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高中数学重难点突破
专题九 函数的图像与应用
知识归纳
一、图象变换
1、平移变换
2、对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)； ②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
3、翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)．
4、伸缩变换
①y＝f(x)y＝f(ax)．
②y＝f(x)y＝af(x)．
二、几类特殊函数的图像与性质
①函数的图像与性质
，，
②函数的图像与性质
③函数的图像与性质 ③函数的图像与性质
典例分析
例1、作出下列函数的图象：
(1)y＝|log2(x＋1)|； (2)y＝； (3)y＝； (4)y=.
例2、(1)已知图中①的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
(2)函数f(x)＝则y＝f(1－x)的图象是( )
例3、(1)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )
函数y＝的图象大致是( )
例4、(1)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是 ( )
A．a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是 ( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－
例5、(1)下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是( )
A．(－∞，1] B． C. D．[1，2)
(2)函数，若(a)(b)(c)且，，互不相等，则的取值范围是
A． B． C． D．
例6、(1)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( )
A.{x|-1
B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1D.{x|-1(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_______________。
例7、(1)已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1=0的根个数是________．
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
例8、(1)已知函数，则的递增区间为 ，函数的零点个数为 个．
(2)函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是 ．
同步练习
1．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( )
A B C D
2．已知lg a＋lg b＝0，则函数y＝ax与函数y＝－logb x的图象可能是( )
A B C D
3．已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
A B C D
4．已知函数，则函数的图象大致为
A．B． C． D．
5．已知函数f(x)＝x － 4＋ ，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝|x＋b|的图象为( )
A B C D
6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是
A． B． C． D．
7．函数y＝的图象大致为( )
8．对 x∈，23x≤logax＋1恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
9．已知函数f(x)＝，则函数y＝f(e－x)的大致图象是( )
A B C D
10．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图象大致为( )
A B C D
11．若函数y＝f(x)的图象过点(1,1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________．
12．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：
①f(x＋2)是偶函数； ②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；
③f(x)没有最小值． 其中正确的有________．(填序号)
13．已知函数f(x)＝，下列关于函数f(x)的结论中正确结论的序号是________．
①y＝f(x)的值域为R； ②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③y＝f(x)的图象关于y轴对称； ④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点．
14．已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为________．
15．函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝2sin x(0≤x≤4)的图象的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…xn)＝________.
平移
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高中数学重难点突破
专题九 函数的图像与应用
知识归纳
一、常用函数的图像与性质
1、一次函数y=kx+b的图像与性质
一次函数 y=kx+b(k≠0)
k，b 符号 k>0 k<0
b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0
图象
性质 增函数 减函数
2、二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数；在上是增函数 在上是增函数；在上是减函数
最值 当x＝－时，ymin＝ 当x＝－时，ymax＝
3、反比例函数的图像与性质
定义 函数叫做反比例函数
图象 k>0 k>0
性质 定义域：(-∞，0) U (0，＋∞)
值域：(-∞，0) U (0，＋∞)
图像在第一、三象限内 在(-∞，0) 和 (0，＋∞)上递减 图像在第二、四象限内 在(-∞，0) 和 (0，＋∞)上递增
4、指数函数y=ax的图像与性质
定义 函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数
图象 a>1 0定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，x轴是渐近线
当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01.
在R上是增函数 在R上是减函数
5、对数函数y=logax的图像与性质
定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数
图象 a＞1 0＜a＜1
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当0＜x＜1时，y＜0; 当x＞1时，y＞0 . 当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0.
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
6、幂函数y=xa的图像与性质
五种幂函数 y=x, ,，,的图像
幂函数y=xα在第一象限的图像规律
α取值 α>1 0<α<1 α<0
图象
特殊点 过(0,0)，(1,1) 过(0,0)，(1,1) 过(1,1)
凹凸性 下凸 上凸 下凸
单调性 递增 递增 递减
7、几类特殊函数的图像与性质
①函数的图像与性质
，，
②函数的图像与性质
③函数的图像与性质 ③函数的图像与性质
二、图象变换
1、平移变换
2、对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
3、翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
4、伸缩变换
①y＝f(x)y＝f(ax)．
②y＝f(x)y＝af(x)．
典例分析
例1、作出下列函数的图象：
(1)y＝|log2(x＋1)|； (2)y＝； (3)y＝； (4)y=.
例1、答案(1) (2) (3) (4)
解析
(1)作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，
加上y＝x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，
即得y＝|x|的图象，如图实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图所示.
(3)∵y＝2＋， 故函数图象可由y＝ 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．
EMBED Word.Document.12
(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，
再根据对称性作出(－∞，0)上的图象．得图象如图．
例2、(1)已知图中①的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
(2)函数f(x)＝则y＝f(1－x)的图象是( )
例2、答案（1）C（2）C
解析 (1)y＝f(－|x|)＝
(2)画出y=f(x)的图像，再作其关于y轴对称的图像，得到y=f(-x)的图像，
再将所得的图像向右平移1个单位，得到y=f[-(x-1)]=f(-x+1)的图像。
例3、(1)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )
[2013·四川高考]函数y＝的图象大致是( )
例3、答案 (1)A (2)C
解析 (1)∵f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x)，∴f(x)是偶函数,排除C.
∵x2+1≥1,则ln(x2+1)≥0，且当x=0时 f(0)=0, 所以排除B,D,选A.
(2)由已知得3x－1≠0 x≠0，排除A；
∵x<0时，3x－1<0，x3<0，∴y＝>0，故排除B；
又y′＝，当3－xln 3<0时，x>>0，y′<0，所以D不符合．
例4、(1)[2015·安徽高考]函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是 ( )
A．a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
(2)[2015·贵州七校一联]已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是 ( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－
例4、答案 (1)C (2)A
解析(1)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c＞0，∴c＜0.
令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)＞0，∴b＞0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－＞0，∴a<0.
(2)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.
例5、(1)下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是( )
A．(－∞，1] B． C. D．[1，2)
(2)函数，若（a）（b）（c）且，，互不相等，则的取值范围是
A． B． C． D．
例5、答案 (1)D (2)B
解析(1)用图象法解决，将y＝lg x的图象关于y轴对称得到y＝lg(－x)的图象，
再向右平移两个单位，得到y＝ lg[－(x－2)]的图象，
将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，即得到f(x)＝|lg(2－x)|的图象．
由图象，在选项中的区间上f(x)是增函数的显然只有D.
(2)函数的图象如图：
（a）（b）（c）且，，互不相等
，，
由（a）（b）得，即，即
由函数图象得 的取值范围是
故选：．
例6、(1)[2015·北京高考]如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式
f(x)≥log2(x+1)的解集是( )
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1D.{x|-1(2)[2015·湖北调研]设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_______________。
例6、答案（1)C (2)a≥－1
解析(1)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．
由得∴解集为{x|－1(2)如右上图，要使f(x)≥g(x)恒成立， 则－a≤1， ∴a≥－1
例7、(1)已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1=0的根个数是________．
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
例7、答案 (1)5 (2)(0，2）
解析(1)方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
(2)由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，
则当0例8、(1)已知函数，则的递增区间为 ，函数的零点个数为 个．
(1)【解答】解：，
的递增区间为，，
分别画出和的图象，如图所示，
和有两个交点，
函数的零点个数为2个．
故答案为：，，2
(2)函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是 ，， ．
(2)【解答】解：方程有五个不同的实数解，
解：题中原方程有且只有5个不同实数解，
即要求对应于等于某个常数有3个不同实数解，
故先根据题意作出的简图：
由图可知，只有当时，它有三个根．
所以有：①．
再根据有两个不等实根，
得：△②
结合①②得：或．
故答案为：，，．
同步练习
1．(2019·湖北四市联考)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( )
A B C D
1、B [y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0.又|f(x)|在(－∞，1)上单调递减，故选B.]
2．(2019·太原模拟)已知lg a＋lg b＝0，则函数y＝ax与函数y＝－logb x的图象可能是( )
A B C D
2、D [∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，∴b＝.∴y＝－logb x＝－logx＝loga x．∴函数y＝ax与函数y＝－logb x互为反函数，∴二者的单调性一致，且图象关于直线y＝x对称，故选D.]
3．已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
A B C D
3、当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项可知，应选B.
4．已知函数，则函数的图象大致为
A．B． C． D．
4、【解答】解：，，
，，即该函数的定义域为，排除选项和，
当时，，排除选项，
故选：．
5．(2019·山西质检)已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝|x＋b|的图象为( )
A B C D
5、B [因为0＜x＜4，所以1＜x＋1＜5，
则f(x)＝x－4＋＝(x＋1)＋－5≥6－5＝1
(当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号)，即a＝2，b＝1，
即g(x)＝|x＋1|＝则g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在[－1,＋∞)单调递减
6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是
A． B． C． D．
【分析】先由函数的定义域可排除选项和，再由时，与0的大小关系，可得解．
【解答】解：函数的定义域为，排除选项和，
当时，，
但在选项中，由于，所以，可排除选项，
故选：．
7．(2019·湖南十校联考)函数y＝的图象大致为( )
7、A [当x>2时，2－x<0，ex>0，(x－1)2>0，∴y<0，此时函数的图象在x轴的下方，排除B；当x<2且x≠1时，2－x>0，ex>0，(x－1)2>0，∴y>0，此时函数的图象在x轴的上方，故选A.]
8．对 x∈，23x≤logax＋1恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8、C [若23x≤logax＋1在上恒成立，则0＜a＜1，利用数形结合思想画出指数函数与对数函数图象(图略)，易得loga＋1≥2eq \s\up5(3×)，解得≤a＜1，故选C.]
9．已知函数f(x)＝，则函数y＝f(e－x)的大致图象是( )
A B C D
9、B [令g(x)＝f(e－x)，则g(x)＝，化简得g(x)＝，因此g(x)在[0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数．又ee－0＞ln(e－0)，故选B.]
10．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图象大致为( )
10、当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，CQ＝8－2t，
则S＝f(t)＝QC×BP＝(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；
当4＜t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，此时AP＝t，P到AC的距离为t，CQ＝2t－8，
则S＝f(t)＝QC×t＝(2t－8)×t＝(t2－4t)；当6＜t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，
此时CP＝14－t，QC＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×CPsin∠ACB＝(2t－8)(14－t)×＝(t－4)(14－t)．
综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A，故选A.]
11．(2018·石家庄模拟)若函数y＝f(x)的图象过点(1,1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________．
11、(3,1) [由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y＝f(4－x)的图象过定点(3,1)．]
12．(2019·赣江模拟)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：
①f(x＋2)是偶函数；
②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；
③f(x)没有最小值．
其中正确的有________．(填序号)
12、①② [因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数．
由y＝lg xy
＝lg(x＋1)
y＝lg(|x|＋1)y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．]
13．已知函数f(x)＝，下列关于函数f(x)的结论：
①y＝f(x)的值域为R；
②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③y＝f(x)的图象关于y轴对称；
④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点．
其中正确结论的序号是________．
13、③④ [函数f(x)＝＝其图象如图所示，
由图象可知f(x)的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；f(x)在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，而在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f(x)的图象关于y轴对称，故③正确；由于f(x)在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点，故④正确．]
14．已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为________．
14、[－8，－1] [作出函数f(x)的图象，当x≤－1时，函数f(x)＝log2(－)单调递减，且最小值为f(－1)＝－1，则令log2(－)＝2，解得x＝－8；当x＞－1时，函数f(x)＝－x2＋x＋在(－1，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f(2)＝2，又f(4)＝＜2，f(－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．
]
15．函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝2sin x(0≤x≤4)的图象的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…xn)＝________.
15、 [如图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝. ]
x
y
0
x
y
0
x
x
y
o
y
y
平移
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