第二十八章锐角三角函数练习题 人教版九年级数学下册（含解析）
文档属性
| 名称 | 第二十八章锐角三角函数练习题 人教版九年级数学下册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 705.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-03 16:38:02 | ||
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文档简介
锐角三角函数练习题
要点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
同理；；．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成
“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．
要点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 1
60°
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
要点三、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
一、练习题
1).选择题
1. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
2．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
3．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tan B－)·(2sin A－)＝0，则△ABC一定是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形
4．★如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是( )
A．2 B．4 C．5 D．10
5．★如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向上，则A，C两港之间的距离为（ ） ( )
A．(30＋30) km B．(30＋10) km C．(10＋30) km D．30 km
6．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝3，AC＝4，则sin∠ABD的值是( ) ( )
A． B． C． D．
7．某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是( ) ( )
A． B． C． D．
8．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为( ) ( )
A． B．2 C． D．
9．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于( ) ( )
A． B． C． D．
10．如图，AB是半圆的直径，弦AD，BC相交于P，已知∠DPB＝60°，D是的中点，则tan∠ADC等于( )
A． B．2 C． D．
2).填空题
如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为，看楼下荷塘D处的俯角为，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为______ 米结果保留根号．
2．sin30°的值为_____．
3．如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，则建筑物BC的高约为 m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53≈1.33）
4．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）
3).计算题
1.计算：×﹣tan45°＝ ．
2.计算：sin60°．
3．计算：﹣2cos45°；
4．计算：+（4﹣π）0+（﹣1）﹣1﹣6sin30°．
5．计算：0．
6．计算：|1﹣|+（）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝ ．
4).简答题
1．鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．
2．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α要满足60°≤α≤75°，现有一架长5.5m的梯子．
（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？
（2）当梯子底端距离墙面2.2m时，α等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．
4．随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C在同一平面内）．
（1）求仰角α的正弦值；
（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．
（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
5．如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外．在点A处测得点E的俯角∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠FAM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（≈1.73）
6.开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为，头底部C的仰角为，求佛像BD的高度结果精确到参考数据：，，．
7．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
8．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．
答案、
1).选择题
1.【答案】D
【解析】
【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【详解】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比．
2.【分析】在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝6（米），在Rt△DEC中，DC＝cosβ×AB＝6（米），用勾股定理可求EC＝8（米），最后AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米），即得答案．
【解答】解：如图所示，
在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；
在Rt△DEC中，DC＝cosβ×AB＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；
∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．
故选：C．
3.B 4.B 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D 10.C
2).填空题
1.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
故答案为：
在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提．
2．
【详解】
试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=．
3.【分析】根据正切的定义列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
则BC＝CD，
设BC＝CD＝x，则AC＝x+8，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝，
则x+8＝x tan53°，
∴x+8＝1.33x，
∴x≈24.7（m），
故建筑物BC的高约为24.2m，
故答案为：24.2．
4.【分析】通过作垂线构造直角三角形，在在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题．
【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE＝60°，AB＝16，
∴BM＝sin60° AB＝×16＝8（cm），
∠ABM＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
又∵BC＝8，
∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），
∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），
即点C到AE的距离约为6.3cm，
故答案为：6.3．
3).计算题
1.【分析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：×﹣tan45°＝﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记法则是解题的关键．
2．【解答】原式
．
3.【解答】解：（1）原式＝2+1﹣1﹣2×
＝2+1﹣1﹣
＝；
4.【分析】直接利用算术平方根以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+1﹣1﹣6×
＝4+1﹣1﹣3
＝1．
5.【分析】根据乘法的定义、零指数幂、负整数指数幂以及sin60°＝，然后进行乘法运算和去绝对值运算，再合并即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣8×
＝﹣1﹣
＝4．
6.【分析】根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+2+2×+1
＝﹣1+2++1
＝2+2．
4).简答题
1.【分析】根据∠CAB＝30°，AB＝4km，可以求得BE的长和∠ABE的度数，进而求得∠EBD的度数，然后利用勾股定理即可求得BD的长．
【解答】解：作BE⊥AD于点E，
∵∠CAB＝30°，AB＝4km，
∴∠ABE＝60°，BE＝2km，
∵∠ABD＝105°，
∴∠EBD＝45°，
∴∠EDB＝45°，
∴BE＝DE＝2km，
∴BD＝＝2km，
即BD的长是2km．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．【解答】（1）由题意得，当α＝75°时，这架梯子可以安全攀上最高的墙，
在Rt△ABC中，sinα，
∴AC＝AB sinα≈5.5×0.97≈5.3，
答：使用这架梯子最高可以安全攀上约5.3m的墙；
（2）在Rt△ABC中，cosα0.4，
则α≈66.4°，
∵60°≤66.4°≤75°，
∴此时人能够安全使用这架梯子．
3.【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由cosB＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝2，
∴CD＝AD cos∠ADC＝2×＝，
∴AC＝＝＝，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．
4.【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正切的定义求解；
（2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD+CD即可．
【解答】解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，
∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，
∴AF＝AD﹣DF＝41.6﹣1.6＝40（m），
在Rt△AEF中，sin∠AEF＝＝＝，
即sinα＝．
答：仰角α的正弦值为；
（2）在Rt△AEF中，EF＝＝＝30（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6，
∵tan∠ACD＝，
∴CD＝＝≈21.22（m），
∴BC＝BD+CD＝30+21.22≈51（m）．
答：B，C两点之间的距离约为51m．
5.【分析】利用锐角三角函数关系表示出ME、MF，根据EF＝MF﹣ME＝40m可得AM＝54.6m，求出DF，根据每层楼的高度为3m即可得出答案．
【解答】解：根据题意可知：
四边形ABDM是矩形，
∴AB＝MD＝120m，
在Rt△AME中，ME＝AMtan45°＝AM，
在Rt△AMF中，MF＝AMtan60°＝AM，
∵EF＝MF﹣ME＝40m，
∴AM﹣AM＝40，
∴AM≈54.6（m），
∴MF≈54.6×1.73≈94.46（m），
∴DF＝120﹣94.46＝25.54（m），
25.54÷3≈8.5，
∴至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
6.【答案】解：根据题意可知：，
，
在中，，，
，
，
解得，
答：佛像的高度约为 m．
【解析】根据，列出方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
7.【分析】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案；
（2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角．
【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，
设PC＝x，则BC＝x，
在Rt△PAC中，
∵tan30°＝＝＝，
∴x＝10+10，
∴PA＝2x＝20+20，
答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；
（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，
有sin∠PBE＝＝＝，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°
即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．
8.【分析】（1）①由矩形的性质和同角的余角相等证明△CDG与△GAH的两组对应角相等，从而证明△CDG∽△GAH；
②由翻折得∠AGB＝∠DAC＝∠DCG，而tan∠DAC＝，可求出DG的长，进而求出GA的长，由tan∠GHC即∠GHC的对边与邻边的比恰好等于相似三角形△CDG与△GAH的一组对应边的比，由此可求出tan∠GHC的值；
（2）△GCF与△AEF都是直角三角形，由tan∠DAC＝可分别求出CG、AG、AE、EF、AF、CF的长，再由直角边的比不相等判断△GCF与△AEF不全等．
【解答】（1）如图1，
①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠GAH＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠AGH+∠DGC＝90°，
∴∠DCG＝∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF＝∠EAF，
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，
∵CD＝AB＝2，AD＝4，
∴＝tan∠DAC＝＝，
∴DG＝CD＝×2＝1，
∴GA＝4﹣1＝3，
∵△CDG∽△GAH，
∴，
∴tan∠GHC＝＝．
（2）不全等，理由如下：
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝＝，
∵∠GCF＝90°，
∴＝tan∠DAC＝，
∴CG＝AC＝×2＝，
∴AG＝＝5，
∴EA＝AG＝，
∴EF＝EA tan∠DAC＝＝，
∴AF＝＝，
∴CF＝2＝，
∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF与△AEF不全等．
要点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
同理；；．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成
“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．
要点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 1
60°
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
要点三、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
一、练习题
1).选择题
1. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
2．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
3．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tan B－)·(2sin A－)＝0，则△ABC一定是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形
4．★如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是( )
A．2 B．4 C．5 D．10
5．★如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向上，则A，C两港之间的距离为（ ） ( )
A．(30＋30) km B．(30＋10) km C．(10＋30) km D．30 km
6．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝3，AC＝4，则sin∠ABD的值是( ) ( )
A． B． C． D．
7．某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是( ) ( )
A． B． C． D．
8．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为( ) ( )
A． B．2 C． D．
9．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于( ) ( )
A． B． C． D．
10．如图，AB是半圆的直径，弦AD，BC相交于P，已知∠DPB＝60°，D是的中点，则tan∠ADC等于( )
A． B．2 C． D．
2).填空题
如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为，看楼下荷塘D处的俯角为，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为______ 米结果保留根号．
2．sin30°的值为_____．
3．如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，则建筑物BC的高约为 m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53≈1.33）
4．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）
3).计算题
1.计算：×﹣tan45°＝ ．
2.计算：sin60°．
3．计算：﹣2cos45°；
4．计算：+（4﹣π）0+（﹣1）﹣1﹣6sin30°．
5．计算：0．
6．计算：|1﹣|+（）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝ ．
4).简答题
1．鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．
2．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α要满足60°≤α≤75°，现有一架长5.5m的梯子．
（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？
（2）当梯子底端距离墙面2.2m时，α等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．
4．随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C在同一平面内）．
（1）求仰角α的正弦值；
（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．
（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
5．如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外．在点A处测得点E的俯角∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠FAM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（≈1.73）
6.开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为，头底部C的仰角为，求佛像BD的高度结果精确到参考数据：，，．
7．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
8．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．
答案、
1).选择题
1.【答案】D
【解析】
【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【详解】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比．
2.【分析】在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝6（米），在Rt△DEC中，DC＝cosβ×AB＝6（米），用勾股定理可求EC＝8（米），最后AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米），即得答案．
【解答】解：如图所示，
在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；
在Rt△DEC中，DC＝cosβ×AB＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；
∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．
故选：C．
3.B 4.B 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D 10.C
2).填空题
1.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
故答案为：
在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提．
2．
【详解】
试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=．
3.【分析】根据正切的定义列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
则BC＝CD，
设BC＝CD＝x，则AC＝x+8，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝，
则x+8＝x tan53°，
∴x+8＝1.33x，
∴x≈24.7（m），
故建筑物BC的高约为24.2m，
故答案为：24.2．
4.【分析】通过作垂线构造直角三角形，在在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题．
【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE＝60°，AB＝16，
∴BM＝sin60° AB＝×16＝8（cm），
∠ABM＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
又∵BC＝8，
∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），
∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），
即点C到AE的距离约为6.3cm，
故答案为：6.3．
3).计算题
1.【分析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：×﹣tan45°＝﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记法则是解题的关键．
2．【解答】原式
．
3.【解答】解：（1）原式＝2+1﹣1﹣2×
＝2+1﹣1﹣
＝；
4.【分析】直接利用算术平方根以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+1﹣1﹣6×
＝4+1﹣1﹣3
＝1．
5.【分析】根据乘法的定义、零指数幂、负整数指数幂以及sin60°＝，然后进行乘法运算和去绝对值运算，再合并即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣8×
＝﹣1﹣
＝4．
6.【分析】根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+2+2×+1
＝﹣1+2++1
＝2+2．
4).简答题
1.【分析】根据∠CAB＝30°，AB＝4km，可以求得BE的长和∠ABE的度数，进而求得∠EBD的度数，然后利用勾股定理即可求得BD的长．
【解答】解：作BE⊥AD于点E，
∵∠CAB＝30°，AB＝4km，
∴∠ABE＝60°，BE＝2km，
∵∠ABD＝105°，
∴∠EBD＝45°，
∴∠EDB＝45°，
∴BE＝DE＝2km，
∴BD＝＝2km，
即BD的长是2km．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．【解答】（1）由题意得，当α＝75°时，这架梯子可以安全攀上最高的墙，
在Rt△ABC中，sinα，
∴AC＝AB sinα≈5.5×0.97≈5.3，
答：使用这架梯子最高可以安全攀上约5.3m的墙；
（2）在Rt△ABC中，cosα0.4，
则α≈66.4°，
∵60°≤66.4°≤75°，
∴此时人能够安全使用这架梯子．
3.【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由cosB＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝2，
∴CD＝AD cos∠ADC＝2×＝，
∴AC＝＝＝，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．
4.【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正切的定义求解；
（2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD+CD即可．
【解答】解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，
∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，
∴AF＝AD﹣DF＝41.6﹣1.6＝40（m），
在Rt△AEF中，sin∠AEF＝＝＝，
即sinα＝．
答：仰角α的正弦值为；
（2）在Rt△AEF中，EF＝＝＝30（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6，
∵tan∠ACD＝，
∴CD＝＝≈21.22（m），
∴BC＝BD+CD＝30+21.22≈51（m）．
答：B，C两点之间的距离约为51m．
5.【分析】利用锐角三角函数关系表示出ME、MF，根据EF＝MF﹣ME＝40m可得AM＝54.6m，求出DF，根据每层楼的高度为3m即可得出答案．
【解答】解：根据题意可知：
四边形ABDM是矩形，
∴AB＝MD＝120m，
在Rt△AME中，ME＝AMtan45°＝AM，
在Rt△AMF中，MF＝AMtan60°＝AM，
∵EF＝MF﹣ME＝40m，
∴AM﹣AM＝40，
∴AM≈54.6（m），
∴MF≈54.6×1.73≈94.46（m），
∴DF＝120﹣94.46＝25.54（m），
25.54÷3≈8.5，
∴至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
6.【答案】解：根据题意可知：，
，
在中，，，
，
，
解得，
答：佛像的高度约为 m．
【解析】根据，列出方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
7.【分析】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案；
（2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角．
【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，
设PC＝x，则BC＝x，
在Rt△PAC中，
∵tan30°＝＝＝，
∴x＝10+10，
∴PA＝2x＝20+20，
答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；
（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，
有sin∠PBE＝＝＝，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°
即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．
8.【分析】（1）①由矩形的性质和同角的余角相等证明△CDG与△GAH的两组对应角相等，从而证明△CDG∽△GAH；
②由翻折得∠AGB＝∠DAC＝∠DCG，而tan∠DAC＝，可求出DG的长，进而求出GA的长，由tan∠GHC即∠GHC的对边与邻边的比恰好等于相似三角形△CDG与△GAH的一组对应边的比，由此可求出tan∠GHC的值；
（2）△GCF与△AEF都是直角三角形，由tan∠DAC＝可分别求出CG、AG、AE、EF、AF、CF的长，再由直角边的比不相等判断△GCF与△AEF不全等．
【解答】（1）如图1，
①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠GAH＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠AGH+∠DGC＝90°，
∴∠DCG＝∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF＝∠EAF，
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，
∵CD＝AB＝2，AD＝4，
∴＝tan∠DAC＝＝，
∴DG＝CD＝×2＝1，
∴GA＝4﹣1＝3，
∵△CDG∽△GAH，
∴，
∴tan∠GHC＝＝．
（2）不全等，理由如下：
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝＝，
∵∠GCF＝90°，
∴＝tan∠DAC＝，
∴CG＝AC＝×2＝，
∴AG＝＝5，
∴EA＝AG＝，
∴EF＝EA tan∠DAC＝＝，
∴AF＝＝，
∴CF＝2＝，
∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF与△AEF不全等．