4.2 一次函数与正比例函数 同步训练（含解析）北师大版数学八年级上册

4.2 一次函数与正比例函数（全题型同步训练）
北师大新版八年级上册数学
考试范围：4.2 一次函数与正比例函数；考试时间：60分钟；命题人：中学考试与预测组
一．选择题（共9小题）
1．下列各数量关系中，成正比例关系的有（　　）
A．路程一定，时间和速度
B．圆的半径和它的面积
C．运送一批货物，运走的吨数和剩下的吨数
D．买同样的书，应付的钱数与所买的本数
2．已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．无法确定
3．已知函数y＝3x+1，当自变量增加3时，相应的函数值增加（　　）
A．10 B．9 C．3 D．8
4．下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x+2 C．y＝ D．y＝5（x﹣1）
5．下列语句：
①一次函数是正比例函数；
②正比例函数是一次函数；
③x+2y＝5是一次函数；
④2y﹣x＝0是正比例函数．
正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知y+2与x成正比例，则y是x的（　　）
A．一次函数 B．正比例函数 C．反比例函数 D．无法判断
7．汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距B地路程s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（　　）
A．S＝120﹣30t（0≤t≤4） B．S＝120﹣30t（t＞0）
C．S＝30t（0≤t≤40） D．S＝30t（t＜4）
8．下列函数关系式中，是一次函数但不是正比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
9．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：
弹簧总长L（cm） 16 17 18 19 20
重物重量x（kg） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（　　）
A．22.5 B．25 C．27.5 D．30
二．填空题（共6小题）
10．函数：①y＝﹣2x+3；②y＝4﹣3x；③y＝﹣④y＝+1；⑤y＝x2；⑥y＝0.5x中，属一次函数的有　 　．（只填序号）
11．当m＝　 　时，函数是一次函数．
12．当k＝　 　时，函数y＝（k+1）x+k2﹣1为正比例函数．
13．矩形的周长为50，宽是x，长是y，则y＝　 　．
14．一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式是　 　．
15．函数y＝（k+1）x+k2﹣1中，当k满足　 　时，它是一次函数．
三．解答题（共6小题）
16．将体积为314立方分米的钢锭拉成圆柱体的钢筋条．
（1）写出钢筋条的长L（分米）与横截面s（平方分米）的函数关系式；
（2）当钢筋调的横截面的直径是0.1分米时，可拉伸出多少米长的钢筋（结果保留π）．
17．写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系；
（2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）．
18．某市电力公司采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算费用，每月用电超过100度时，超过部分按每度0.60元计算．
（1）设每月用电x度时，应交电费y元，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）小王家一月份用了125度电，应交电费多少元？
（3）小王家三月份交纳电费45元6角，求小王家三月份用了多少度电？
19．学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）与出发时间t（分钟）之间的函数图象，其中EF一FM一MN为折线段．请结合图象回答下列问题：
（1）乙机器人行走的速度是 　 　米/分钟，甲机器人前3分钟行走的速度是 　 　米/分钟；
（2）在4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．
①图2中m的值为 　 　，n的值为 　 　；
②请写出在6＜t≤9时，甲、乙两机器人之间的距离S（米）与出发时间t（分钟）之间的函数关系式．
20．化工商店销售某种新型化工原料，其市场指导价是每千克160元（化工商店的售价还可以在市场指导价的基础上进行浮动），这种原料的进货价是市场指导价的75%．
（1）为了扩大销售量，化工商店决定适当调整价格，调整后的价格按八折销售，仍可获得实际售价的20%的利润．求化工商店调整价格后的标价是多少元？打折后的实际售价是多少元？
（2）化工商店为了解这种原料的月销售量y（千克）与实际售价x（元/千克）之间的关系，每个月调整一次实际售价，试销一段时间后，部门负责人把试销情况列成下表：
实际售价x（元/千克） … 150 160 168 180 …
月销售量y（千克） … 500 480 464 440 …
①请你在所给的平面直角坐标系中，以实际售价x（元/千克）为横坐标，月销售量y（千克）为纵坐标描出各点，观察这些点的发展趋势，猜想y与x之间可能存在怎样的函数关系；
②请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式，并验证你在①中的猜想；
③若化工商店某月按同一实际售价共卖出这种原料450千克，请你求出化工商店这个月销售这种原料的利润是多少元？
21．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
商场 优惠条件
甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场 每台优惠20%
（1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式．
（2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？
（3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
4.2 一次函数与正比例函数（全题型同步训练）北师大新版八年级上册数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．下列各数量关系中，成正比例关系的有（　　）
A．路程一定，时间和速度
B．圆的半径和它的面积
C．运送一批货物，运走的吨数和剩下的吨数
D．买同样的书，应付的钱数与所买的本数
【答案】D
【解答】解：A、路程一定，时间和速度成反比例，故本选项错误；
B、圆的半径和它的面积不成比例，故本选项错误；
C、运送一批货物，运走的吨数和剩下的吨数成一次函数关系，故本选项错误；
D、买同样的书，应付的钱数与买的本数成正比例，故本选项正确；
故选：D．
2．已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
所以|k|﹣2＝1，
解得：k＝±3，
因为k﹣3≠0，所以k≠3，
即k＝﹣3．
故选：C．
3．已知函数y＝3x+1，当自变量增加3时，相应的函数值增加（　　）
A．10 B．9 C．3 D．8
【答案】B
【解答】解：因为y＝3x+1，所以当自变量增加3时，y1＝3（x+3）+1＝3x+1+9，相应的函数值增加9．
故选：B．
4．下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x+2 C．y＝ D．y＝5（x﹣1）
【答案】A
【解答】解：A、y是x的正比例函数，故此选项正确；
B、是一次函数，故此选项错误；
C、是反比例函数，故此选项错误；
D、是一次函数，故此选项错误；
故选：A．
5．下列语句：
①一次函数是正比例函数；
②正比例函数是一次函数；
③x+2y＝5是一次函数；
④2y﹣x＝0是正比例函数．
正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①一次函数不一定是正比例函数，错误；
②正比例函数一定是一次函数，正确；
③x+2y＝5即y＝﹣x+，是一次函数，正确；
④2y﹣x＝0即y＝x，是正比例函数，正确；
所以正确的有3个，
故选：C．
6．已知y+2与x成正比例，则y是x的（　　）
A．一次函数 B．正比例函数 C．反比例函数 D．无法判断
【答案】A
【解答】解：y+2与x成正比例，
则y+2＝kx，
即y＝kx﹣2，
符合一次函数y＝kx+b的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，
则y是x的一次函数．
故选：A．
7．汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距B地路程s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（　　）
A．S＝120﹣30t（0≤t≤4） B．S＝120﹣30t（t＞0）
C．S＝30t（0≤t≤40） D．S＝30t（t＜4）
【答案】A
【解答】解：平均速度是30km/h，
∴t小时行驶30tkm，
∴S＝120﹣30t，
∵时间为非负数，汽车距B地路程为非负数，
∴t≥0，120﹣30t≥0，
解得0≤t≤4．
故选：A．
8．下列函数关系式中，是一次函数但不是正比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】C
【解答】解：A、是正比例函数也是一次函数，故选项错误；
B、y＝＝，是一次函数，也是正比例函数，故选项错误；
C、是一次函数但不是正比例函数，故选项正确，
D、既不是一次函数，也不是正比例函数，故选项错误．
故选：C．
9．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：
弹簧总长L（cm） 16 17 18 19 20
重物重量x（kg） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（　　）
A．22.5 B．25 C．27.5 D．30
【答案】B
【解答】解：设弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系式为L＝kx+b，
将（0.5，16）、（1.0，17）代入，得：，
解得：，
∴L与x之间的函数关系式为：L＝2x+15；
当x＝5时，L＝2×5+15＝25（cm）
故重物为5kg时弹簧总长L是25cm，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
10．函数：①y＝﹣2x+3；②y＝4﹣3x；③y＝﹣④y＝+1；⑤y＝x2；⑥y＝0.5x中，属一次函数的有　①②⑥　．（只填序号）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①y＝﹣2x+3，是一次函数；
②y＝4﹣3x，是一次函数；
③y＝﹣，自变量次数不为1，故不是一次函数；
④y＝+1，自变量次数不为1，故不是一次函数；
⑤y＝x2，自变量次数不为1，故不是一次函数；
⑥y＝0.5x，是一次函数．
属一次函数的有①②⑥．
故答案为：①②⑥．
11．当m＝　﹣2　时，函数是一次函数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
则m2﹣3＝1，
解得m＝±2，
∵m﹣2≠0即m≠2，
∴m＝﹣2．
12．当k＝　1　时，函数y＝（k+1）x+k2﹣1为正比例函数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由正比例函数的定义可得：k+1≠0，k2﹣1＝0，
∴k＝1．
即当x＝1时函数y＝（k+1）x+k2﹣1为正比例函数．
13．矩形的周长为50，宽是x，长是y，则y＝　﹣x+25　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵矩形的周长为50，
∴2x+2y＝50，整理得：y＝﹣x+25．
14．一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式是　y＝12+3x　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，
∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长3xcm，
∴弹簧总长y＝12+3x．
故答案为：y＝12+3x．
15．函数y＝（k+1）x+k2﹣1中，当k满足　k≠﹣1　时，它是一次函数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：函数y＝（k+1）x+k2﹣1中，当k满足k≠﹣1时，它是一次函数．
故答案为：k≠﹣1
三．解答题（共6小题）
16．将体积为314立方分米的钢锭拉成圆柱体的钢筋条．
（1）写出钢筋条的长L（分米）与横截面s（平方分米）的函数关系式；
（2）当钢筋调的横截面的直径是0.1分米时，可拉伸出多少米长的钢筋（结果保留π）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵V＝SL
∴，
答：钢筋条的长L（分米）与横截面s（平方分米）的函数关系式为；
（2）∵S＝0.1π，
∴，分米＝米，
答：可拉伸出米长的钢筋．
17．写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系；
（2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系为：y＝60x，是x的一次函数，是正比例函数；
（2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x（厘米）之间的关系为：y＝πx2，不是x的一次函数，不是正比例函数；
（3）x月后这棵树的高度为y（厘米）之间的关系为：y＝50+2x，是x的一次函数，不是正比例函数．
18．某市电力公司采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算费用，每月用电超过100度时，超过部分按每度0.60元计算．
（1）设每月用电x度时，应交电费y元，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）小王家一月份用了125度电，应交电费多少元？
（3）小王家三月份交纳电费45元6角，求小王家三月份用了多少度电？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得，当0≤x≤100时，y＝0.57x；
当x＞100时，y＝100×0.57+（x﹣100）×0.6＝0.6x﹣3；
则y关于x的函数关系式y＝；
（2）由x＝125代入y＝0.6x﹣3，可得y＝72元．
答：小王家一月份用了125度电，应交电费72元；
（3）设小王家三月份用了x度电，由题意得
0.57x＝45.6，解得x＝80．
答：小王家三月份用了80度电．
19．学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）与出发时间t（分钟）之间的函数图象，其中EF一FM一MN为折线段．请结合图象回答下列问题：
（1）乙机器人行走的速度是 　50　米/分钟，甲机器人前3分钟行走的速度是 　80　米/分钟；
（2）在4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．
①图2中m的值为 　120　，n的值为 　7.5　；
②请写出在6＜t≤9时，甲、乙两机器人之间的距离S（米）与出发时间t（分钟）之间的函数关系式．
【答案】（1）50，80；
（2）①120，7.5；
②S＝．
【解答】解：（1）乙机器人9分钟行走了450米，
∴乙机器人行走的速度是50米/分钟，
甲机器人前3分钟行走的路程是90+50×3＝240（米），
∴甲机器人前3分钟行走的速度是80米/分钟，
故答案为：50，80；
（2）①甲机器人出发点A与终点距离是90+450＝540（米），
甲前4分钟行走距离是80×4＝320（米），
∵在4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，
∴这两分钟甲行走距离是2×50＝100（米），
∴m＝540﹣（320﹣100）＝120，
n＝6+120÷80＝7.5，
故答案为：120，7.5；
②当6＜t＜7.5时，S＝[150﹣50（t﹣6）]﹣[120﹣80（t﹣6）]＝30t﹣150，
当7.5≤t≤9时，S＝（450﹣50×7.5）﹣50（t﹣7.5）＝450﹣50t，
∴S＝．
20．化工商店销售某种新型化工原料，其市场指导价是每千克160元（化工商店的售价还可以在市场指导价的基础上进行浮动），这种原料的进货价是市场指导价的75%．
（1）为了扩大销售量，化工商店决定适当调整价格，调整后的价格按八折销售，仍可获得实际售价的20%的利润．求化工商店调整价格后的标价是多少元？打折后的实际售价是多少元？
（2）化工商店为了解这种原料的月销售量y（千克）与实际售价x（元/千克）之间的关系，每个月调整一次实际售价，试销一段时间后，部门负责人把试销情况列成下表：
实际售价x（元/千克） … 150 160 168 180 …
月销售量y（千克） … 500 480 464 440 …
①请你在所给的平面直角坐标系中，以实际售价x（元/千克）为横坐标，月销售量y（千克）为纵坐标描出各点，观察这些点的发展趋势，猜想y与x之间可能存在怎样的函数关系；
②请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式，并验证你在①中的猜想；
③若化工商店某月按同一实际售价共卖出这种原料450千克，请你求出化工商店这个月销售这种原料的利润是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）依题意，每千克原料的进货价为160×75%＝120（元）（2分）
设化工商店调整价格后的标价为x元，
则0.8x﹣120＝0.8x×20%解得x＝187.5
187.5×0.8＝150（元）（4分）
∴调整价格后的标价是187.5元，打折后的实际售价是150元．（5分）
（2）①描点画图，观察图象，可知这些点的发展趋势近似是一条直线，
所以猜想y与x之间存在着一次函数关系．
（7分）
②根据①中的猜想，设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
将点（150，500）和（160，480）代入表达式，得解得
∴y与x的函数表达式为y＝﹣2x+800（9分）
将点（168，464）和（180，440）代入y＝﹣2x+800均成立，即这些点都符合y＝﹣2x+800的发展趋势．
∴①中猜想y与x之间存在着一次函数关系是正确的．（10分）
③设化工商店这个月销售这种原料的利润为w元，当y＝450时，x＝175
∴w＝（175﹣120）×450＝24750（元）
答：化工商店这个月销售这种原料的利润为24750元．（12分）
21．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
商场 优惠条件
甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场 每台优惠20%
（1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式．
（2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？
（3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y1＝6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）；
y2＝（1﹣20%）×6000x；
（2）设学校购买x台电脑，
则若两家商场收费相同，则：
6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＝（1﹣20%）×6000x，
解得：x＝5，
即当购买5台时，两家商场的收费相同；
若到甲商场购买更优惠，则：
6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＜（1﹣20%）×6000x，
解得：x＞5，
即当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠；
若到乙商场购买更优惠，则：
6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＞（1﹣20%）×6000x，
解得：x＜5，
即当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠；
（3）w＝50a+（10﹣a）60＝600﹣10a，
当a取最大时，费用最小，
∵甲商场只有4台，
∴a取4，W＝600﹣40＝560，
即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元．