北师大版八年级数学上册 1.2 一定是直角三角形吗 巩固题 （含解析）

1.2 一定是直角三角形吗（巩固题）-北师大版八年级上册
一．选择题
．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为点a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．a2＝c2﹣b2
C．a2＝3，b2＝4，c2＝5 D．a＝5，b＝12，c＝13
．若△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中能判定△ABC是直角三角形的有（　　）
①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
．在△ABC中，三边长a、b、c满足（a+c）（a﹣c）＝b2，则△ABC的形状是（　　）
A．以a为斜边长的直角三角形
B．以b为斜边长的直角三角形
C．以c为斜边长的直角三角形
D．不是直角三角形
．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a2＝（c﹣b）（c+b） B．a＝1，b＝2，c＝3
C．∠A＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．6，7，8 C．，， D．，2，
．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为（　　）
A．∠BAC＞∠DAC B．∠BAC＜∠DAC C．∠BAC＝∠DAC D．无法确定
．下列各组数据中，能构成直角三角形的三边的长的一组是（　　）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．5，12，13 D．13，14，15
．下列条件：①b2＝c2﹣a2；②∠C＝∠A﹣∠B；③a：b：c＝：：；④∠A：∠B：∠C＝3：4：5，能判定△ABC是直角三角形的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
．如图，在2×3的正方形网格中，∠AMB的度数是（　　）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
二．填空题
．有一个三角形的两边长是1和2，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长是 　 　．
．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AB的长为 　 　．
．如图，点A、B、C在正方形网格点上，则∠ABC+∠ACB＝　 　．
．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，则四边形ABCD的面积为 　 　．
．如果一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么其面积为 　 　．
三．解答题
．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝5，AD＝5．
（1）求AC的长度．
（2）求四边形ABCD的面积．
．如图，四边形ABCD中，已知AB＝BC＝2，AD＝4，CD＝2，∠B＝90°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE⊥CD于E，求AE之长．
．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求BC的长．
．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上．
（Ⅰ）直接写出线段AC、CD、AD的长；
（Ⅱ）求∠ACD的度数；
（Ⅲ）求四边形ABCD的面积．
．如图所示，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AD＝24，BD＝32，AB＝40，CD＝18．
（1）试说明AD⊥BC；
（2）求AC的长及△ABC的面积；
（3）判断△ABC是否是直角三角形，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：A．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2
∴以a，b，c为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵a2＝3，b2＝4，c2＝5，
∴a2+b2≠c2，
∴以a，b，c为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴以a，b，c为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
．【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝180°×＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，
③a2＝（b+c）（b﹣c），
整理得：a2+c2＝b2，
所以△ABC是直角三角形，
④a：b：c＝5：12：13，
所以a2+b2＝c2，
所以△ABC是直角三角形，
即能判断△ABC是直角三角形的有3个，
故选：C．
．【解答】解：∵△ABC的三边长a，b，c满足：（a+c）（a﹣c）＝b2，
∴a2﹣c2＝b2，即a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，且a为斜边．
故选：A．
．【解答】解：A．∵a2＝（c﹣b）（c+b），
∴a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵12+22＝1+4＝5，32＝9，
∴12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
．【解答】解：过C作CM⊥AB于M，CM交PN于W，
∵Q为PN的中点，
∴PQ＝NQ，
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴CQ＝PN，
∵MP⊥BC，MN⊥AC，
∴∠CPM＝∠CNP＝90°，
∴四边形CPMN是矩形，
∴PN＝CM，PW＝NW，CW＝MW，
∵PQ＝MQ，
∴Q和W重合，
∴CQ＝CM，
要使CQ值最小，只要CM最小就可以，
当CM⊥AB时，CM最小（垂线段最短），
∵S△ABC＝＝，
∴6×8＝10×CM，
∴CM＝，
∴CQ的最小值是＝，
故选：C．
．【解答】解：A．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵62+72＝36+49＝85，82＝64，
∴62+72≠82，
∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵（）2+（）2＝+＝，（）2＝，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵（）2+22＝3+4＝7，（）2＝5，
∴（）2+22≠（）2，
∴以，2，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
．【解答】解：连接CD，BC，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝4+16＝20，BC2＝12+32＝1+9＝10，AC2＝12+32＝1+9＝10，AD2＝12+22＝1+4＝5，CD2＝12+22＝1+4＝5，
所以BC＝AC，AD＝CD，AC2+BC2＝AB2，AD2+CD2＝AC2，
即△ACB和△ADC都是等腰直角三角形，
所以∠BAC＝∠DAC＝45°，
故选：C．
．【解答】解：A．∵12+22＝1+4＝5，32＝9，
∴12+22≠32，
∴以1，2，3为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，
∴42+52≠62，
∴以4，5，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴以5，12，13为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵132+142＝169+196＝365，152＝225，
∴132+142≠152，
∴以13，14，15为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
．【解答】解：∵b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故①能判断是直角三角形，
∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故②能判断是直角三角形，
∵a：b：c＝：：，
∴可以假设，a＝20k，b＝15k，c＝12k，
∴a2≠b2+c2，
∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断是直角三角形，
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝×180°＝（）°＞90°，故④不能判断是直角三角形
故选：C．
．【解答】解：连接AB，设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AM2＝12+22＝5，AB2＝12+22＝5，BM2＝12+32＝10，
∴AM＝AB，AM2+AB2＝BM2，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴∠AMB＝45°，
故选：C．
二．填空题
．【解答】解：要使这个三角形成为直角三角形，分两种情况：
①当斜边为2时，第三边边长为＝，
②当第三边为斜边时，第三边边长为＝．
故第三边边长是或．
故答案为：或．
．【解答】解：在△BDC中，BC＝2，DB＝1，CD＝，
12+（）2＝22，
∴△BDC是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴∠CDA＝90°，
在△ADC中，AC＝2，CD＝，
∴AD＝＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+1＝4．
故答案为：4．
．【解答】解：如图：延长BA到点D，连接CD，
由题意得：
AD2＝22+12＝5，
CD2＝22+12＝5，
AC2＝12+32＝10，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵∠DAC是△ABC的一个外角，
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°，
故答案为：45°．
．【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∵CD＝12，AD＝13，
∴AC2+CD2＝52+122＝169，AD2＝132＝169，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝AB BC+AC CD
＝×4×3+×5×12
＝36，
故答案为：36．
．【解答】解：∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形的面积＝×3×4＝6，
故答案为：6．
三．解答题
．【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∴AC的长为10；
（2）∵CD＝5，AD＝5，AC＝10，
∴CD2+AC2＝52+102＝125，AD2＝（5）2＝125，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ACB的面积
＝AC DC+AB CB
＝×10×5+×8×6
＝25+24
＝49，
∴四边形ABCD的面积为49．
．【解答】解：（1）连接AC，
∵AB＝BC＝2，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝＝＝2，
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC2+AD2＝（2）2+42＝24，CD2＝（2）2＝24，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△CDA是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝135°，
∴∠BAD的度数为135°；
（2）∵AE⊥CD，
∴△ACD的面积＝CD AE＝AC AD，
∴CD AE＝AC AD，
∴2AE＝2×4，
∴AE＝，
∴AE的长为．
．【解答】（1）证明：∵BD＝6，AD＝8，
∴BD2+AD2＝62+82＝100，
∵AB＝10，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形；
（2）解：根据（1）得，△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∵AD＝8，AC＝17，
∴CD＝15，
∵BD＝6，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21．
．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：
AC＝＝2，
CD＝＝，
AD＝＝5，
∴线段AC的长为2，线段CD的长为，线段AD的长为5；
（Ⅱ）由（1）得：
AC2＝（2）2＝20，
CD2＝（）2＝5，
AD2＝52＝25，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ACD的度数为90°；
（Ⅲ）如图：
由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝BC AE+AC CD
＝×4×4+×2×
＝8+5
＝13，
∴四边形ABCD的面积为13．
．【解答】解：（1）在△ABD中，AD＝24，BD＝32，AB＝40，
∵AD2+BD2＝242+322＝1600，AB2＝402＝1600，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝24，CD＝18，
∴AC＝＝＝30，
∵BD＝32，
∴BC＝DB+CD＝50，
∴△ABC的面积＝BC AD＝×50×24＝600，
∴AC的长为30，△ABC的面积为600；
（3）△ABC是直角三角形，
理由：∵AB2+AC2＝402+302＝2500，BC2＝502＝2500，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．