广东2024届高三摸底测试数学试卷（含解析）

南海区2024届高三摸底测试
数学试题
本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 这三个数的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
3. 由成对样本数据得到的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线必过
B. 直线至少经过中的一点
C. 直线是由中的两点确定的
D. 这n个点到直线的距离之和最小
4. 下列式子中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 已知直线是圆对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为P，则|PA|＝（ ）
A. 2 B. C. 7 D.
6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. C. 3 D. 15
7. 在凸四边形ABCD中，，E，F分别是边AD，BC的中点，，若以AB，CD为边分别画两个正方形，，再画一个长度、宽度分别为AB，CD的长方形，则所画三个图形，，的面积之和为（ ）
A 7 B. 14 C. 21 D. 28
8. 已知数列对任意满足，则（ ）
A 4040 B. 4043 C. 4046 D. 4049
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知是定义在上不恒为0奇函数，是的导函数，则（ ）
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
10. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的图象与直线仅有三个交点
C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称
12. 设A，B是一个随机试验中两个事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知复数z与都是纯虚数，则______．
14. 已知直线：，过点作直线，则和的交点坐标为______．（用含A，B的式子表示）
15. 中，D为边AC上一点，BD平分，且，，，则______．
16. 若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）存在常数，使得对每一个正整数n都有，求．
18. 如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A，B是底面圆周上不同两点，线段AB不过底面圆心O，AB的中点为Q，，垂足为H，C为PA的中点．
（1）求的大小；
（2）求平面与圆锥底面的夹角．
19. 已知，为锐角，求证：“”是“”成立的充要条件．
20. 某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统由3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为，且每个电子元件能否正常工作是相互独立，若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，否则就需要维修．
（1）求系统需要维修的概率；
（2）为提高系统正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作．问：满足什么条件时可以提高整个系统的正常工作概率？
21. 设动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）当时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：相切，且与曲线交于点A，B．求面积的最大值．
22. 已知函数．
（1）证明：不论取何值，曲线均存在一条固定的切线，并求出该切线方程；
（2）若为函数的极小值点，求的取值范围；
（3）曲线是否存在两个不同的点关于轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求出集合、，再求并集可得答案.
【详解】集合，
集合，
则.
故选：B.
2. 这三个数的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别比较与中间值0和1的大小关系即可得答案.
【详解】解：因为，，，
所以，
故选：C.
3. 由成对样本数据得到的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线必过
B. 直线至少经过中的一点
C. 直线是由中的两点确定的
D. 这n个点到直线的距离之和最小
【答案】A
【解析】
【分析】由求经验回归方程的方法最小二乘法可判断选项．
【详解】解：由最小二乘法公式可知，所以经验回归方程必过，故A正确
最小二乘法求出的经验回归方程不一定经过点，故BC错误；
最小二乘法保证的是竖直距离之和的绝对值最小，故D错误；
故选：A．
4. 下列式子中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和与差的正弦展开式化简可判断A；利用两角和与差的正弦余弦展开式化简可判断B；举反例可判断C；利用两角和的正弦余弦展开式正余弦的二倍角公式化简可判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，
，故B错误；
对于C，若，则，
，
，故C错误；
对于D，
，故D正确
故选：D.
5. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为P，则|PA|＝（ ）
A. 2 B. C. 7 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题可知圆心及半径，结合条件可知直线经过圆心，进而得出点的坐标，然后根据圆的切线长公式即得.
【详解】由题可得圆的标准方程为：，
可知圆心的坐标，半径为，
因为直线是圆的对称轴，
所以直线经过圆心，则，
解得，故，
由于过点作圆的一条切线，切点为，
.
故选：C.
6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. C. 3 D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，5个因式中，3个因式选择，2个因式选择常数，即可求解.
【详解】由组合知识可知，含的求解，需要从5个因式中，3个因式选择，2个因式选择常数，则含的项的系数是.
故选：A
7. 在凸四边形ABCD中，，E，F分别是边AD，BC的中点，，若以AB，CD为边分别画两个正方形，，再画一个长度、宽度分别为AB，CD的长方形，则所画三个图形，，的面积之和为（ ）
A. 7 B. 14 C. 21 D. 28
【答案】D
【解析】
【分析】连接取的中点,连接,构造，在中，再利用余弦定理转化得，从而得解.
【详解】如图，
延长与交于点
由，得
连接取的中点,连接,
则由三角形中位线定理知，
,
在中，由余弦定理得
即
所以三个图形，，的面积之和为
故选：
8. 已知数列对任意满足，则（ ）
A. 4040 B. 4043 C. 4046 D. 4049
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列的递推公式可知相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，写出的表达式即可求出结果.
【详解】由可得；
两式相减可得；
即相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，且公差为4，
所以可得，即；
当时，，因此.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知是定义在上不恒为0的奇函数，是的导函数，则（ ）
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，得到为偶函数，再结合函数的奇偶性的定义及判定方法，逐项判定，即可求解
【详解】根据题意，可得，
因为为奇函数，可得，可得，
即，即，所以为偶函数，
由，即为奇函数，所以A正确；
由，即为偶函数，所以B正确；
由，所以为偶函数，所以C错误；
由，所以为偶函数，所以D正确.
故选：ABD.
10. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．
【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；
故选：BCD
11. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的图象与直线仅有三个交点
C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称
【答案】AC
【解析】
【分析】令，则，对求导，得到的单调性，比较可判断A；与为奇函数，只需求的图象与直线在上的交点个数，设，对求导可得在上恒成立，可判断B；由可判断C；取特值可判断D.
【详解】对于A，，
令，所以令，
，令，解得：，
令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，，
，所以的最大值为，故A正确；
对于B，，
所以为奇函数，而也为奇函数，
故要求的图象与直线在上的交点个数，
只需判断的图象与直线在上的交点个数即可，
设，
，
所以在上单调递减，而，
所以在上恒成立，即与的图象在上没有交点，
所以与的图象在上也没有交点，
又，故在上有且仅有一个零点.
则的图象与直线只有一个交点，故B错误.
对于C，，
故的图象关于点对称，故C正确；
对于D，取，，
的图象关于不关于直线对称，故D错误.
故选：AC.
12. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用和事件的概率公式可得，进而求得，即A错误，B正确；由条件概率计算公式计算可知C正确，D错误.
【详解】由可知，
又可得，
由可得，所以A错误；
由可知，，所以B正确；
由条件概率公式可得，即C正确；
又可得，同理，即D错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：求解概率计算问题时互斥事件概率的加法公式要灵活变形应用，结合概率性质即可得出结论.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知复数z与都是纯虚数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设复数，得到，结合都是纯虚数，列出方程组，即可求解.
【详解】由复数是纯虚数，可设复数，
可得，
因为都是纯虚数，可得，解得，
所以.
故答案为：
14. 已知直线：，过点作直线，则和的交点坐标为______．（用含A，B的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】先求出直线，再求出和的交点坐标.
【详解】因为直线：，直线，
所以设，又因为过点，
则，则，所以，
则，解得：，
故和的交点坐标为：.
15. 中，D为边AC上一点，BD平分，且，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由角平分线定理设，由结合数量积定义可得，再表示出，代入，即可得出答案.
【详解】因为BD平分，且，，设，
由角平分线定理可得：，即，所以设，
因为，则，所以，
所以，
又因为，
又因为，
所以，所以.
故答案为：.
16. 若圆锥内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为______．
【答案】.
【解析】
【分析】根据题意求得内切球的半径解得，结合，得到，得出圆锥的体积，结合基本不等式得出圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积.
【详解】设圆锥的内切球的半径为，可得，解得，
再设圆锥的底面圆的半径为，高为，如图所示，
由，可得，即，解得，
所以圆锥的体积，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时，母线长为，
此时圆锥的表面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）存在常数，使得对每一个正整数n都有，求．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为，由条件先求出公差和公比，得出数列的通项公式；
（2）再由条件可得，解方程可得出答案.
【小问1详解】
设的公差为，的公比为.
由，，，．
则，解得，.
所以，
.
【小问2详解】
由，可得：对一切正整数都成立.
于是，，
则，即，即，
解得：，.
18. 如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A，B是底面圆周上不同两点，线段AB不过底面圆心O，AB的中点为Q，，垂足为H，C为PA的中点．
（1）求的大小；
（2）求平面与圆锥底面夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆锥的几何特征，由线面垂直的判定定理可证明平面，即可得为直角；
（2）建立空间直角坐标系，由（1）中的结论可求得两平面的法向量，利用空间向量即可求得平面与圆锥底面的夹角为.
【小问1详解】
根据题意连接，如下图所示：
由圆锥的轴截面是等腰直角三角形可知；
易知，又因为为的中点，所以；
，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以；
又为中点，且，所以；
，平面，
所以平面，平面，可得，因此为直角；
即.
【小问2详解】
以为坐标原点，在圆锥底面内的垂线为轴，分别为轴、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
不妨设，则，则
显然圆锥底面的一个法向量为，
由（1）可知即为平面的一个法向量，
设平面与圆锥底面的夹角为，
则，可得；
即平面与圆锥底面的夹角为.
19. 已知，为锐角，求证：“”是“”成立的充要条件．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】先证充分性再证必要性即可．
【详解】由得，所以，
，
所以，所以充分性成立；
因为，
所以，
若，即，
因为，为锐角，得为锐角，为锐角，
所以，即，
所以，即，
此时不成立；
若，即，
因为，为锐角，得为锐角，为锐角，
所以，即，
所以，即，
此时不成立；
故有，所以，
所以，所以必要性成立；
故“”是“”成立的充要条件．
20. 某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统由3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为，且每个电子元件能否正常工作是相互独立，若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，否则就需要维修．
（1）求系统需要维修的概率；
（2）为提高系统正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作．问：满足什么条件时可以提高整个系统的正常工作概率？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）电路需要维修有以下两种情形：
情形一：电路中没有电子元件可以正常工作.
情形二：电路中有且仅有一个电子元件可以正常工作.
由次独立重复实验中事件恰好发生次的概率计算公式，再结合并事件的概率公式即可求出系统需要维修的概率.
(2)把整个系统的正常工作概率用含的代数表示出来最终解不等式即可，至于去表示整个系统的正常工作概率的时候，具体可以分为以下三种情形：
情形一：电路中有且仅有个电子元件正常工作.
情形二：电路中有且仅有个电子元件正常工作.
情形三：电路中有且仅有个电子元件正常工作.
【小问1详解】
记事件，
事件
事件，显然事件与事件互斥，则由题意可知.
所以系统需要维修的概率为.
【小问2详解】
记，，，，
则由题意可知
且显然事件、事件、事件两两互斥，则,将分别代入并整理得.由（1）可知系统原来的正常工作概率为，若新增两个电子元件后整个系统的正常工作概率提高了，则有不等式成立，解得,考虑实际意义知.综上当时，可以提高整个系统的正常工作概率.
21. 设动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）当时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：相切，且与曲线交于点A，B．求面积的最大值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到方程，分，和三种情况，得到轨迹方程及轨迹的形状；
（2）直线斜率不存在，不合要求，设直线，联立，由得到，联立，由根的判别式大于0求出，设得到两根之和，两根之积，表达出，换元后构造，求导后得到极值和最值，求出答案.
【小问1详解】
设，则，
化简得，，
当时，，轨迹为一条直线；
当时，，此时轨迹为焦点在轴上的椭圆；
当时，，此时轨迹为焦点在轴上的双曲线；
综上：当时，轨迹方程为，轨迹为一条直线，
当时，轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的椭圆；
当时，轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线；
【小问2详解】
当时，，
当直线斜率不存在时，又与相切，故此时直线，此时三点共线，不合要求，舍去，
设直线，联立得，
由得，显然，
联立得，，
由，结合，解得，
设，
则，
设直线与轴交于点，则，
则
，
将代入得，
因为，令，则，
，
设，则设，则
，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
故最大值为.
圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
22. 已知函数．
（1）证明：不论取何值，曲线均存在一条固定的切线，并求出该切线方程；
（2）若为函数的极小值点，求的取值范围；
（3）曲线是否存在两个不同的点关于轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；；（2）；（3）不存在；答案见解析．
【解析】
【分析】（1）求出导数，求出与无关的导数值，得切点及斜率，从而得切线方程；
（2）在导函数中，令，由导数得出时，，递增，，然后按，，分类讨论，确定0是极小值点，得结论．
（3）设，由（2）可知函数在上单调递增，用反证法证明即可．
【详解】（1），
易得，均与无关，
所以不论取何值，曲线都存在固定切线为．
（2），
设，则，
当时，即函数在上单调递增，且．
①当时，函数在上单调递增，无极值，不符；
②当时，由函数得性质可知：
存在，当时，，
函数单调递减，与为函数的极小值点矛盾，不符；
③当时，由函数得性质可知：
存在，当时，，单调递减，
又因为当时，，单调递增，
所以为函数的极小值点，符合．
综上有．
（3）不存在，理由如下：
设，由（2）可知函数在上单调递增，
假设曲线存在两个不同的点关于轴对称，
设其坐标分别为，，其中．
由得：，
与在上单调递增矛盾，
所以曲线不存在两个不同的点关于轴对称．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，导数与极值．解题关键掌握导数与单调性的关系，极值的定义．是函数的极小值点除必须有外还必须在左侧，右侧