【单元复习指南】第八单元 数学广角——数与形-六年级上册数学单元复习精编讲义·人教版（含答案）
文档属性
| 名称 | 【单元复习指南】第八单元 数学广角——数与形-六年级上册数学单元复习精编讲义·人教版（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 252.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-03 11:27:12 | ||
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文档简介
人教版六年级上册数学单元复习精编讲义
第八单元 数学广角——数与形
单元知识要点
通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并体会运用发现的规律解决问题的简捷性。能利用数形结合思想来解决一些与数有关的问题。体会数结合思想的重要性，训练思维的灵活性和准确性。
知识点归纳总结
1.2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(110)
规律∶从 2开始的 n个连续偶数的和等于n×（n+1）。
10×(10+1)=10×11=110
2.1=12=1
1+3=22=(4)
1+3+5=32=(9)
1+3+5+7=42=(16)
1+3+5+7+9=52=（25）
1+3+5+7+9+11=62=(36)
1+3+5+7+9+11+13=72=(49)
1+3+5+7+9+11+13+15=82=（64）
1+3+5+7+9+11+13+15+17=92=（81）
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=(100)
从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。即：从1开始的n个连续奇数相加的和可以用n2表示，即1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n2。
典型例题
例1 下图是由一些火柴棒搭成的图案，按照这种方式摆下去，摆第6个图案需要（ ）根火柴棒。
【分析】根据题图可知，每增加一个五边形就增加4根火柴棒，第n个图案时，有5＋（n－1）×4=4n＋1个小棒，再将n=6代入含字母的式子解答即可。
【解答】25
例2 如图：
那么第7个点阵有45个点。（ ）（判断对错）
【分析】1+4+6+8+10+12+14=55
55＞45
所以第7个点阵有45个点的说法是错误的
【解答】×
例3 根据下面图形与数的规律，第12个数是（ ）。
A.24 B.36 C.60 D.78
【分析】圆片的数量=1＋2＋3＋……＋n，据此分析。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12
=（1＋12）×12÷2
=13×12÷2
=78
【解答】D
例4 在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图2和图3是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。
【分析】每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，那么只能是1格或3格，总共涂5格，可以按照1、1、3进行分配。
【解答】3种如图所示：
不同类型的涂法有3种。由于经过旋转或翻转后重合的两种涂法算作一种，所以符合要求的涂法是比较少的。
例5 下列各图中分别有多少条线段？
【分析】第（1）问，分别以A、B、C、D、E为线段的一段，那么另一端分别有5、4、3、2、1种选法。第（2）问，分成两个方向分别计数，然后相加得到总数。
【解答】（1）15条 （2）49条
（1）（条）
（2）（条）
（条）
（条）
答：图（1）有15条线段，图（2）有49条线段。
例6 如图，沿着“喜欢吃饺子”的顺序走（只能沿着水平或者竖直方向走），一共有多少种不同的走法？
【分析】按照喜欢吃饺子的顺序，从喜出发，沿着水平或者竖直方向进行标数，可以得到到达每一个汉字的走法。
【解答】
如图所示：
所以沿着“喜欢吃饺子”的顺序走，一共有11种走法
答：一共有11种不同的走法。
当堂训练
一、填空题。
1.如图围1个正方形要4根小棒，围2个正方形要7根小棒，围3个正方形要10根小棒。像这样围20个正方形要（ ）根小棒，围n个正方形要（ ）根小棒。
2.用小棒按下列方式摆图形，照这样方式摆下去，第5个图形用（ ）小棒，第10个图形用（ ）根小棒，第n个图形用（ ）根小棒。
3.找规律填空。
，，，…，则：1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋48＋49=（ ）2。
4.先数一数下面每个图中各有多少个白色小正方形和黑色小正方形。
照这样接着画，第8个图形有（ ）个白色小正方形和（ ）个黑色小正方形。
5.按规律（如图），第8幅图中三角形有（ ）个。
二、选择题。
1.找规律：3，7，15， …… 应填几，正确的是（ ）。
A.3×2＋1=7，7×2＋1=15，15×2＋1=31，填31
B.3＋4×1=7，7＋4×2=15，15＋15×3=60 ，填60
C.必须要写出4个数才能找出规律，“”里无法填出唯一的数
2.如图，每个小正方形都是由4根同样长的小棒摆成的。那么第8个图形中一共用（ ）根小棒。
A.324 B.144 C.160
3.数与形结合是一种重要的数学思想，认真观察下面的图形，“2020”这个数在_______个三角形的_______顶点处。应选（ ）。
A.673，左下 B.674，上 C.673，右下 D.674，左下
4.观察下面点阵图找规律，第8个点阵图中有（ ）个点。
A.27 B.25 C.28 D.26
5.用灰、白两种六边形瓷砖按如图所示的规律拼成图案，继续拼下去，第10个图案中有（ ）块白色瓷砖。
第1个 第2个 第3个
A.10 B.40 C.42 D.60
三、判断题。
1.观察规律：2、4、6、10、16，接下去是24。（ ）
2.如图这样放三角形积木，如果最下层放19块积木，共需放72块积木。（ ）
3.小数点后第80位上的数字是2。（ ）
4.8个点可以连成20条线段。（ ）
5.如图，第五个点阵中点的个数是17个。（ ）
四、解决问题。
1.辨析选优，我有主见。
1，3，6，10（ ）……
聪聪发现的规律是依次增加2、3、4、5……括号里填15 明明发现求第几个数就是从1连续加到几，第五个数为：1＋2＋3＋4＋5=15 你认为哪种规律较好？说一说你的理由。
2.有一组图形按下面规律排列。
（1）第10个图形中白色小正方形和黑色小正方形各有多少个？
（2）如果某个图形中有38个白色小正方形，那么这个图形排在第几？
3.如图，堆三角形积木。
①如果下层放6个，一共需要多少个三角形？
②如果有169个三角形积木块，下层应放几个？
4.为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛。如图所示，按照下面的规律摆下去。
（1）摆6个“金鱼”需要多少根火柴棒？
（2）摆n个“金鱼”需要多少根火柴棒？
（3）若有2018根火柴棒，那么可以摆多少个“金鱼”？
5.用同样长的小棒摆正方形，如图：
正方形个数 1 2 3 4 5 …
小棒根数 1＋3×1 1＋3×2 1＋3×3 …
（1）填一填。
（2）这样摆7个正方形，需要多少根小棒？
（3）现有31根小棒，能摆多少个这样的正方形？
6.规定：如图1中，方格里的数表示在其周围8个方格中共有多少个△。即以“1”为中心，在它的四周8个方格中只能有1个△ 以“2”为中心，在它的四周8个方格中只能有2个△ 以“3”为中心，在它的四周8个方格中只能有3个△ 依此类推。
按上述规定，在如图2中一共可以画12个△。现在已经画好了其中的2个，请你在合适的空格中补上其余的10个。
参考答案
一、1.61 3n＋1
2.26 51 5n＋1
3.25
4.16 24
5.49
二、1.C 2.B 3.B 4.A 5.C
三、1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√
四、1.1=1=
1＋2=3=
1＋2＋3=6=
故1＋2＋3＋…＋n=
所以对于较大的数，相比明明发现的规律更好计算。
答：我认为明明发现的规律较好，对于较大的数更好计算。
2.（1）分析图形规律可知：
第n个图形小正方形的总个数：3（n＋2）=3n＋6
第n个图形黑色小正方形的个数：n个
第n个图形白色小正方形的个数：3n＋6－n=2n＋6
当n=10时，
白色小正方形的个数：2n＋6=2×10＋6=26（个）
黑色小正方形的个数：10个
答：第10个图形中白色小正方形有26个，黑色小正方形有10个。
（2）由题意可知，
2n＋6=38
解：2n=38－6
2n=32
n=32÷2
n=16
答：如果某个图形中有38个白色小正方形，那么这个图形排在第16。
3.①6×6=36个
答：如果下层放6个，一共需要36个三角形。
②13×13=169
答：如果有169个三角形积木块，下层应放了13个。
4.（1）8＋（6－1）×6
=8＋5×6
=8＋30
=38（根）
答：摆6个“金鱼”需要38根火柴棒。
（2）摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根
（3）（2018－8）÷6＋1
=2010÷6＋1
=335＋1
=336（个）
答：2018根火柴棒可以摆336个“金鱼”。
5.（1）
正方形个数 1 2 3 4 5 …
小棒根数 1＋3×1 1＋3×2 1＋3×3 13 16 …
4个正方形小棒根数：1＋3×4=13（根）
5个正方形小棒根数：1＋3×5=16（根）
（2）1＋3×7=22（根）
答：摆7个正方形，需要22根小棒。
（3）解：设31根小棒，能摆n个这样的正方形。
1＋3n=31
3n=31－1
3n=30
n=30÷3
n=10
答：31根小棒，能摆10个这样的正方形。
6.如图：
第八单元 数学广角——数与形
单元知识要点
通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并体会运用发现的规律解决问题的简捷性。能利用数形结合思想来解决一些与数有关的问题。体会数结合思想的重要性，训练思维的灵活性和准确性。
知识点归纳总结
1.2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(110)
规律∶从 2开始的 n个连续偶数的和等于n×（n+1）。
10×(10+1)=10×11=110
2.1=12=1
1+3=22=(4)
1+3+5=32=(9)
1+3+5+7=42=(16)
1+3+5+7+9=52=（25）
1+3+5+7+9+11=62=(36)
1+3+5+7+9+11+13=72=(49)
1+3+5+7+9+11+13+15=82=（64）
1+3+5+7+9+11+13+15+17=92=（81）
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=(100)
从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。即：从1开始的n个连续奇数相加的和可以用n2表示，即1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n2。
典型例题
例1 下图是由一些火柴棒搭成的图案，按照这种方式摆下去，摆第6个图案需要（ ）根火柴棒。
【分析】根据题图可知，每增加一个五边形就增加4根火柴棒，第n个图案时，有5＋（n－1）×4=4n＋1个小棒，再将n=6代入含字母的式子解答即可。
【解答】25
例2 如图：
那么第7个点阵有45个点。（ ）（判断对错）
【分析】1+4+6+8+10+12+14=55
55＞45
所以第7个点阵有45个点的说法是错误的
【解答】×
例3 根据下面图形与数的规律，第12个数是（ ）。
A.24 B.36 C.60 D.78
【分析】圆片的数量=1＋2＋3＋……＋n，据此分析。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12
=（1＋12）×12÷2
=13×12÷2
=78
【解答】D
例4 在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图2和图3是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。
【分析】每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，那么只能是1格或3格，总共涂5格，可以按照1、1、3进行分配。
【解答】3种如图所示：
不同类型的涂法有3种。由于经过旋转或翻转后重合的两种涂法算作一种，所以符合要求的涂法是比较少的。
例5 下列各图中分别有多少条线段？
【分析】第（1）问，分别以A、B、C、D、E为线段的一段，那么另一端分别有5、4、3、2、1种选法。第（2）问，分成两个方向分别计数，然后相加得到总数。
【解答】（1）15条 （2）49条
（1）（条）
（2）（条）
（条）
（条）
答：图（1）有15条线段，图（2）有49条线段。
例6 如图，沿着“喜欢吃饺子”的顺序走（只能沿着水平或者竖直方向走），一共有多少种不同的走法？
【分析】按照喜欢吃饺子的顺序，从喜出发，沿着水平或者竖直方向进行标数，可以得到到达每一个汉字的走法。
【解答】
如图所示：
所以沿着“喜欢吃饺子”的顺序走，一共有11种走法
答：一共有11种不同的走法。
当堂训练
一、填空题。
1.如图围1个正方形要4根小棒，围2个正方形要7根小棒，围3个正方形要10根小棒。像这样围20个正方形要（ ）根小棒，围n个正方形要（ ）根小棒。
2.用小棒按下列方式摆图形，照这样方式摆下去，第5个图形用（ ）小棒，第10个图形用（ ）根小棒，第n个图形用（ ）根小棒。
3.找规律填空。
，，，…，则：1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋48＋49=（ ）2。
4.先数一数下面每个图中各有多少个白色小正方形和黑色小正方形。
照这样接着画，第8个图形有（ ）个白色小正方形和（ ）个黑色小正方形。
5.按规律（如图），第8幅图中三角形有（ ）个。
二、选择题。
1.找规律：3，7，15， …… 应填几，正确的是（ ）。
A.3×2＋1=7，7×2＋1=15，15×2＋1=31，填31
B.3＋4×1=7，7＋4×2=15，15＋15×3=60 ，填60
C.必须要写出4个数才能找出规律，“”里无法填出唯一的数
2.如图，每个小正方形都是由4根同样长的小棒摆成的。那么第8个图形中一共用（ ）根小棒。
A.324 B.144 C.160
3.数与形结合是一种重要的数学思想，认真观察下面的图形，“2020”这个数在_______个三角形的_______顶点处。应选（ ）。
A.673，左下 B.674，上 C.673，右下 D.674，左下
4.观察下面点阵图找规律，第8个点阵图中有（ ）个点。
A.27 B.25 C.28 D.26
5.用灰、白两种六边形瓷砖按如图所示的规律拼成图案，继续拼下去，第10个图案中有（ ）块白色瓷砖。
第1个 第2个 第3个
A.10 B.40 C.42 D.60
三、判断题。
1.观察规律：2、4、6、10、16，接下去是24。（ ）
2.如图这样放三角形积木，如果最下层放19块积木，共需放72块积木。（ ）
3.小数点后第80位上的数字是2。（ ）
4.8个点可以连成20条线段。（ ）
5.如图，第五个点阵中点的个数是17个。（ ）
四、解决问题。
1.辨析选优，我有主见。
1，3，6，10（ ）……
聪聪发现的规律是依次增加2、3、4、5……括号里填15 明明发现求第几个数就是从1连续加到几，第五个数为：1＋2＋3＋4＋5=15 你认为哪种规律较好？说一说你的理由。
2.有一组图形按下面规律排列。
（1）第10个图形中白色小正方形和黑色小正方形各有多少个？
（2）如果某个图形中有38个白色小正方形，那么这个图形排在第几？
3.如图，堆三角形积木。
①如果下层放6个，一共需要多少个三角形？
②如果有169个三角形积木块，下层应放几个？
4.为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛。如图所示，按照下面的规律摆下去。
（1）摆6个“金鱼”需要多少根火柴棒？
（2）摆n个“金鱼”需要多少根火柴棒？
（3）若有2018根火柴棒，那么可以摆多少个“金鱼”？
5.用同样长的小棒摆正方形，如图：
正方形个数 1 2 3 4 5 …
小棒根数 1＋3×1 1＋3×2 1＋3×3 …
（1）填一填。
（2）这样摆7个正方形，需要多少根小棒？
（3）现有31根小棒，能摆多少个这样的正方形？
6.规定：如图1中，方格里的数表示在其周围8个方格中共有多少个△。即以“1”为中心，在它的四周8个方格中只能有1个△ 以“2”为中心，在它的四周8个方格中只能有2个△ 以“3”为中心，在它的四周8个方格中只能有3个△ 依此类推。
按上述规定，在如图2中一共可以画12个△。现在已经画好了其中的2个，请你在合适的空格中补上其余的10个。
参考答案
一、1.61 3n＋1
2.26 51 5n＋1
3.25
4.16 24
5.49
二、1.C 2.B 3.B 4.A 5.C
三、1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√
四、1.1=1=
1＋2=3=
1＋2＋3=6=
故1＋2＋3＋…＋n=
所以对于较大的数，相比明明发现的规律更好计算。
答：我认为明明发现的规律较好，对于较大的数更好计算。
2.（1）分析图形规律可知：
第n个图形小正方形的总个数：3（n＋2）=3n＋6
第n个图形黑色小正方形的个数：n个
第n个图形白色小正方形的个数：3n＋6－n=2n＋6
当n=10时，
白色小正方形的个数：2n＋6=2×10＋6=26（个）
黑色小正方形的个数：10个
答：第10个图形中白色小正方形有26个，黑色小正方形有10个。
（2）由题意可知，
2n＋6=38
解：2n=38－6
2n=32
n=32÷2
n=16
答：如果某个图形中有38个白色小正方形，那么这个图形排在第16。
3.①6×6=36个
答：如果下层放6个，一共需要36个三角形。
②13×13=169
答：如果有169个三角形积木块，下层应放了13个。
4.（1）8＋（6－1）×6
=8＋5×6
=8＋30
=38（根）
答：摆6个“金鱼”需要38根火柴棒。
（2）摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根
（3）（2018－8）÷6＋1
=2010÷6＋1
=335＋1
=336（个）
答：2018根火柴棒可以摆336个“金鱼”。
5.（1）
正方形个数 1 2 3 4 5 …
小棒根数 1＋3×1 1＋3×2 1＋3×3 13 16 …
4个正方形小棒根数：1＋3×4=13（根）
5个正方形小棒根数：1＋3×5=16（根）
（2）1＋3×7=22（根）
答：摆7个正方形，需要22根小棒。
（3）解：设31根小棒，能摆n个这样的正方形。
1＋3n=31
3n=31－1
3n=30
n=30÷3
n=10
答：31根小棒，能摆10个这样的正方形。
6.如图：