青岛版数学八年级上册 5.6.4角平分线的相关证明课件 15张PPT

(共15张PPT)
第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例
第4课时 角平分线的相关证明
温故知新
我们曾利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出角平分线的性质：
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
你能用推理的方法证明它的真实性吗？
已知：如图，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M和N.
求证：PM=PN.
探究发现
A
B
C
D
N
M
P
证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD.
又∵PM⊥AB，PN⊥BC，M，N分别是垂足，
∴∠PMB=∠PNB=90°.
∵在△PMB和△PNB中，BP是公共边，
∴△PMB≌△PNB.
∴PM=PN.
证明可以有不同的表述形式，如“因为，所以”或“∵，∴”.
探究发现
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
通过证明，我们得到
你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
它的逆命题正确吗？如果你认为正确，能加以证明吗？
探究发现
A
C
D
N
M
P
B
证明：连接MN得到等腰三角形PMN.
∴∠PMN=∠PNM.
∵∠BMN+∠PMN=90°，
∠BNM+∠PNM=90°，
∴∠BMN=∠BNM.
∴△BMN也是等腰三角形.
∴BM=BN.
已知：点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M，N，且PM=PN.
求证：点P在∠ABC的平分线上.
探究发现
过点B，P作射线BD，
∵BP是公共边，
∴△PBM≌△PBN.
∴∠ABD=∠CBD.
∴点P在∠ABC的平分线上.
证明：
通过证明，我们得到角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M，N，且PM=PN.
求证：点P在∠ABC的平分线上.
A
C
D
N
M
P
B
典例训练
已知：如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，AP，CP相交于点P，过点P作PD⊥BM，垂足为点D，作PF⊥BN，垂足为点F，连接BP.
求证：BP是∠ABC的平分线.
证明：如图所示，过点P作PE⊥AC，垂足为点E.
∵AP，CP分别平分∠MAC，∠NCA，
且PD⊥BM，PF⊥BN，
∴PD=PE，PF=PE.
∴PD=PF.
B
A
C
D
E
F
M
N
P
典例训练
已知：如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，AP，CP相交于点P，过点P作PD⊥BM，垂足为点D，作PF⊥BN，垂足为点F，连接BP.
求证：BP是∠ABC的平分线.
又∵PD⊥BM，PF⊥BN，
∴点P在∠ABC的平分线上.
∴BP是∠ABC的平分线.
B
A
C
D
E
F
M
N
P
证明：
方法总结
证明一条射线是一个角的平分线时，一般过这条射线上的一点作角两边的垂线，证明这两条垂线段相等.
探究发现
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线.
求证：AM，BN，CP交于一点.
要证明三角形的三条角平分线交于一点，
只要证明两条角平分线的交点也在第三条
角平分线上就可以了.
A
B
C
M
N
P
分析：
探究发现
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线.
求证：AM，BN，CP交于一点.
证明：如图，设AM，BN交于点O.过点O分别作OD⊥BC，
OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F.
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点，∴OE=OF.
同理，OD=OF.∴OD=OE.
∵CP是∠ACB的平分线，∴O在CP上.
因此，AM，BN，CP交于一点.
A
B
C
D
E
F
M
N
P
三角形三条角平分线交于一点.
O
当堂检测
1.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂足，D是BE与CF的交点， AD平分∠BAC.
求证： BD=CD.
证明：
∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，CF⊥AB（已知），
∴DF=DE（角平分线上的点到这个角度两边的距离相等）.
又∵∠DFB=∠DEC=90°（垂直的定义），
∠FDB=∠DEC（对顶角相等），
∴△DFB≌△DEC（ASA），
∴BD=CD（全等三角形的对应边相等）.
A
B
C
D
E
F
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC.
AD是∠A的平分线.
求证： AB=AC+CD.
当堂检测
A
B
C
D
证明：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E.
∵AD平分∠CAB，∴CD=DE，∠CAD=∠EAD.
∵AC=BC，∴∠CAB=∠B.
∵∠CAB+∠B=90°，∴∠B=45°.
∵∠EDB+∠B=90°，∴∠EDB=∠B=45°，∴DE=BE，CD=BE.
E
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC.
AD是∠A的平分线.
求证： AB=AC+CD.
当堂检测
A
B
C
D
E
∵∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，
∴△ACD≌△AED.∴AC=AE.
∵AB=AE+BE，∴AB=AC+CD.
证明：
课堂总结
性质定理 性质定理的逆定理
内容 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用 证明两条线段相等 证明某条线段是某角的平分线
角平分线的性质定理及其逆定理