2.5 圆锥曲线的统一定义
陆慕高级中学 袁卫刚
想一想：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于的动点P的轨迹是什么曲线呢？
试一试：
理一理：
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
练一练：1.求下列曲线的焦点坐标和准线方程．
2.已知椭圆上一点P到左焦点的距离为4，求P点到左准线的距离．
悟一悟:1．圆锥曲线的统一定义．
2．标准方程下圆锥曲线的准线方程．
3．化斜为直，标准化．
4．特殊引路，一般验证.
4．数形结合的思想．
作业 课本，2,3,4,5,6,7
2.5 圆锥曲线的统一定义
基本情况分析
学情分析 本节课授课班级为陆慕高级中学高二（11）班，该班为理科班，选修物化，学习自觉性比较高，数学基础较好，具备一定的运算能力、抽象概括能力和推理论证能力．而且通过高一一年的学习，形成了一种主动探究的学习氛围。
教学目标：（1）通过对抛物线的概念的延伸了解圆锥曲线的统一定义，构建并理解圆锥曲线的准线的概念，掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法．
（2）以概念的变型为背景，按照“发现问题—主动尝试—特殊验证—般论证”的思考顺序，让学生经历数学建模的过程；（3）理解并渗透数形结合，推理证明，转化化归的思想方法及数学文化，培养学生自主、合作、探究的学习能力．
教学重点：圆锥曲线的统一定义及其应用．
教学难点：圆锥曲线标准方程下准线的探究．
教材分析：本节课是苏教版选修2—1的第二章圆锥曲线与方程，是学完平面解析几何初步之后所学的内容，继续渗透解析几何的基本思想，学生通过圆，椭圆，双曲线抛物线的标准方程的学习，已经具备了求一般曲线方程的方法，
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教学过程：
一、情境设计
问题1 我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不在l上）的距离相等（也就是说距离的比等于1）的动点P的轨迹是抛物线，当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？
抛物线的对称轴过点F,与直线l垂直
问题2 平面内到一个定点F（-3,0）的距离和到一条定直线l：x=3（F不在l上）的距离的比等于或2的动点P的轨迹是什么图形呢？
特殊点：（-1,0），（-9,0），或（1,0），（9,0）第一种点都在直线左侧，第一种点在直线两侧。
利用几何画板验证学生的猜想第一种为椭圆第二种为双曲线！
也就是说：当时，轨迹表示椭圆；
当时，轨迹表示双曲线；
当时，轨迹表示抛物线
但是这个椭圆和双曲线的对称中心不在坐标原点，方程不是标准方程。
问题3 在平面直角坐标系中，是否存在一个定点和一条定直线，使椭圆 上任一点到定点的距离和到一条定直线的距离的比是一个定值？
学生猜想：定点为焦点。
有两个焦点，以其中一个为定点，那定直线呢？比值是什么呢？
学生猜想：由于曲线的对称性，定直线要与x轴垂直，比值是。
问题4，如何表示椭圆 上任一点到点的距离，如何求的最大值与最小值？
也就是说只与点的横坐标有关。
从中我们可以发现什么规律呢？有什么含义？
三、建构数学
由此可见，当点到定点F（c，0）的距离与到定直线l：x＝的距离之比是常数（a>c>0）
时，这个点的轨迹是椭圆，这个常数就是椭圆的离心率.
类似的：当点到定点F（c，0）的距离与到定直线l：x＝的距离之比是常数（c>a>0）
时，这个点的轨迹是双曲线，这个常数就是双曲线的离心率.
这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于常数e的点的轨迹．
当0＜e＜1时，它表示椭圆；
当e＞1时，它表示双曲线；
当e＝1时，它表示抛物线．
其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．
追问1
（1）椭圆和双曲线有几条准线？
（2）准线方程分别是什么？
由于图像的对称性，可得到准线为，根据图像，容易得到，椭圆的准线在椭圆的两侧，双曲线的准线在图像的中间
追问2 椭圆 （a＞b＞0）和双曲线（a＞0，b＞0）
的准线方程分别是什么？
.
也就是说，椭圆或者双曲线上的点到相应焦点和准线的距离之比都是同一个常数e.
四、知识运用
例1 求下列曲线的焦点坐标和准线方程．
例2 已知椭圆上一点P到左焦点的距离为4，求P点到左准线的距离．
变式1 求点P到右准线的距离．
变式2 已知双曲线 上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离．
例3若椭圆内有一点，为右焦点，为椭圆上任一点，则最小值为
练习 课本，3,6
回顾总结，提炼思想
1．圆锥曲线的统一定义．
2．标准方程下圆锥曲线的准线方程．
3．求点的轨迹的方法．
4．数形结合的思想．
六、作业 课本，2,3,4,5,6,7
教后反思
课件14张PPT。2.5 圆锥曲线的统一定义陆慕高级中学 袁卫刚
2014.12.52 、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< F1F2)的点的轨迹
表达式|PF1-PF2|=2a (2a3、抛物线的定义：
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹
表达式PF=d (d为动点到定直线距离）1、 椭圆的定义：
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数2a(2a>F1F2）的点的轨迹
表达式 PF1+PF2=2a(2a>F1F2）复习回顾一、情境设计我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不在l上）的距离相等（也就是说距离的比等于1）的动点P的轨迹是抛物线.
想一想：当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？
二、学生活动可以得到：当 时，轨迹表示椭圆；
当 时，轨迹表示双曲线；
当 时，轨迹表示抛物线
试一试：平面内到一个定点F的距离和
到一条定直线l（F不在l上）的距离的比
等于 的动点P的轨迹是什么曲线呢？
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上） 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线.这样，圆锥曲线可以统一定义为: 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.三、建构数学根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线. 对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆或双曲线,准线有几条呢?思考??? 1 求下列曲线的焦点坐标和准线方程四、知识运用1．圆锥曲线的统一定义．
2．标准方程下圆锥曲线的准线方程．
3．求点的轨迹的方法．
4．数形结合的思想．五、小结谢谢！
