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高中数学重难点突破
专题十六 初等函数综合问题求解策略
知识归纳
一、指数与指数幂的运算
①一般地，如果，那么叫做 的次方根，其中.
②根式运算性质：
① ； ②
③我们规定： ⑴； ⑵；
④运算性质：
⑴； ⑵； ⑶.
二、指数函数及其性质
①概念：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
②性质：
图象
性质 （1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
对数与对数运算
①指数与对数互化式：；
②对数恒等式：.
③基本性质：，.
④运算性质：当时：
⑴；⑵； ⑶.
⑤换底公式： .
⑥重要公式：
⑦倒数关系：.
四、对数函数及其性质
①概念：函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0,+).
②性质：
图象
性质 （1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
（5）； （5）；
五、幂函数的图像与性质
①概念：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数。
②常见的5种幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝
图像
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 在R上递增 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增 在R上递增 在(0，＋∞) 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减
定点 (1,1)
③在第一象限的图象，可分为如图中的三类：
典例分析
一、对数与指数的运算
例1-1、化简与计算：(1)； (2) .
答案 （1）-45 （2）
例1-2、化简与计算： (1)； (2)lg 500＋lg－lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2－24＋log23.
答案 (1) （2） 4
例1-3、（1）求的值.
（2）已知，，试用，表示
【答案】（1）18；（2）.
【详解】（1）原式
（2）由得到，由，得到，即.
.
二、比较大小
例2-1、比较下列各组数的大小：(1) 40.9 ，80.48，； (2)log20.4 ，log30.4 ，log40.4 .
答案 (1)40.9>>80.48 (2)log20.4
例2-2、(1)已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．b答案 A
例2-3、已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，
因为在是单调递增函数，所以，
因为在是单调递增函数，所以
所以，
故选：C.
例2-4、已知，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】先比较，易知,故，即
又，故时，时
故， 而，故，有
故选：A
例2-5、已知，，，则，，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，即，
又，即，
所以，即，
综上可得，
故选：A
三、方程与不等式求解
例3-1、(1)若loga(a2＋1)A．(0，1) B. C. D．(0，1)∪(1，＋∞)
(2)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
答案 （1）C （2） 4 2
解析(1)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)同时2a>1，∴a>.综上，a∈
（2）设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，所以t＝2，则a＝b2.
又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
例3-2、解下列不等式
例3-3、已知实数，满足，，，，，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】由，得，.
由，，所以，
所以，解得：，则，即，
所以，，所以，
故选：C.
例3-4、已知函数则不等式的解集为______．
【答案】
【详解】当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，易知，
解得；
当时，不等式为，解得；
综上，解集为：.
故答案为：.
例3-5、已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因函数是定义在R上的奇函数，且当时，，
则，解得，即当时，，
当时，，则，
而当时，，则当时，，即，
变形得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
例3-5、设函数（且）的图像经过点.
（1）解关于x的方程；
（2）不等式的解集是，试求实数a的值.
【答案】（1）或；（2）.
【详解】（1）由已知得，即，则，于是得，
方程，
从而得或，即或，或，
所以原方程的根为或；
（2）依题意，函数中，，从而得.
又，令，
即一元二次不等式的解集为，
因此有-1，2是关于的方程的两根，则，
所以实数a的值为2.
四、函数图像的定点
例4-1、(1)函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )
A．y＝ B．y＝|x－2| C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)
(2)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是( )
A. B. C. D.
例4、答案 （1）A （2）C
解析(1)由题意，得点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝的图象不过点A(1，1)．
(2)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
练习、求下列函数的定点
五、函数图像的应用
例5-1、(1)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2] D.
答案 （1）D （2）C
解析 (1)由f(x)在R上是减函数，知0∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.
(2)由题意，易知a>1.在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.
若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.
函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.结合图象，a的取值范围是(1，2].
例5-2、(1)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是____________．
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是___________．
答案 (1)[-1，1] （2）(0,1)
解析
(1)做|y|＝2x＋1与y＝b的图象，
由图象可知：
如果|y|＝2x＋1与
直线y＝b没有公共点，
则b∈[－1，1]．
(2)在同一坐标系中，作y＝f(x)的图象与直线y＝k，
如图所示，则当0关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根．
例5-3、已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，
故选：C.
例5-4、函数，的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图像可知，当时，，则时，，则，
又由图像不关于原点中心对称可知，则
则时，，即，则
故选：C
例5-5、（多选题）已知，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】当时，，此时函数为一条射线，且函数在上为增函数，B选项符合；当时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上为增函数，此时函数在上只有一个零点，A选项符合；当时，时，函数的增长速度远小于函数的增长速度，所以时，函数一定为减函数，选项D符合，C不符合.
故选：ABD
六、单调性问题
例6-1、(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是___________.
(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是____________.
答案（1）(－∞，4] （2）(－∞,－1]
解析(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的.
而y＝2t在R上是增加的，
∵函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是递增的，∴≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].
(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3由于f(x)的值域是，所以g(x)的值域是[2，＋∞).
因此有解得a＝1，这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.
由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
例6-2、已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当函数是R上的单调递减函数，
所以，解得，
因为且，
所以当时，不可能是增函数，
所以函数在R上不可能是增函数，
综上：实数a的取值范围为，
故选：B
七、最值问题
例7-1、(1)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
(2)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________.
答案（1）3或 （2）
解析(1)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).
当0则ymax＝－2＝14，解得a＝(负值舍去).
综上，a＝3或a＝.
(2)把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0，且a≠1，解得所以f(x)＝3·2x.
要使＋≥m在区间(－∞，1]上恒成立，因为函数y＝＋在区间(－∞，1]上为减函数，
所以当x＝1时，y＝＋有最小值.所以只需m≤即可.
所以m的最大值为.
例7-2、若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A
例7-3、已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据题意，先求得，把不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，
当时，函数显然不存在最大值；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数无最大值，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得函数在上单调递增，所以，即，
综上可得，即实数的取值范围是.
故选：A.
八、初等函数综合问题
例8-1、(1)已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1＝2|x﹣m|﹣1；
∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝2|x|﹣1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（|log0.53|）＝f（log23），b＝f（log25），c＝f（0）；
∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．
故选：C．
(2)设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，故的值域即为的定义域.
故选：.
例8-2、(1)(多选题)设 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A,B
【解析】因为 ，可得函数 均是减函数，
可得 ， ，所以CD不正确；
又由函数 是增函数， 是减函数，可得 ，且 ，
所以 ，所以A符合题意；
因为 ，可得 ，所以函数 是增函数，可得 ，所以B符合题意.
故答案为：AB.
(2)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
例8-3、(1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的大致图象可能是( )
【答案】 A
【解析】 当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；函数f(x)的定义域为R，且在R上连续，故排除B；f(0)＝ln 2－e－1，由于ln 2>ln ＝，e－1<，所以f(0)＝ln 2－e－1>0，故排除C.
(2)已知函数f(x)＝ex＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A. B．(－∞，e) C. D.
【答案】 B
【解析】 由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，
即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．
函数y＝ln(x＋a)可以看作由y＝ln x左右平移得到，
当a＝0时，两函数有交点，
当a<0时，向右平移，两函数总有交点，
当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y＝ln x的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，
把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，∴a(3)如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.
【答案】
【详解】由图像可知，点在函数的图像上，所以，即.
因为点在函数的图像上，所以，.
因为点在函数的图像上，所以.
又因为，，所以点的坐标为.
故答案为
例8-4、(1)(多选题)函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为
B. 在定义域内单调递増
C. 不等式 的解集为
D. 函数 的图象关于直线 对称
【答案】 A,D
【解析】要使函数有意义，则 ，A符合题意；
，令 ，易知其在 上单调递减，所以 在 上单调递减，B不正确；
由于 在 上单调递减，所以对于 ，有 ，C不正确；
令 ，解得 ，所以 关于直线 对称，D符合题意.
故答案为：AD
(2)若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是
【答案】
【解析】有题意结合对数的运算法则有，
由对数函数的单调性有，整理可得，
由恒成立的条件有，其中，
当且仅当时等号成立，即时，函数取得最小值，
综上可得．
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专题十六 初等函数综合问题求解策略
知识归纳
一、指数与指数幂的运算
①一般地，如果，那么叫做 的次方根，其中.
②根式运算性质：
① ； ②
③我们规定： ⑴； ⑵；
④运算性质：
⑴； ⑵； ⑶.
二、指数函数及其性质
①概念：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
②性质：
图象
性质 （1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
对数与对数运算
①指数与对数互化式：；
②对数恒等式：.
③基本性质：，.
④运算性质：当时：
⑴；⑵； ⑶.
⑤换底公式： .
⑥重要公式：
⑦倒数关系：.
四、对数函数及其性质
①概念：函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0,+).
②性质：
图象
性质 （1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
（5）； （5）；
五、幂函数的图像与性质
①概念：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数。
②常见的5种幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝
图像
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 在R上递增 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增 在R上递增 在(0，＋∞) 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减
定点 (1,1)
③在第一象限的图象，可分为如图中的三类：
典例分析
一、对数与指数的运算
例1-1、化简与计算：(1)； (2) .
例1-2、化简与计算： (1)； (2)lg 500＋lg－lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2－24＋log23.
例1-3、（1）求的值.
（2）已知，，试用，表示
二、比较大小
例2-1、比较下列各组数的大小：(1) 40.9 ，80.48，； (2)log20.4 ，log30.4 ，log40.4 .
例2-2、(1)已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．b例2-3、已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
例2-4、已知，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例2-5、已知，，，则，，的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
三、方程与不等式求解
例3-1、(1)若loga(a2＋1)A．(0，1) B. C. D．(0，1)∪(1，＋∞)
(2)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
例3-2、解下列不等式
例3-3、已知实数，满足，，，，，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例3-4、已知函数则不等式的解集为______．
例3-5、已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例3-5、设函数（且）的图像经过点.
（1）解关于x的方程；
（2）不等式的解集是，试求实数a的值.
四、函数图像的定点
例4-1、(1)函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )
A．y＝ B．y＝|x－2| C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)
(2)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是( )
A. B. C. D.
练习、求下列函数的定点
五、函数图像的应用
例5-1、(1)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2] D.
例5-2、(1)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是____________．
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是___________．
例5-3、已知函数（且）的图像如下左图所示，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
例5-4、函数，的图象如上右图所示，则（ ）
A． B． C． D．
例5-5、（多选题）已知，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
六、单调性问题
例6-1、(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是___________.
(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是____________.
例6-2、已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
七、最值问题
例7-1、(1)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
(2)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________.
例7-2、若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例7-3、已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
八、初等函数综合问题
例8-1、设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
例8-2、(1)(多选题)设 ，则（ ）
A. B. C. D.
(2)若，则（ ）
A． B． C． D．
例8-3、(1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的大致图象可能是( )
(2)已知函数f(x)＝ex＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A. B．(－∞，e) C. D.
(3)如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.
例8-4、(1)(多选题)函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 在定义域内单调递増
C. 不等式 的解集为
D. 函数 的图象关于直线 对称
(2)若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是
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