第15章轴对称图形与等腰三角形培优单元测试卷(含解析)

第15章轴对称图形和等腰三角形培优单元测试卷
(考试时间：120分钟 满分：150分)
班级：_________ 姓名：___________________
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（2014﹒泰安）下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（　　）
　 A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2014﹒甘孜州）下列图形一定是轴对称图形的是（　　）
　 A．平行四边形 B．正方形 C．三角形 D．梯形
3．（2014﹒遂宁）点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
　 A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
4．（2014﹒聊城）如图1，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（　　）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7
　 图1 图2 图3 图4
5．在锐角△ABC中，∠A=60°，直线L为BC的中垂线，BM平分∠ABC，直线L与BM相交于P点．若∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（　　）21*cnjy*com
A．24 B．30 C．32 D．36
6．（2014﹒盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（　　）
　 A．40° B．50° C．60° D．70°
7．（2014﹒广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　）
　 A．17 B．15 C．13 D．13或17
8．（2014﹒丹东）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（　　）
　 A．70° B．80° C．40° D．30°
9．（2014﹒威海）如图3，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（　　）
　 A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55°
10．（2014﹒荆州）如图4，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（　　）
　 A．()n?75° B．()n﹣1?65° C．()n﹣1?75° D．()n?85°
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（2014﹒张家界）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=_____．
12．（2014﹒云南）如图5，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则
∠CBD=_____________．

图5 图6 图7
13．（2014﹒钦州）如图6，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为_____________．
14．（2014﹒长春）如图7，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为___________．【来源：21cnj*y.co*m】
三．（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（2014﹒台湾）如图8，O为△ABC内部一点，OB=3，P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点．　　21*cnjy*com
（1）请指出当∠ABC在什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度为何在此时会等于7的理由．
（2）承(1)小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是会大于7？并完整说明你判断的理由．
图8
16．（2014﹒大庆）如图9，在直角坐标系中，C(2，3)，C′(﹣4，3)，C″(2，1)，
D(﹣4，1)，A（0，a），B（a，O）（a＞0）．
（1）结合坐标系用坐标填空．
点C与C′关于点__________对称； 点C与C″关于点_________对称；点C与D关于点　　____________对称；2-1-c-n-j-y
（2）设点C关于点（4，2）的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，求a值．
图9
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（2013﹒淄博）如图10，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．
图10
18．如图11，C表示灯塔，轮船从A处出发以每时30海里的速度向正北（AN）方向航行，2小时后到达B处，测得C在A的北偏东30°方向，并在B的北偏东60°方向，那么B处与灯塔C之间的距离为多少海里．
图11
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.如图12，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠ABC的度数．
图12
20.（2014﹒遂宁）如图13，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC的长.www-2-1-cnjy-com
图13
六、（本大题满分12分）
21. 如图14，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，求MN的长.【来源：21·世纪·教育·网】
图14
七、（本大题满分12分）
22.如图15，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，
PE∥AC，求△PDE的周长．
图15
八、（本大题满分14分）
23．如图16，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，求∠CBE的度数．21世纪教育网版权所有
图16
答案与解析
1．答案：C．
考点：轴对称图形.
解析：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，根据轴对称图形及对称轴的定义求解．【出处：21教育名师】
解：第一个是轴对称图形，有2条对称轴；
第二个是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个是轴对称图形，有3条对称轴；
∴对称轴的条数为2的图形的个数是3；
2．答案：B．
考点：轴对称图形．
解析：轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解．21教育名师原创作品
解：A、不一定是轴对称图形．故本选项错误；
B、是轴对称图形．故本选项正确；
C、不一定是轴对称图形．故本选项错误；
D、不一定是轴对称图形．故本选项错误．
3．答案：D．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
解析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
解：点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），
4．答案：A．
考点：轴对称的性质．
解析：利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．
解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴PM=MQ，PN=NR，
∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，
∴RN=3cm，MQ=2.5cm，
即NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm），
则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．
5.答案：C.
考点：线段垂直平分线的性质．
解析：根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．
解：∵BM平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP．
∵直线L为BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，
即3∠ABP+60°+24°=180°，
解得∠ABP=32°．
6.答案：D．
考点：等腰三角形的性质．
解析：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为 =70°．
7.答案：A．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
解析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
8.答案：D．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
解析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C==70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．
9.答案：B．
考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．
解析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．21教育网
解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，
故A选项正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，
在△ABO中，
∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，
∴∠DOC=∠AOB=85°，
故B选项错误；
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=（180°﹣60°）=60°，
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，
故C选项正确；
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC=（180°﹣70°）=55°，
故D选项正确．
10.答案：C．
考点：等腰三角形的性质．
解析：先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．www.21-cn-jy.com
解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C==75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；
同理可得：∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．
11.答案：0.
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
解析：关于x轴、y轴对称的点的坐标：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．
解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，
∴m+2=4，3=n+5，
解得：m=2，n=﹣2，
∴m+n=0，
12.答案：18°．
考点：等腰三角形的性质．
解析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．
解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵BD⊥AC于点D，
∴∠CBD=90°﹣72°=18°．
13.答案：m+n
考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
解析：根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，推出∠A=∠ABD=40°，求出∠ABC=∠C，推出AC=AB=m，求出△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC，代入求出即可，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A=40°，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABC=40°+30°=70°，∠C=180°－40°﹣40°﹣30°=70°，
∴∠ABC=∠C，
∴AC=AB=m，
∴△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n，
14.答案：15.
考点：角平分线的性质．
专题：几何图形问题．
解析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．
解：作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3．
∴△ABD的面积为×3×10=15．
15.答案：见解析
考点：轴对称的性质；三角形三边关系．
解析：（1）连接PB、RB，根据轴对称的性质可得PB=OB，RB=OB，然后判断出点P、B、R三点共线时PR=7，再根据平角的定义求解；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．
解：（1）如图，∠ABC=90°时，PR=7．
证明如下：连接PB、RB，
∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，
∴PB=OB=3，RB=OB=3，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°，
∴点P、B、R三点共线，
∴PR=2×3=7；
（2）PR的长度是小于7，
理由如下：∠ABC≠90°，
则点P、B、R三点不在同一直线上，
∴PB+BR＞PR，
∵PB+BR=2OB=2×3=7，
∴PR＜7．
16.答案：（1）（﹣1，3）（2，2）（﹣1，2），（2）2或5．
考点：坐标与图形变化-对称；坐标与图形性质；三角形的面积．
解析：（1）根据对称的性质，分别找出两对称点连线的中点即可；
（2）先求出点P的坐标，再利用△APB所在的梯形的面积减去两个直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．【版权所有：21教育】
解：（1）由图可知，点C与C′关于点（﹣1，3）对称； 点C与C″关于点（2，2）对称；点C与D关于点（﹣1，2）对称；
故答案为：（﹣1，3），（2，2），（﹣1，2）；
（2）点C关于点（4，2）的对称点P（6，1），
△PAB的面积=（1+a）×6﹣a2﹣×1×（6﹣a）=5，
整理得，a2﹣7a+10=0，
解得a1=2，a2=5，
所以，a的值为2或5．
17.答案：见解析
考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
解析：要掌握等腰三角形的判定与性质和平行线性质，根据AD∥BC，可求证∠ADB=
∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代换可求证∠ABD=∠ADB，然后即可得出结论．
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD．
18.答案：60
考点：等腰三角形的判定与性质；方向角．
解析：将方位表示的角度转化为题目中对应角的度数，再根据等腰三角形的性质即可得到答案．
解：∵∠NBC=∠A+∠C，∠NBC=60°，∠A=30°
∴∠C=30°．
∴△ABC为等腰三角形．
船从A到B以每小时30海里的速度走了2小时，
∴AB=BC=60海里．
19.答案：30
考点：等边三角形的判定与性质．
解析：根据等腰三角形的性质，如图，△APQ是等边三角形，∠APQ=60°，又因为AP=BP，故可知∠ABC=∠BAP．又根据三角形的外角可知∠APQ=∠ABC+∠BAP，故可求出∠ABC的值．21·cn·jy·com
解：∵PQ=AP=AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠APQ=60°，
又∵AP=BP，
∴∠ABC=∠BAP，
∵∠APQ=∠ABC+∠BAP，
∴∠ABC=30°．故∠ABC的大小等于30°．
20.答案：3
考点：角平分线的性质．
解析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．2·1·c·n·j·y
解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得AC=3．
21.答案：9.
考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
解析：由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．21cnjy.com
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
22.答案：5.
考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
解析：分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm．21·世纪*教育网
解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．
23.答案：15°
考点：等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
解析：由AB=AC，∠A=50°，根据等边对等角及三角形内角和定理，可求得∠ABC的度数，又由折叠的性质，求得∠ABE的度数，继而求得∠CBE的度数．
解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ACB=∠ABC=（180°﹣50°）=65°，
∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°，
∴∠ABE=∠A=50°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°．