人教版数学八年级下册第十七章 利用勾股定理解决最短路径问题 练（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册第十七章 利用勾股定理解决最短路径问题 练（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 320.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-03 00:00:00 | ||
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文档简介
利用勾股定理解决最短路径问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共5小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，桌面上的长方体长为，宽为，高为，为的中点．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面到达点，则它运动的最短路程为( )
A. B. C. D.
2. 如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，底面半径为，取，求点移动的最短距离为( )
A. B. C. D.
3. 如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且点在点的正上方，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在长方体透明容器无盖内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是容器壁厚度不计( )
A. B. C. D.
5. 如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为，，，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题）
6. 如图，台阶处的蚂蚁要爬到处搬运食物，则它爬行的最短距离为 ．
7. 如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器外侧距下底的点处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 ．
8. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 边缘部分的厚度忽略不计
9. 如图所示，是长方形地面，长，宽中间竖有一堵砖墙高一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 的路程．
10. 在一个长为米，宽为米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是 米．
三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
11. 如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，，；
一只蚂蚁从点出发，沿小杯子外表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？
12. 如图，，两个村庄在河的同侧，两村庄的距离为千米，，它们到河的距离分别是千米和千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河边上修建一水厂向，两村输送水．
在图上作出向，两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置只需作图，不需要证明
经预算，修建水厂需万元，铺设水管的所有费用平均每千米为万元，其他费用需万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
13. 一只蚂蚁沿图中立方体的表面从顶点爬到顶点，图是图立方体的表面展开图，设立方体的棱长为．
在图中标出点的位置．
求蚂蚁从点到点爬行的最短路径长．
14. 如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．鱼缸厚度忽略不计
15. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形和如图放置，其三边长分别为，，显然，，请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积：
梯形 ，
，
四边形 ，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图，河道上，两点看作直线上的两点相距米，，为两个菜园看作两个点，，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值 ．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 路线一：将面 和面 展开，如图，
， ，
，
由勾股定理得 ；
路线二：将面 和上底面展开，如图，
， ，
，
由勾股定理得 ；
所以，路线一的路线最短，最短路线为 ；
如图，当筷子沿 倾斜放的时候，能够放的最长，
， ，
由勾股定理得 ，
，
所以，筷子的最大长度是 ．
12. 解：如图，作点关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于点，点即为所求．
解：如图，连接 交 于点，过点作 ，
由题意可知： ， ， ，
， ，
在 中， ，
在 中， ，
由对称性质可知： ，
水管长 ，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为 万元．
13. 解：如图所示答案不唯一；
解：连接 ，
立方体的棱长为，
， ，
，
蚂蚁爬行的最短路程是 ．
14. 解：如图所示作点 关于 的对称点 ，连接 交 与点 ，小虫沿着 的路线爬行时路程最短．
在直角 中， ， ，
．
最短路线长为 ．
15. 【小试牛刀】，
，
，
由图形可得
化简可得
故答案为： ， ， ， ；
【知识运用】作点 关于 的对称点 ，连接 ，如下图：
由题意可得：
，则 的最小值，即为 的最小值，
由三角形三边关系可得： ，当 三点共线时 ，
的最小值为 的长度， 米
故答案为 米；
【知识迁移】如下图， ， ， 、 ，点 为线段 上一点，设，则，
则 ，
由上可得当 三点共线时， 距离最小，最小值为 的长，
故答案为
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共5小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，桌面上的长方体长为，宽为，高为，为的中点．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面到达点，则它运动的最短路程为( )
A. B. C. D.
2. 如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，底面半径为，取，求点移动的最短距离为( )
A. B. C. D.
3. 如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且点在点的正上方，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在长方体透明容器无盖内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是容器壁厚度不计( )
A. B. C. D.
5. 如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为，，，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题）
6. 如图，台阶处的蚂蚁要爬到处搬运食物，则它爬行的最短距离为 ．
7. 如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器外侧距下底的点处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 ．
8. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 边缘部分的厚度忽略不计
9. 如图所示，是长方形地面，长，宽中间竖有一堵砖墙高一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 的路程．
10. 在一个长为米，宽为米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是 米．
三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
11. 如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，，；
一只蚂蚁从点出发，沿小杯子外表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？
12. 如图，，两个村庄在河的同侧，两村庄的距离为千米，，它们到河的距离分别是千米和千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河边上修建一水厂向，两村输送水．
在图上作出向，两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置只需作图，不需要证明
经预算，修建水厂需万元，铺设水管的所有费用平均每千米为万元，其他费用需万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
13. 一只蚂蚁沿图中立方体的表面从顶点爬到顶点，图是图立方体的表面展开图，设立方体的棱长为．
在图中标出点的位置．
求蚂蚁从点到点爬行的最短路径长．
14. 如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．鱼缸厚度忽略不计
15. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形和如图放置，其三边长分别为，，显然，，请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积：
梯形 ，
，
四边形 ，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图，河道上，两点看作直线上的两点相距米，，为两个菜园看作两个点，，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值 ．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 路线一：将面 和面 展开，如图，
， ，
，
由勾股定理得 ；
路线二：将面 和上底面展开，如图，
， ，
，
由勾股定理得 ；
所以，路线一的路线最短，最短路线为 ；
如图，当筷子沿 倾斜放的时候，能够放的最长，
， ，
由勾股定理得 ，
，
所以，筷子的最大长度是 ．
12. 解：如图，作点关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于点，点即为所求．
解：如图，连接 交 于点，过点作 ，
由题意可知： ， ， ，
， ，
在 中， ，
在 中， ，
由对称性质可知： ，
水管长 ，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为 万元．
13. 解：如图所示答案不唯一；
解：连接 ，
立方体的棱长为，
， ，
，
蚂蚁爬行的最短路程是 ．
14. 解：如图所示作点 关于 的对称点 ，连接 交 与点 ，小虫沿着 的路线爬行时路程最短．
在直角 中， ， ，
．
最短路线长为 ．
15. 【小试牛刀】，
，
，
由图形可得
化简可得
故答案为： ， ， ， ；
【知识运用】作点 关于 的对称点 ，连接 ，如下图：
由题意可得：
，则 的最小值，即为 的最小值，
由三角形三边关系可得： ，当 三点共线时 ，
的最小值为 的长度， 米
故答案为 米；
【知识迁移】如下图， ， ， 、 ，点 为线段 上一点，设，则，
则 ，
由上可得当 三点共线时， 距离最小，最小值为 的长，
故答案为
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