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高中数学重难点突破
专题十 函数周期性与对称性
知识归纳
1．函数的对称性(奇偶性的推广)
(1)函数的轴对称
定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．
(2)函数的点对称
定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．
(3)两个等价关系
若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：
f(a＋x)＝f(a－x)f(2a－x)＝f(x)f(2a＋x)＝f(－x)
若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：
f(a＋x)＝－f(a－x)f(2a－x)＝－f(x)f(2a＋x)＝－f(－x)
2．周期性
(1)周期函数的定义：
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
(2)函数周期性常用的结论：
结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a；
结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a；
结论3：若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；
结论4：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；
结论5：若f(x＋a)＝，则f(x)的一个周期为2a；
结论6：若f(x＋a)＝－，则f(x)的一个周期为2a；
结论7：若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
结论8：若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
结论9：若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．
结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．
总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．
典例分析
考点一 利用函数的周期性求值
例1、(1)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于( )
A．403 B．405 C．806 D．809
答案 B 解析 定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．
(2)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 022)＝__________．
答案 2 解析 由f(x＋2)＝－得f(x＋4)＝－＝f(x)，所以T＝4，f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2．
(3)函数f(x)满足f(x＋5)＝f(x+3)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则的值为( )
A． B． C．－ D．－
答案 A 解析 由f(x＋5)＝f(x+3)得f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，则＝f＝2××
＝，故选A．
(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f(x＋1)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝( )
A．5 B． C．2 D．－2
答案 D 解析 由f(x－1)＝－f(x＋1)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2．
(5)已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为( )
A． B．－ C． D．－
答案 A 解析 由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，∴f(x)是以5为周期的周期函数，
∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1．∴当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，∴f(－1)＝2－1－1＝－，∴f(1)＝，∴f(16)＝．
考点二 利用函数的周期性与奇偶性求值
例2、(1)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且f(2)＝4，则f(2 014)＝( )
A．0 B．－4 C．－8 D．－16
答案 B 解析 由题意可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f [(x＋6)＋6]
＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12．把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4．故选B．
(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 018)的值为( )
A．2 018 B．－2 018 C．0 D．4
答案 C 解析 依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的
函数，f(2 018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0．
考点三 利用函数的对称性与周期性求值
例3、(1)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )
A． B． C．π D．
答案 B 解析 由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2)．∴f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4．所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝．
(2)函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________．
答案 4 解析 ∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－
f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2 016)＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 016＋2)＝f(2 016)－f(2 016)＝0，∴f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4．
(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有成立．若f(1)＝2，则f(2)＋f(3)＝________．
答案 －2 解析 由，且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2．
考点四 已知函数的奇偶性与周期性，求解函数的零点问题
例4、(1)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝()x－1，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C 解析 原方程等价于y＝f(x)与y＝log8(x＋2)的图象的交点个数问题，由f(x＋2)＝f(2－x)，
可知f(x)的图象关于x＝2对称，再根据f(x)是偶函数这一性质，可由f(x)在[－2，0]上的解析式，作出f(x)在(0，2)上的图象，进而作出f(x)在(－2，6)上的图象，如图所示．
再在同一坐标系下，画出y＝log8(x＋2)的图象，注意其图象过点(6，1)，由图可知，两图象在区间(－2，6)内有三个交点，从而原方程有三个根，故选C．
(2)已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f(＋x)＝f(－x)，函数f(x＋1)是奇函数，当－≤x≤时，f(x)＝2x，则方程f(x)＝－在区间[－3，5]内的所有根的和为________．
答案 4 解析 ∵函数f(x＋1)是奇函数，∴函数f(x＋1)的图象关于点(0，0)对称，把函数f(x＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f(x)的图象，即函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(2－x)＝－f(x)．又∵f(＋x)＝f(－x)，∴f(1－x)＝f(x)，从而f(2－x)＝－f(1－x)，∴f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为2，且图象关于直线x＝对称．画出函数f(x)的图象如图所示．
∴结合图象可得方程f(x)＝－在区间[－3，5]内有8个根，且所有根之和为×2×4＝4．
(3)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x>0时，f(x)＝，则函数
g(x)＝4f(x)－1的零点个数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B 解析 函数g(x)＝4f(x)－1有零点即4f(x)－1＝0有解，即f(x)＝，由题意可知，当0时，f(x)＝2|x－1|，当x>2时，f(x)＝f(x－2)，所以当20时，f(x)＝有两解，即当x>0时函数g(x)＝4f(x)－1有两个零点，因为函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，所以当x<0时，f(x)＝也有两解，所以函数g(x)＝4f(x)－1共有四个零点，故选B．
(4)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为( )
A．－7 B．－6 C．－3 D．－1
答案 A 解析：因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋2)，所以函
数f(x)的周期为2，又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象，如图所示．
由图知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个．不妨设x1考点五 函数性质综合问题
例5、(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈(0，1)时，f(x)＝则f(x)在区间内是( )
A．增函数且f(x)>0 B．增函数且f(x)<0 C．减函数且f(x)>0 D．减函数且f(x)<0
答案 D 解析 由f(x)为奇函数，f(x＋1)＝f(－x)得，f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的周
期函数．根据条件，当x∈，1时，f(x)＝，x－2∈，－(x－2)∈，∴f(x)＝f(x－2)＝－f(2－x)＝，设2－x＝t，则t∈，x＝2－t，∴－f(t)＝log－t，∴f(t)＝－log，∴f(x)＝－log，x∈，可以看出当x增大时，－x减小，log增大，f(x)减小，∴在区间内，f(x)是减函数．而由11，∴f(x)<0．故选D．
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
① x1，x2∈[4，8]，当x10；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 025)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
答案 B 解析 由条件①知，当x∈[4，8]时，f(x)为增函数；由条件②知，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
f(x)是周期为8的周期函数；由条件③知，y＝f(x)关于直线x＝4对称，所以f(11)＝f(3)＝f(5)，f(2 025)＝f(1)＝f(7)，故f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜a＜c．故选B．
(3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x，则( )
A．f(－3)答案 D 解析：∵f(x－1)＝f(x＋1)，则函数f(x)的周期T＝2．当x∈[－1，1]时，f(x)＝x＝
x·，则f(－x)＝－x·＝－x·＝x·＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，因此f ＝f ，f(－3)＝f(－1)＝f(1)，f(2)＝f(0)．当0≤x≤1时，函数y＝x与y＝1－均为增函数且都不小于0，所以f(x)＝x在区间[0，1]上是增函数．∴f(1)>f >f(0)，即f(－3)>f >f(2)．
(4)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数， x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈(0，1)且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题：
①f(1)＝0；
②f(x)在[－2，2]上有5个零点；
③点(2 014，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；
④直线x＝2 014是函数y＝f(x)图象的一条对称轴．
则正确命题的序号是________．
答案 ①②③ 解析：令f(x－1)＝f(x＋1)中x＝0，得f(－1)＝f(1)．∵f(－1)＝－f(1)，∴2f(1)＝0，∴f(1)＝0，故①正确；由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(2)＝f(0)＝0，又当x∈(0，1)且x1≠x2时，有＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图：由图知②③正确，④不正确，∴正确命题的序号为①②③
(5)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0，3]，
且x1≠x2时，都有>0．给出下列命题：
①f(3)＝0；
②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；
④函数y＝f(x)在[－9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为________．
答案 ①②④ 解析 ∵f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)．又f(x)是R上的偶函数，所以f(3)＝0，故①正确；
由①知f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期为6．又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋6)＝f(－x)，而f(x)的周期为6，所以f(x＋6)＝f(－6＋x)，f(－x)＝f(－x－6)，所以f(－6－x)＝f(－6＋x)，所以直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴．故②正确；当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有>0，所以函数y＝f(x)在[0，3]上为增函数．因为f(x)是R上的偶函数，所以函数y＝f(x)在[－3，0]上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函数y＝f(x)在[－9，－6]上为减函数．故③错误；f(3)＝0，f(x)的周期为6，所以f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，所以函数y＝f(x)在[－9，9]上有四个零点．故④正确．
同步训练
1、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝则下列函数值为1的是( )
A．f(2.5) B．f(f(2.5)) C．f(f(1.5)) D．f(2)
1、答案 D 解析 由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．
2、已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
2、答案 C 解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0．又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．
3、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
3、答案 D 解析 因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D．
4、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝|x－1|(－
1≤x≤3)，则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
4、答案 B 解析 ∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)的周期为2．又f(x)为偶函数，
∴f(1－x)＝f(x－1)＝f(x＋1)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．又g(x)＝|x－1|(－1≤x≤3)的图象关于直线x＝1对称，作出f(x)和g(x)的图象如图所示．
由图象可知两函数图象在[－1，3]上共有4个交点，分别记从左到右各交点的横坐标为x1，x2，x3，x4，可知x＝x1与x＝x4，x＝x2与x＝x3分别关于x＝1对称，∴所有交点的横坐标之和为x1＋x2＋x3＋x4＝1×2×2＝4，故选B．
5、函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
5、答案 解析 由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝f＝cos＝．
6、已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝________．
6、答案 0 解析 因为f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝0．
7、若偶函数y＝f(x)，x∈R满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝2－x2，则方程f(x)＝sin|x|在[－
10，10]内的根的个数为________．
7、答案 10 解析 ∵函数y＝f(x)为偶函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)
＝f(x)，∴偶函数y＝f(x)是周期为4的函数．由x∈[0，2]时，f(x)＝2－x2可作出函数f(x)在[－10，10]上的图象，同时作出函数y＝sin|x|在[－10，10]上的图象，交点个数即为所求根的个数．数形结合可得交点个数为10．
8、设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的 x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________．
8、答案 ①② 解析 由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f(x)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；由题意知，在区间[0,1]上，函数f(x)是增函数．在区间[－1,0]上，函数f(x)是减函数，由函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；函数f(x)的最大值为2，最小值为1，故③错误．
9、已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：
①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)的图象关于点对称；
③函数f(x)为R上的偶函数；
④函数f(x)为R上的单调函数．
其中真命题的序号为________．
9、答案 ①②③ 解析 f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，①正确；函数f是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f(x)的图象关于点对称，②正确；因为f(x)的图象关于点对称，－＝，所以f(－x)＝－f，又f＝－f＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，③正确；f(x)是周期函数在R上不可能是单调函数，④错误．故真命题的序号为①②③．
10定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f，且在上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数，且周期为2；
②f(x)的图象关于点(1，0)对称；
③f(x)在[0，1]上是减函数；
④f(x)在上是增函数；
⑤f ＝f ．
其中正确的序号是________．
10、答案 ①②⑤ 解析 根据题设条件利用判断函数周期性、对称性、单调性的方法，对每个命题进行
确认．对于①，由f＝f，得f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为2.故①正确；对于②，由①知f(x＋2)＝f(x)，所以f(x＋1)＝f(x－1)，由f(x)是奇函数得f(x＋1)＝－f(1－x)，则f(x)的图象关于点(1,0)对称．故②正确；对于③④，f(x)在上是增函数，则在上是增函数，所以f(x)在上为增函数．又由f ＝f 知，f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)在上是减函数．故③④错误；对于⑤，f ＝f ＝－f ，F ＝f ＝－f ，由f ＝f ，可得f ＝f ．所以f ＝f .故⑤正确．所以正确命题的序号是①②⑤．
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高中数学重难点突破
专题十 函数周期性与对称性
知识归纳
1．函数的对称性(奇偶性的推广)
(1)函数的轴对称
定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．
(2)函数的点对称
定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．
(3)两个等价关系
若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：
f(a＋x)＝f(a－x)f(2a－x)＝f(x)f(2a＋x)＝f(－x)
若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：
f(a＋x)＝－f(a－x)f(2a－x)＝－f(x)f(2a＋x)＝－f(－x)
2．周期性
(1)周期函数的定义：
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
(2)函数周期性常用的结论：
结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a；
结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a；
结论3：若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；
结论4：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；
结论5：若f(x＋a)＝，则f(x)的一个周期为2a；
结论6：若f(x＋a)＝－，则f(x)的一个周期为2a；
结论7：若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
结论8：若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
结论9：若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．
结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．
总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．
典例分析
考点一 利用函数的周期性求值
例1、(1)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于( )
A．403 B．405 C．806 D．809
(2)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 022)＝__________．
(3)函数f(x)满足f(x＋5)＝f(x+3)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则的值为( )
A． B． C．－ D．－
(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f(x＋1)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝( )
A．5 B． C．2 D．－2
(5)已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为( )
A． B．－ C． D．－
考点二 利用函数的周期性与奇偶性求值
例2、(1)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且f(2)＝4，则f(2 014)＝( )
A．0 B．－4 C．－8 D．－16
(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 018)的值为( )
A．2 018 B．－2 018 C．0 D．4
考点三 利用函数的对称性与周期性求值
例3、(1)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )
A． B． C．π D．
(2)函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________．
(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有成立．若f(1)＝2，则f(2)＋f(3)＝________．
考点四 已知函数的奇偶性与周期性，求解函数的零点问题
例4、(1)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝()x－1，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f(＋x)＝f(－x)，函数f(x＋1)是奇函数，当－≤x≤时，f(x)＝2x，则方程f(x)＝－在区间[－3，5]内的所有根的和为________．
(3)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x>0时，f(x)＝，则函数
g(x)＝4f(x)－1的零点个数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(4)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为( )
A．－7 B．－6 C．－3 D．－1
考点五 函数性质综合问题
例5、(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈(0，1)时，f(x)＝则f(x)在区间内是( )
A．增函数且f(x)>0 B．增函数且f(x)<0 C．减函数且f(x)>0 D．减函数且f(x)<0
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
① x1，x2∈[4，8]，当x10；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 025)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
(3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x，则( )
A．f(－3)(4)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数， x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈(0，1)且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题：
①f(1)＝0；
②f(x)在[－2，2]上有5个零点；
③点(2 014，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；
④直线x＝2 014是函数y＝f(x)图象的一条对称轴．
则正确命题的序号是________．
(5)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0，3]，
且x1≠x2时，都有>0．给出下列命题：
①f(3)＝0；
②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；
④函数y＝f(x)在[－9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为________．
同步训练
1、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝则下列函数值为1的是( )
A．f(2.5) B．f(f(2.5)) C．f(f(1.5)) D．f(2)
2、已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
3、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
4、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝|x－1|(－
1≤x≤3)，则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5、函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
6、已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝________．
7、若偶函数y＝f(x)，x∈R满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝2－x2，则方程f(x)＝sin|x|在
[－10，10]内的根的个数为________．
8、设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的 x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________．
9、已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：
①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)的图象关于点对称；
③函数f(x)为R上的偶函数；
④函数f(x)为R上的单调函数．
其中真命题的序号为________．
10定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f，且在上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数，且周期为2；
②f(x)的图象关于点(1，0)对称；
③f(x)在[0，1]上是减函数；
④f(x)在上是增函数；
⑤f ＝f ．
其中正确的序号是________．
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