1.5 平方差公式 同步专训（含解析）北师大版七年级数学下册

1.5 平方差公式（同步专训）
北师大新版七年级下册数学
一．选择题（共7小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．（3xy）2÷（xy）＝3xy B．（﹣x4）3＝﹣x12
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（4x﹣1）（﹣4x+1）＝16x2﹣1
2．下列运算正确的是（　　）
A．4a3÷2a＝2a3 B．（3a2）2＝6a4
C．（﹣3a+2）（3a﹣2）＝9a2﹣4 D．ab+ba＝2ab
3．关于以如图形面积从左到右的变化过程，能正确表示其中变化规律的等式是（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
4．下列运算正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．a2 a3＝a6
C．（a2）3＝a5 D．（1﹣2a）（﹣1﹣2a）＝4a2﹣1
5．下列各式中正确的是（　　）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．
C．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1 D．（m+n）（﹣m+n）＝m2﹣n2
6．下列各式的变形中，正确的是（　　）
A．a a2＝a2 B．a2+a4＝a8
C．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2 D．（ab）3＝ab3
7．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，由此可得：若
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝﹣2，则x2023的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．22023
二．填空题（共7小题）
8．（x+2）（x﹣2）＝　 　．
9．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的恒等式是：　 　．
10．如果a+b＝2012，a﹣b＝1，那么a2﹣b2＝　 　．
11．计算：（3﹣2t）（﹣3﹣2t）＝　 　．
12．计算：20122﹣2013×2011＝　 　．
13．（﹣7y+x）（　 　）＝49y2﹣x2．
14．大于1000的某数，若加上79成为一个整数的平方；若加上204，又得到另一个整数的平方，则原来这个数为　 　．
三．解答题（共4小题）
15．计算．
（1）（7y+3x+z2）﹣（5y+3x﹣z2）
（2）（﹣a+b）（﹣a﹣b）﹣（3a﹣2b）（3a+2b）
16．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　 　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　 　，长是　 　，面积是　 　（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　（用式子表达）．
17．请先观察下列算式，再填空解答问题：
①32﹣12＝8×1；
②52﹣32＝8×2；
③72﹣52＝8×　 　；
④92﹣72＝　 　×4；
⑤（　 　）2﹣92＝8×5；
⑥132﹣（　 　）2＝8×6．
…
（1）通过观察归纳，猜想第n个式子，把它写出来；
（2）请运用所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性．
18．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
1.5 平方差公式（同步专训）北师大新版七年级下册数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．（3xy）2÷（xy）＝3xy B．（﹣x4）3＝﹣x12
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（4x﹣1）（﹣4x+1）＝16x2﹣1
【答案】B
【解答】解：A、（3xy）2÷（xy）＝9（xy）2÷（xy）＝9xy，故此选项错误；
B、（﹣x4）3＝﹣x12故此选项正确；
C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
D、（4x﹣1）（﹣4x+1）＝﹣16x2+4x+4x﹣1＝16x2+8x﹣1，故此选项错误．
故选：B．
2．下列运算正确的是（　　）
A．4a3÷2a＝2a3 B．（3a2）2＝6a4
C．（﹣3a+2）（3a﹣2）＝9a2﹣4 D．ab+ba＝2ab
【答案】D
【解答】解：A、由于4a3÷2a＝2a2，故本选项错误；
B、由于（3a2）2＝9a4，故本选项错误；
C、由于（﹣3a+2）（3a﹣2）＝﹣（3a﹣2）2，故本选项错误；
D、由于ab和ba是同类项，则ab+ba＝2ab，故本选项正确．
故选：D．
3．关于以如图形面积从左到右的变化过程，能正确表示其中变化规律的等式是（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】B
【解答】解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
4．下列运算正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．a2 a3＝a6
C．（a2）3＝a5 D．（1﹣2a）（﹣1﹣2a）＝4a2﹣1
【答案】D
【解答】解：A.2a+3a＝5a，故不符合题意；
B．a2 a3＝a2+3＝a5，故不符合题意；
C．（a2）3＝a6，故不符合题意；
D．（1﹣2a）（﹣1﹣2a）＝﹣（1﹣2a）（1+2a）＝﹣（1﹣4a2）＝4a2﹣1，故符合题意；
故选：D．
5．下列各式中正确的是（　　）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．
C．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1 D．（m+n）（﹣m+n）＝m2﹣n2
【答案】B
【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
B、＝，正确；
C、（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1，故此选项错误；
D、（m+n）（﹣m+n）＝n2﹣m2，故此选项错误；
故选：B．
6．下列各式的变形中，正确的是（　　）
A．a a2＝a2 B．a2+a4＝a8
C．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2 D．（ab）3＝ab3
【答案】C
【解答】解：A．a a2＝a3，因此选项A不符合题意；
B．a2与a4不是同类项，不能合并，因此选项B不符合题意；
C．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝[（﹣x）+y] [（﹣x）﹣y]＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，因此选项C符合题意；
D．（ab）3＝a3b3，因此选项D不符合题意；
故选：C．
7．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，由此可得：若
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝﹣2，则x2023的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．22023
【答案】C
【解答】解：根据题意得：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1＝﹣2，即x5＝﹣1，
解得：x＝﹣1，
则原式＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
8．（x+2）（x﹣2）＝　x2﹣4　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝x2﹣4．
故答案为x2﹣4．
9．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的恒等式是：　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　．
【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：∵甲图中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，
∴．
∵乙图中的阴影部分面积是长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形的面积，
∴S乙阴影＝（a+b）（a﹣b）．
∵S甲阴影＝S乙阴影，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
10．如果a+b＝2012，a﹣b＝1，那么a2﹣b2＝　2012　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∵a+b＝2012，a﹣b＝1，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2012×1＝2012．
故答案为2012．
11．计算：（3﹣2t）（﹣3﹣2t）＝　4t2﹣9　．
【答案】4t2﹣9．
【解答】解：原式＝（﹣2t+3）（﹣2t﹣3）
＝（﹣2t）2﹣32
＝4t2﹣9，
故答案为：4t2﹣9．
12．计算：20122﹣2013×2011＝　1　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝20122﹣（2012+1）×（2012﹣1）＝20122﹣（20122﹣1）＝20122﹣20122+1＝1．
故答案为：1
13．（﹣7y+x）（　﹣7y﹣x　）＝49y2﹣x2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵49y2﹣x2＝（﹣7y）2﹣x2，
∴（﹣7y+x）（﹣7y﹣x）＝49y2﹣x2．
故答案为：﹣7y﹣x．
14．大于1000的某数，若加上79成为一个整数的平方；若加上204，又得到另一个整数的平方，则原来这个数为　3765　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵204﹣79＝125，
若两整数分别为a，a+1，则（a+1）2﹣a2＝125，2a+1＝125，a＝62，
若两整数分别为a，a+2，则（a+2）2﹣a2＝125，4a+4＝125，a不是整数，舍去，
若两整数分别为a，a+3，则（a+3）2﹣a2＝125，6a+9＝125，a＝19，a2＜1000，
对于a，a+n（n＞3），得到的a更小，更不符合大于1000，
∴a＝62，a2＝3844，
3844﹣79＝3765．
这个数是3765．
故答案为：3765．
三．解答题（共4小题）
15．计算．
（1）（7y+3x+z2）﹣（5y+3x﹣z2）
（2）（﹣a+b）（﹣a﹣b）﹣（3a﹣2b）（3a+2b）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（7y+3x+z2）﹣（5y+3x﹣z2）
＝7y+3x+z2﹣5y﹣3x+z2
＝2y+2z2
（2）（﹣a+b）（﹣a﹣b）﹣（3a﹣2b）（3a+2b）
＝a2﹣b2﹣9a2+4b2
＝﹣8a2+b2．
16．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　a﹣b　，长是　a+b　，面积是　（a﹣b）（a+b）　（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　（用式子表达）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2；
（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积＝长×宽＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
17．请先观察下列算式，再填空解答问题：
①32﹣12＝8×1；
②52﹣32＝8×2；
③72﹣52＝8×　3　；
④92﹣72＝　8　×4；
⑤（　11　）2﹣92＝8×5；
⑥132﹣（　11　）2＝8×6．
…
（1）通过观察归纳，猜想第n个式子，把它写出来；
（2）请运用所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：请先观察下列算式，再填空解答问题：
①32﹣12＝8×1；
②52﹣32＝8×2；
③72﹣52＝8×3；
④92﹣72＝8×4；
⑤（11）2﹣92＝8×5；
⑥132﹣（11）2＝8×6．
…
故答案为：3，8，11，11；
（1）通过观察归纳，猜想第n个式子为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（2）证明：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝4n 2＝8n，得证．
18．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴S1＝a2﹣b2．
S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）根据题意得：
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．