北京171中学2023-2024高三开学考数学(无答案）

数 学
(考试时间：120分钟 总分：150分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合，或，则
（A） （B） （C） （D）
2. 已知，，，则
（A） （B） （C） （D）
3. 在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则
（A） （B） （C） （D）
4. 二项式的展开式的第二项是
（A） （B） （C） （D）
5. 设，则下列不等式中正确的是
（A） （B）
（C） （D）
6. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为
（A） （B） （C） （D）
7．“”是“双曲线：的虚轴长为2”的
（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件
（C） 充要条件 （D）既不充分也不必要条件
8. 函数．若存在，使得，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
9. 在等比数列中，，记（，2，…）.则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
10. 已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若，，则以下结论正确的是
（A）中至少有一个为正数
（B）中至少有一个为负数
（C）中至多有一个为正数
（D）中至多有一个为负数
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 函数的定义域是______．
12. 在中，，，则_______.
13．已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积最大时，直线的倾斜角为 .
14. 在四边形中，. 若，则=____.
15. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：
① D1O⊥AC； ②存在一点P，D1O∥B1P；
③ 若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为；
④ 若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.
其中所有正确结论的序号是_________________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16. （本小题13分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形BCC1B1是边长为1的正方形，AB＝2，M，N分别为AD，A1B1的中点.
（I）求证：MA1//平面ANC；
（II）求直线CN与平面D1AC所成角的正弦值.
17. （本小题13分）已知函数．
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设，且，求的值．
18. （本小题14分） 天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮. 视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领.
下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中.
星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四*
视星等
绝对星等
赤纬
（Ⅰ）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
（Ⅱ）已知北京的纬度是北纬，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于
时，能在北京的夜空中看到它. 现从这颗恒星中随机选择颗，记
其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记时颗恒星的视星等的方差为，记时颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系.（结论不需要证明）
19（本小题15分）. 已知函数
（I）已知直线与曲线相切，且与坐标轴围成等腰三角形，求直线的方程；
（II）已知，设曲线在点处的切线被坐标轴解得的线段长度为，求的最大值.
20. （本小题15分）已知椭圆的离心率是，且过点．直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线分别与轴交于点．判断，的大小关系，并加以证明．
21（本小题15分）设数集满足：①任意,有；②任意,有或，则称数集具有性质.
（Ⅰ）判断数集是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）若数集且具有性质.
(ⅰ)当时，求证：是等差数列；
(ⅱ)当不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）