期性 2π 2π π
三、三角函数的周期性与对称性
1、周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.
2、对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
四、常用的结论
1、三角函数的周期性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期T＝．应特别注意函数y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为T＝，函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期T＝．
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝．应特别注意函数y＝|Acos(ωx＋φ)|的周期为T＝．函数y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期均为T＝．
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝．应特别注意函数y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期为T＝，函数y＝|Atan(ωx＋φ)＋b|(b≠0) 的最小正周期均为T＝．
2、三角函数的对称性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得，
对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得；
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，
对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝(k∈Z)解得．
3、函数具有奇偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
4、利用诱导公式改变A、的符号或改变函数名的方法
(1)改变A的符号；
(2)改变的符号；
(3)改变A的符号
(4)改变的符号
(5)改变函数名
(6)改变函数名
典例分析
题型一 三角函数的图象
例1-1、函数y＝的部分图象大致为( )
答案 C 解析 令f(x)＝，∵f(1)＝>0，f(π)＝＝0，∴排除选项A，D．
由1－cosx≠0，得x≠2kπ(k∈Z)，故函数f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B．
例1-2、函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法
例1-3、函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为2；
②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
③f(x)在，k∈Z上是减函数；
④f(x)的最大值为A．
则正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B 解析 由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为2．
例1-4、函数f(x)＝Asin(2x＋θ)的部分图象如图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则( )
A．f(x)在上是减函数 B．f(x)在上是增函数
C．f(x)在上是减函数 D．f(x)在上是增函数
答案 B 解析 由题图知A＝2，设m∈[a，b]，且f(0)＝f(m)，则f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝，∴2sin θ
＝，sin θ＝，又∵|θ|≤，∴θ＝，∴f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增．所以选项B正确．
题型二 三角函数的定义域
例2-1、函数y＝的定义域为( )
A． B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．R
答案 C 解析 因为cos x－≥0，即cos x≥，所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
例2-2、函数y＝的定义域为 ．
答案 (k∈Z) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0．利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为．
例2-3、函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为______________．
答案 ∪ 解析 由得∴－3≤x<－或0题型三 三角函数的值域(最值)
例3-1、已知y＝3－sin x－2cos2x，x∈，求y的最大值与最小值之和．
【答案】【解析】 ∵x∈，∴sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝22＋，
∴当sin x＝时，ymin＝；当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
故函数的最大值与最小值的和为2＋＝.
例3-2、函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin xcos x，则f(x)的最大值为________．
6．答案 解析 设t＝sin x＋cos x(－≤t≤)，则sin xcos x＝，y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1，
当t＝时，y＝t＋t2－取最大值为＋．故f(x)的最大值为．
例3-3、若函数的最小正周期为，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 【详解】因为,所以,，因为,所以,
，所以.故选：B
例3-4、函数的最小正周期与最大值之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】去绝对值，作出图象得
由图可知，函数的最小正周期为，最大值为，所以最小正周期与最大值之比为，．
例3-5、已知函数f(x)＝2sin(2x＋)，记函数f(x)在区间[t，t＋]上的最大值为M，最小值为m，设函数h(t)＝Mt－mt．若t∈[，]，则函数h(t)的值域为 ．
答案 [1，2] 解析 由已知函数f(x)的周期T＝π，区间[t，t＋]的长度为．
作出函数f(x)在[，]的图象．又t∈[，]，则由图象可得，当x∈[，]时，h(t)取最小值为f()－f()＝2－1＝1，当x∈[，]时，函数f(x)为减函数，则h(t)＝f(t)－f(t＋)＝2sin(2t－)，所以当t＝时，h(t)的最大值为2，故所求值域为[1，2]．
题型四 三角函数的单调性
例4-1、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<)，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为，且f(x)的图象关于点(，1)对称，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A．[－＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z B．[－＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z
C．[π＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z D．[π＋3kπ，＋3kπ]，k∈Z
答案 B 解析 由题设条件可知f(x)的周期T＝4|α－β|min＝3π，所以ω＝＝，又f(x)的图象关于点
(，1)对称，从而f()＝1，即sin(×＋φ)＝0．因为|φ|<，所以φ＝－，故f(x)＝2sin(x－)＋1，再由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z．
例4-2、 若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是 ．
答案 解析 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，
∴解得≤a<．
例4-3、 若f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
答案 0<ω≤ 解析 法一：因为x∈(ω>0)，所以ωx∈，因为f(x)＝2sin ωx在上是增函数，所以故0<ω≤．
法二：画出函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)的图象如图所示．
要使f(x)在上是增函数，需即0<ω≤．
例4-4、已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是 ．
答案 解析 由0，得＋<ωx＋<ωπ＋，又y＝sinx的单调递减区间为，k∈Z，所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z．又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈．
题型五 三角函数的对称性与周期性
例5-1、若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )
A． B． C． D．
答案 C 解析 由f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，k∈Z，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝．
例5-2、已知函数的图像如图所示，
且的图像关于点对称，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，，
则，，
又，，，由的图像关于点对称，可得，当时，取得最小值为，故选B．
例5-3、设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为 ．
答案 π 解析 记f(x)的最小正周期为T．由题意知≥－＝，又f＝f＝－f，且－＝，
可作出示意图如图所示(一种情况)：
∴x1＝×＝，x2＝×＝，∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π．
例5-4、若x＝是函数f(x)＝sin，x∈R的一个零点，且0<ω<10，则函数f(x)的最小正周期为________．
答案 π 解析 依题意知，f＝sin＝0，即－＝kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z．又
因为0<ω<10，所以0<8k＋2<10，得－例5-5、函数的最小正周期T=___________．
【答案】
【解析】
，
是以为周期的函数，
当时，，函数单调递减，
当，，函数单调递增，
在内不存在小于的周期，是的最小正周期．
题型六 三角函数的图像变换
例6-1、将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝( )
A．sin B．sin C．sin D．sin
答案 B 解析 由题设知，f＝sin．设x＋＝t，则x＝2t－，所以f(t)＝
sin＝sin．故f(x)＝sin．故选B．
例6-2、将函数的图象向左或向右平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意实数成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为,
则,由得函数的对称轴为,所以,所以,因为,所以当时,可得,即,即的最小值为故选:D.
例6-3、函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则 。
答案
【解析】，得=。
例6-4、已知函数()，将的图像向右平移个单位得到函数的图像，点，，是与图像的连续相邻三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，作出两个函数图像，如图：
，，为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，
由对称性，则是以为顶角的等腰三角形，，
由，整理得，解得，则，
即，∴，∵为钝角三角形，则，
∴，解得，故选B．
题型七 三角函数性质综合
例7-1、已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的图象是由y= 2sin2的图象向左移个单位得到的
B．在上单调递增
C．的对称中心的坐标是
D．函数在内共有个零点
【答案】BCD
【解析】，
把的图象向左平移个单位，得到，∴选项不正确；
设，则在上单调增，，，
又在上单调递增，在上单调递增，∴选项B正确；
由得对称中心为，∴选项C正确；
由得或，
解得或，又
时，，共个零点，∴选项D正确．故选BCD．
例7-2、关于函数的性质，下列表述正确的是
①是周期函数，且最小正周期是；
②是轴对称图形，且对称轴是直线；
③定义域是R，值域是；
④是中心对称图形，且对称中心是；
⑤单调减区问是．
【答案】①②③⑤
【解析】①，∴是周期函数，且最小正周期是，故正确；
②，故正确；
③定义域是R，∴，∴，∴，即值域是，故正确；
④如果对称中心是，令，则是对称中心，应有，而，，，故错误；
⑤由复合函数的单调性可得的单调减区间是，解得，即单调递减区问是，正确，故答案为：①②③⑤．
例7-3、已知函数，则（ ）
A．在上单调递增 B．直线是图象的一条对称轴
C．方程在上有三个实根 D．的最小值为
【答案】BC
【解析】对于A选项，，，则，∴函数在上不是增函数，A选项错误；
对于B选项，，
∴直线是图象的一条对称轴，B选项正确；
对于C选项，由，可得，
显然，等式两边平方得，
整理可得，解得或．
当时，，则或．
方程在时有两解，方程在时只有一解．
∴方程在上有三个实根，C选项正确；
对于D选项，假设的最小值为，即，即，
且存在，使得，此时，这与矛盾，假设不成立，D选项错误．故选BC．
例7-4、关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间单调递增；③在有4个零点；④的最大值为2。
其中所有正确结论的编号是
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
【解析】：由图可知选C。
例7-5、已知函数，现有以下命题：
①是偶函数； ②是以为周期的周期函数；
③的图像关于对称； ④的最大值为．
其中真命题有________．
【答案】①②④
【解析】①函数定义域为，关于原点对称，，
∴函数是偶函数；∴①正确；
②，
∴是以为周期的周期函数；∴②正确；
③，
∴的图像不关于对称；∴③错误；
④令，∴，∵，∴，即时，，则函数的最大值为；∴ ④正确；
∴真命题为①②④．
题型八 三角函数中的范围与最值问题
例8-1、已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为 ．
答案 [0，＋∞) 解析 f(x)＝cos(2x＋θ)，当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，由
函数f(x)在上是增函数得k∈Z，则2kπ－≤θ≤2kπ＋(k∈Z)．又0≤θ≤，∴0≤θ≤，∵f＝cos，又≤θ＋≤，∴fmax＝0，∴m≥0．
例8-2、设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，令，则，则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围．
作出和的图像，观察交点个数，
可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，由题意列不等式的：
，解得：．故选B．
例8-3、已知函数在区间上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，，
在上恰有1个最大值点和1个最小值点，
，解得．故选B．
题型九 三角函数模型
例9-1、海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为，其中；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0．5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0．4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0．4米的安全间隙．在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________．
①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；
②若，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；
③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；
④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大．
【答案】①④
【解析】①不卸货，则吃水恒为2米，船离海底为，
当时，，则，
解得，∴最多停留时间为小时，故①正确；
②立即卸货，吃水深度，且，解得，
此时船离海底，，
∴在上单调递增，且当时，，
由，，此段时间都可以停靠，
又，，故②错误；
③与④，，，
，，解得，
当时，；当时，，∴当时，船底离海底的距离最大．
故答案为：①④．
例9-2、如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米．
【答案】 4
【解析】 以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，
因为大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，
12秒旋转一周，设∠OO1P＝θ，运动t秒后与地面的距离为f(t)，又周期T＝12，所以θ＝·2π＝t，
f(t)＝3＋2sin＝3－2cos t(t≥0)，
当t＝40时，f(t)＝3－2cos＝4(米)．
例9-3、如图，某湖有一半径为100的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】在中，，，，
，即，
，
令，则，直接监测覆盖区域”面积的最大值为．
例9-4、已知木料为圆心角为的扇形，将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．
[解] 如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，
设∠MOE＝α，α∈，在Rt△MOE中，ME＝Rsin α，OM＝Rcos α，
在Rt△ONH中，＝tan，得ON＝NH＝Rsin α，
则MN＝OM－ON＝R(cos α－sin α)，
设矩形EFGH的面积为S，
则S＝2ME·MN＝2R2sin α(cos α－sin α)＝R2(sin 2α＋cos 2α－)＝2R2sin－R2，
由α∈，则＜2α＋＜，所以当2α＋＝，
即α＝时，Smax＝(2－)R2.
同步练习
1．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f(x)，则函数f(x)的单调递
增区间为( )
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
1、解析：选A ∵函数y＝2sin的周期T＝＝π，∴将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f(x)＝2sin＝2sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z．故选A．
2．如图，函数的图象经过点和，则（ ）
A． B．
C．函数的图象关于直线对称
D．若则
2、【答案】BC
【解析】由图形可得∴∴则错误；
则由的图象过点
则，解得，结合可得则正确；
，当时∴函数的图象关于直线对称，则正确；
由得∴则D错误．
3．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则f(x)图象的一个对称中心是( )
A． B． C． D．
3、答案 A 解析 由题图得为f(x)图象的一个对称中心，＝－，∴T＝π，从而f(x)图象的
对称中心为(k∈Z)，当k＝1时，为，选A．
4．将函数f(x)＝sin x＋cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将函数图象向左平移个单位后，得到的函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin D．g(x)＝sin
4、答案 B 解析 f(x)＝sinx＋cosx＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得，
y＝sin的图象向左平移个单位得，g(x)＝sin＝sin．故选B．
5．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5、【答案】A
【详解】根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数，所以，所以．又，所以的最小值为．故选：A
6．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数；②对任意实数x，都有f＝f.则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 6x
6、答案 C 解析 由题意可得，函数f(x)是偶函数，且它的图象关于直线x＝对称，∵f(x)＝cos x是偶函数，f＝，不是最值，故不满足图象关于直线x＝对称，故排除A.∵函数f(x)＝cos＝－sin 2x是奇函数，不满足条件，故排除B.∵函数f(x)＝sin＝cos 4x是偶函数，f＝－1，是最小值，故满足图象关于直线x＝对称，故C满足条件．∵函数f(x)＝cos 6x是偶函数．f＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x＝对称，故排除D．
7．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2
7、答案 D 解析 y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，令t＝sin x，则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2．
8．若在上是增函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8、【答案】C
【详解】若f（x）＝sinxcosx＝2（sinxcosx）＝2sin（x） 在[﹣m，m]（m＞0）上是增函数，∴﹣m，且m．求得 m，且 m，∴m，故m的最大值为，
9．已知函数 f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为( )
A． B． C． D．
9、答案 B 解析 法一：由题意得则又ω>0，
所以k∈Z，所以k＝0，则0<ω≤，故选B．
法二：取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B．
10．函数在内的值域为,则的取值范围是
A. B. C. D.
10、【答案】B
【解析】如图所示， ，解得，故选B.
11．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11、【答案】A
【解析】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期，
∵函数在上没有零点，∴，得，得，得，
假设函数在上有零点，
令，得，，得，，
则，得，，
又，∴或，
又函数在上有零点，且，
∴或，故选A．
12．(多选题)已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是
B．的图像可由函数的图像向左平移个单位而得到
C．是的一条对称轴
D．的一个对称中心是
12、【答案】AB
【解析】，
A．函数的最小正周期，故A正确；
B．根据图象的平移变换规律，可知函数的图像向左平移个单位而得到，故B正确；
C．当时，，不是函数的对称轴，故C不正确；
D．当时，，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是，故D不正确．
13．(多选题)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
13、解析：选ABD.由题意可知T＝60，所以＝60，解得ω＝，又从点A(3，－3)出发，所以R＝6，6sin φ＝－3，又|φ|<，所以φ＝－，故A正确；y＝6sin，当t∈[35，55]时，t－∈，则sin∈[－1，0]，y∈[－6，0]，点P到x轴的距离为|y|，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确；当t∈[10，25]时，t－∈，所以函数y＝6sin在[10，25]上不单调，故C不正确；当t＝20时，t－＝，则y＝6sin ＝6，且x＝6cos ＝0，所以P(0，6)，则|PA|＝＝6，故D正确．综上，正确的是ABD.
14．已知函数，则（ ）
A． B．的最小值为
C．的图象关于对称 D．在上单调递减
14、【答案】AD
【解析】对于A，，正确；
对于B，当时，即，，
∵，∴，
∴，，的最小值为；
当时，即，，
∵，∴，
∴，，无最小值；
综上所述，，∴的最小值为，错误；
对于C， ，
即的图象不关于对称，∴错误；
对于D，当时，即，可得，，
单调递减区间为，
又，∴单调递减区间为，
即，当时，，而，∴正确．
15．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为 ．
15、答案 解析 要使函数有意义，则即解得所以2kπ16．函数，，有下列命题：
①的表达式可改写为；
②直线是函数图象的一条对称轴；
③函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到；
④满足的的取值范围是．
其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）
16、【答案】①④
【解析】，故①正确；
当时，，故②错误；
∵函数的图象向右平移个单位长度得到，
而，故③错误；
由可得，解得，
∴，解得，故④正确．
17．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，若
x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．
17、答案 解析 观察图象可知，A＝1，T＝2＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．将代入上式得sin＝0，即－＋φ＝kπ，k∈Z，由|φ|＜，得φ＝，则f(x)＝sin．函数图象的对称轴为x＝＝．又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴＝，即x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝．
18．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是 ．(填序号)
①f(x)的周期是； ②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z．
18、答案 ④ 解析 函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－19．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G
是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．
19．答案 － 解析 由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝．又∵f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，∴φ＝
＋kπ，k∈Z，∵0<φ<π，则φ＝，∴f(x)＝cos，∴f(1)＝－．
20．已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
20、答案 (－∞，－2]∪ 解析 显然ω≠0．若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函
数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥．若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2．所以ω≤－，解得ω≤－2．综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪．
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高中数学重难点突破
专题十二 三角函数的图像与性质
知识归纳
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
1、正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)．
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2、余弦函数y＝cos x,x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π,1)．
3、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图，要找五个关键点，如下列表格：
4、用图像平移画y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)一个周期的简图
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
单调性 递增区间：递减区间： 递增区间：[2kπ－π，2kπ]递减区间：[2kπ，2kπ＋π] 递增区间
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心(kπ，0)k∈Z 对称中心k∈Z 对称中心k∈Z
对称轴x＝kπ＋(k∈Z) 对称轴x＝kπ(k∈Z)
周期性 2π 2π π
三、三角函数的周期性与对称性
1、周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.
2、对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
四、常用的结论
1、三角函数的周期性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期T＝．应特别注意函数y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为T＝，函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期T＝．
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝．应特别注意函数y＝|Acos(ωx＋φ)|的周期为T＝．函数y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期均为T＝．
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝．应特别注意函数y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期为T＝，函数y＝|Atan(ωx＋φ)＋b|(b≠0) 的最小正周期均为T＝．
2、三角函数的对称性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得，
对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得；
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，
对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝(k∈Z)解得．
3、函数具有奇偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
4、利用诱导公式改变A、的符号或改变函数名的方法
(1)改变A的符号；
(2)改变的符号；
(3)改变A的符号
(4)改变的符号
(5)改变函数名
(6)改变函数名
典例分析
题型一 三角函数的图象
例1-1、函数y＝的部分图象大致为( )
例1-2、函数的图象可能为（ ）
A B C D
例1-3、函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为2；
②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
③f(x)在，k∈Z上是减函数；
④f(x)的最大值为A．
则正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
例1-4、函数f(x)＝Asin(2x＋θ)的部分图象如图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则( )
A．f(x)在上是减函数
B．f(x)在上是增函数
C．f(x)在上是减函数
D．f(x)在上是增函数
题型二 三角函数的定义域
例2-1、函数y＝的定义域为( )
A． B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．R
例2-2、函数y＝的定义域为 ．
例2-3、函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为______________．
题型三 三角函数的值域(最值)
例3-1、已知y＝3－sin x－2cos2x，x∈，求y的最大值与最小值之和．
例3-2、函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin xcos x，则f(x)的最大值为________．
例3-3、若函数的最小正周期为，则在上的值域为( )
A． B． C． D．
例3-4、函数的最小正周期与最大值之比为( )
A． B． C． D．
例3-5、已知函数f(x)＝2sin(2x＋)，记函数f(x)在区间[t，t＋]上的最大值为M，最小值为m，设函数
h(t)＝Mt－mt．若t∈[，]，则函数h(t)的值域为 ．
题型四 三角函数的单调性
例4-1、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<)，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为，且f(x)的图象关于点(，1)对称，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A．[－＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z B．[－＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z
C．[π＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z D．[π＋3kπ，＋3kπ]，k∈Z
例4-2、 若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是 ．
例4-3、 若f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
例4-4、已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是 ．
题型五 三角函数的对称性与周期性
例5-1、若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )
A． B． C． D．
例5-2、已知函数的图像如图所示，且的图像关于点对称，则的最小值为( )
A． B．
C． D．
例5-3、设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为 ．
例5-4、若x＝是函数f(x)＝sin，x∈R的一个零点，且0<ω<10，则函数f(x)的最小正周期为________．
例5-5、函数的最小正周期T=___________．
题型六 三角函数的图像变换
例6-1、将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝( )
A．sin B．sin C．sin D．sin
例6-2、将函数的图象向左或向右平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意实数成立，则实数的最小值为( )
A． B． C． D．
例6-3、函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则 .
例6-4、已知函数()，将的图像向右平移个单位得到函数的图像，点，，是与图像的连续相邻三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
题型七 三角函数性质综合
例7-1、已知函数，则下列结论中正确的是( )
A．的图象是由y= 2sin2的图象向左移个单位得到的
B．在上单调递增
C．的对称中心的坐标是
D．函数在内共有个零点
例7-2、关于函数的性质，下列表述正确的是
①是周期函数，且最小正周期是；
②是轴对称图形，且对称轴是直线；
③定义域是R，值域是；
④是中心对称图形，且对称中心是；
⑤单调减区问是．
例7-3、已知函数，则( )
A．在上单调递增
B．直线是图象的一条对称轴
C．方程在上有三个实根
D．的最小值为
例7-4、关于函数有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间单调递增；③在有4个零点；
④的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
例7-5、已知函数，现有以下命题：
①是偶函数； ②是以为周期的周期函数；
③的图像关于对称； ④的最大值为．
其中真命题有________．
题型八 三角函数中的范围与最值问题
例8-1、已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为 ．
例8-2、设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
例8-3、已知函数在区间上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是( )
A． B． C． D．
题型九 三角函数模型
例9-1、海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为，其中；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0．5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0．4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0．4米的安全间隙．在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________．
①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；
②若，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；
③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；
④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大．
例9-2、如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米．
例9-3、如图，某湖有一半径为100的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为__________．
例9-4、木料是半径为R，圆心角为的扇形，将此木料截成矩形(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．
同步练习
1．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f(x)，则函数f(x)的单调递
增区间为( )
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
2．(多选题)如图，函数的图象经过点和，则( )
A．
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．若则
3．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则f(x)图象
的一个对称中心是( )
A． B．
C． D．
4．将函数f(x)＝sin x＋cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将函数图象向左平移个单位后，得到的函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin D．g(x)＝sin
5．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为( )
A． B． C． D．
6．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数；②对任意实数x，都有f＝f.则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 6x
7．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2
8．若在上是增函数，则的最大值为( )
A． B． C． D．
9．已知函数 f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为( )
A． B． C． D．
10．函数在内的值域为,则的取值范围是( )
A． B． C. D．
11．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
12．(多选题)已知函数，则( )
A．的最小正周期是
B．的图像可由函数的图像向左平移个单位而得到
C．是的一条对称轴
D．的一个对称中心是
13．(多选题)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
14．已知函数，则( )
A． B．的最小值为
C．的图象关于对称 D．在上单调递减
15．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为 ．
16．函数，，有下列命题：
①的表达式可改写为；
②直线是函数图象的一条对称轴；
③函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到；
④满足的的取值范围是．
其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）
17．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，
若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．
18．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是 ．(填序号)
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z．
19．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．
20．已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
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