2022-2023学年广东省清远市四校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年广东省清远市四校联盟高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分。在每小题列出的选项中，选
1．（5分）设f（x）是可导函数，且＝2，则f'（1）＝（　　）
A． B．﹣1 C．0 D．﹣2
2．（5分）一质点的运动方程为s＝sint，则t＝1时质点的瞬时速度为（　　）
A．sin1 B．cos1 C．﹣sin1 D．﹣cos1
3．（5分）某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（　　）
A．6种 B．9种 C．18种 D．24种
4．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能是图中的（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）若3名老师教6个班，每人教2个班，则分配方案有（　　）
A．90种 B．45种 C．24种 D．18种
6．（5分）根据历年气象统计资料，某地区四月份刮西北风的概率为，既刮西北风又下雨的概率为．则该地四月份在刮西北风的条件下，下雨的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）袋中有4个黑球，3个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）＝xlnx﹣+tx﹣1（t∈R）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则下列说法错误的是（　　）
A．t＞ln2﹣1
B．曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线可能与直线x﹣y＝0垂直
C．f（x）＜0
D．x1+x2＞
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）下列计算正确的是（　　）
A．（e﹣x）'＝﹣e﹣x B．
C．（sin2x）'＝2cos2x D．（lgx）'＝
（多选）10．（5分）下列给出的式子中正确的是（　　）
A．＝C
B．C＝C
C．C＝C+C
D．C+C+C＝7
（多选）11．（5分）关于多项式（﹣x）6的展开式，下列结论正确的是（　　）
A．各项系数之和为1 B．二项式系数之和为26
C．存在常数项 D．x4的系数为12
（多选）12．（5分）下列结论正确的是（　　）
A．当x∈（0，π）时，x＞sinx B．当x＞0时，1﹣＞lnx
C．（x+1）ex＞﹣ D．x2＞﹣
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）已知函数在x＝3处取得极值，则实数m＝　 　．
14．（5分）从数字1，2，3，4中任取一个数，记为i，再从1至i中任取一个整数，记为j，则取到的j为数字2的概率是 　 　．
15．（5分）若（x+2） 展开式的常数项等于﹣280，则a＝　 　．
16．（5分）如图，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D四个部分涂色，要求每一个部分只涂一种颜色，且相邻两个部分的颜色不同，则不同的涂色方法共有 　 　（用数字作答）种．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知点P和点Q是曲线y＝x2﹣2x﹣3上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求：
（1）割线PQ的斜率；
（2）点P处的切线方程．
18．（12分）已知数列{an}满足a1＝3，an+1＝2an+1（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn．
19．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，SC＝3，AC⊥BC，CE＝2EB＝2，AC＝，CD＝ED．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣SD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）求点A到平面SCD的距离．
20．（12分）在①asinC＝ccosA，②b2+c2﹣a2＝bc，③sinA﹣cosA＝1三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且_____．
（1）求角A；
（2）若a＝2，则△ABC的面积为，求b，c．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（12分）已知f（x）＝xlnx，g（x）＝x3+ax2﹣x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片C上的某一点M1恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕KQ，设折痕KQ与直线M1C的交点T．
（1）证明：|TC|﹣|TM|为定值，并求出点T的轨迹C'的轨迹方程；
（2）若曲线C'上一点P，点A，B分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，求△AOB面积的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分。在每小题列出的选项中，选
1．（5分）设f（x）是可导函数，且＝2，则f'（1）＝（　　）
A． B．﹣1 C．0 D．﹣2
【分析】根据已知条件，结合导数的定义，即可求解．
【解答】解：＝﹣2，
则f'（1）＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的定义，属于基础题．
2．（5分）一质点的运动方程为s＝sint，则t＝1时质点的瞬时速度为（　　）
A．sin1 B．cos1 C．﹣sin1 D．﹣cos1
【分析】求出函数的导数，代入t的值，求出t＝1时质点的瞬时速度即可．
【解答】解：∵s＝sint，∴s′＝cost，
∴t＝1时，s′＝cos1，
故选：B．
【点评】本题考查了导数的意义，考查求导公式，是基础题．
3．（5分）某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（　　）
A．6种 B．9种 C．18种 D．24种
【分析】分两步进行，先排体育课，再排其他三科，分别计算其情况数目，进而由分步乘法公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，先排体育课，有3钟排法，
再排其他三科，有A33＝6种排法；
则不同排法共有3×6＝18种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的运用，要优先处理特殊的元素，即有特殊要求或受到限制的元素．
4．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能是图中的（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．
【解答】解：由y＝f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，
故函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y＝f（x）在区间（0，2）上单调递减；
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
5．（5分）若3名老师教6个班，每人教2个班，则分配方案有（　　）
A．90种 B．45种 C．24种 D．18种
【分析】先把6个班平均分三组，然后分给3名老师全排．
【解答】解：6个班平均分三组有＝15种分法，
把三个班分给老师全排共有15A＝90种分法，
故选：A．
【点评】本题考查了排列组合以及简单计数问题，涉及了平均分配问题，属于基础题．
6．（5分）根据历年气象统计资料，某地区四月份刮西北风的概率为，既刮西北风又下雨的概率为．则该地四月份在刮西北风的条件下，下雨的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用条件概率的计算公式即可得出．
【解答】解：设某地区四月份刮西北风为事件A，事件B表示四月份下雨，
则在刮西北风的条件下，下雨的概率为P（B|A）＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查条件概率的求法，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键．
7．（5分）袋中有4个黑球，3个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】记Ai：骰子抛出的点数为（i＝1，2，3），事件B：取出的球全是白球，分别求出P（A2B），P（B），利用条件概率可解决此题．
【解答】解：记Ai：骰子抛出的点数（i＝1，2，3），事件B：取出的球全是白球，
则P（Ai）＝，P（B）＝×+×+×＝，
∴已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：P（A2|B）＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查条件概率及古典概型，考查数学运算能力及抽象能力，属于中档题．
8．（5分）已知函数f（x）＝xlnx﹣+tx﹣1（t∈R）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则下列说法错误的是（　　）
A．t＞ln2﹣1
B．曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线可能与直线x﹣y＝0垂直
C．f（x）＜0
D．x1+x2＞
【分析】对于A：求导得f′（x）＝lnx﹣+t+1，根据题意可得f′（x）有两个变号的零点，可得1﹣ln2+t＞0，即可判断A是否正确；
对于B：由导数的几何意义可得曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为f′（e），若切线与直线x﹣y＝0垂直，则k＝﹣1，即可判断B是否正确；
对于C：因为f′（x1）＝0，即lnx1﹣+t+1＝0，则f（x1）＝x1lnx1﹣+tx1﹣1＝x1（﹣t﹣1）﹣+tx1﹣1＝﹣（t+1）x1﹣+tx1﹣1＝﹣x1﹣1，由A可知0＜x1＜＜x2，利用二次函数的性质，即可判断C是否正确；
对于D：由题知f′（x2）＝0，即＝，要证x1+x2＞x1x2，只需证+＞，即证+＞，即可判断D是否正确．
【解答】解：对于A：f′（x）＝1+lnx﹣+t＝lnx﹣+t+1，
令g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣＝（x＞0），
令g′（x）＝0得x＝，
所以当x＞时g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＜时g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）max＝g（）＝1﹣ln2+t，
由题知g（x）有两个变号零点，
所以g（x）max＝1﹣ln2+t＞0，即t＞ln2﹣1，故A正确；
对于B：曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为f′（e）＝t，
若切线与直线x﹣y＝0垂直，则k＝﹣1即t＝﹣1，与t＞ln2﹣1矛盾，故B错误；
对于C：因为f′（x1）＝0，即lnx1﹣+t+1＝0，
所以f（x1）＝x1lnx1﹣+tx1﹣1＝x1（﹣t﹣1）﹣+tx1﹣1＝﹣（t+1）x1﹣+tx1﹣1＝﹣x1﹣1，
由A可知0＜x1＜＜x2，
所以利用二次函数的性质可知f（x1）＜0，故C正确；
对于D：由题知f′（x2）＝0，即lnx2﹣lnx1＝（x2﹣x1），
即＝，
要证x1+x2＞x1x2，
只需证+＞，
即证+＞，
令t＝（t＞1），t﹣＞2lnt（t＞1），
设h（t）＝t﹣﹣2lnt（t≥1），
则h′（t）＝1+﹣＝≥0，
所以h（t）在[1，+∞）上单调递增，
所以h（t）≥h（1）＝0，
所以t﹣＞2lnt（t＞1），
所以x1+x2＞x1x2，故D正确，
故选：B．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）下列计算正确的是（　　）
A．（e﹣x）'＝﹣e﹣x B．
C．（sin2x）'＝2cos2x D．（lgx）'＝
【分析】根据导数的运算法则对选项逐一判断即可．
【解答】解：A选项，（e﹣x）′＝﹣ex，故A选项正确；
B选项，，故B选项错误；
C选项，（sin2x）'＝2cos2x，故C选项正确；
D选项，（．故D选项错误；
故选：AC．
【点评】本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列给出的式子中正确的是（　　）
A．＝C
B．C＝C
C．C＝C+C
D．C+C+C＝7
【分析】根据组合数的运算及性质，逐一检验选项即可．
【解答】解：选项A，＝×10＝10C≠C，A错误；
选项B，C＝C，B正确；
选项C，C＝C+C，C正确；
选项D，C+C+C＝1+3+3＝7，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查组合数的运算，考查组合数性质的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）关于多项式（﹣x）6的展开式，下列结论正确的是（　　）
A．各项系数之和为1 B．二项式系数之和为26
C．存在常数项 D．x4的系数为12
【分析】对于多项式（﹣x）6的展开式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于多项式（﹣x）6的展开式，令x＝1，可得各项系数之和为1，故A正确；
二项式系数和为26＝64，故B正确；
根据它的通项公式为Tr+1＝ 26﹣r （﹣1）r x2r﹣6，当r＝3时，x的幂指数等于零，故第四项为常数项，故C正确；
令展开式中x的幂指数等于4，求得r＝5，可得展开式中x4的系数为 ×2×（﹣1）＝﹣12，
故D错误，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）下列结论正确的是（　　）
A．当x∈（0，π）时，x＞sinx B．当x＞0时，1﹣＞lnx
C．（x+1）ex＞﹣ D．x2＞﹣
【分析】构造函数，再求出导数并判断单调性即可判断ABC，利用举实例判断D．
【解答】解：A选项，令y＝x﹣sinx，则y′＝1﹣cosx≥0，则函数y＝x﹣sinx在R上递增，则当x∈（0，π）时，x﹣sinx＞0﹣sin0＝0，则x＞sinx恒成立，A正确；
B选项，令y＝1﹣﹣lnx，则y′＝，则函数y在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，ymax＝1﹣1﹣0＝0，∴≤0，∴1﹣≤lnx，B错误；
C选项，y＝（x+1）ex，则y′＝（x+2）ex，则函数y在（﹣2，+∞）上递增，在（﹣∞，﹣2）上递减，∴ymin＝（﹣2+1）e﹣2＝，∴（x+2）ex≥，∴C正确；
D选项，当x＝﹣1时，则，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性，考查计算能力，是中档题．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）已知函数在x＝3处取得极值，则实数m＝　﹣2　．
【分析】列出关于则实数m的等式，即可求得实数m的值．
【解答】解：，
因为函数f（x）在x＝3处取得极值，所以，
解之得m＝﹣2，经检验符合题意．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
14．（5分）从数字1，2，3，4中任取一个数，记为i，再从1至i中任取一个整数，记为j，则取到的j为数字2的概率是 　　．
【分析】设事件A表示“取到的i为数字1”，事件B表示“取到的i为数字2”，事件C表示“取到的i为数字3”，事件D表示“取到的i为数字4”，事件E表示“取到的j为数字2”，由全概率公式能求出取到的j为数字2的概率．
【解答】解：从数字1，2，3，4中任取一个数，记为i，再从1至i中任取一个整数，记为j，
设事件A表示“取到的i为数字1”，事件B表示“取到的i为数字2”，事件C表示“取到的i为数字3”，
事件D表示“取到的i为数字4”，事件E表示“取到的j为数字2”．
则，
∴P（E|A）＝0，，，，
由全概率公式，可得则取到的j为数字2的概率是：
．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查全概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）若（x+2） 展开式的常数项等于﹣280，则a＝　2　．
【分析】先求出 展开式中的系数，结合 展开式的常数顶﹣280，求解即可．
【解答】解：的展开式的通项公式为：，
所以当k＝3时，项的系数为：，
的展开式无常数项，
所以（x+2）展开式的常数项为：，解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
16．（5分）如图，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D四个部分涂色，要求每一个部分只涂一种颜色，且相邻两个部分的颜色不同，则不同的涂色方法共有 　260　（用数字作答）种．
【分析】根据题意，先分析A区域，有5种颜色可选，即有5种涂法方案，再分①若B、D区域涂不同的颜色，②若B、D区域涂相同的颜色，两种情况讨论其他3个区域的涂色方案，由分类计数原理可得其他个区域的涂色方案的数目；再由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：对于A区域，有5种颜色可选，即有5种涂法，
分类讨论其他3个区域：①若B、D区域涂不同的颜色，则有＝12种涂法，C区域有3种涂法，此时其他3个区域有12×3＝36种涂法；
②若B、D区域涂相同的颜色，则有4种涂法，C区域有4种涂法，此时其他3个区域有有4×4＝16种涂法；
则共有5×（36+16）＝5×52＝260种；
故答案为：260．
【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知点P和点Q是曲线y＝x2﹣2x﹣3上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求：
（1）割线PQ的斜率；
（2）点P处的切线方程．
【分析】（1）根据函数的解析式求出P、Q的坐标，计算PQ的斜率；
（2）利用导数求出P点的斜率，写出过点P的切线方程．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣4，当x＝4，y＝5；
∴P（1，﹣4），Q（4，5）；
∴割线PQ的斜率为kPQ＝＝3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴y′＝2x﹣2；
当x＝1时，kP＝2×1﹣2＝0；
∴点P处的切线方程为y﹣（﹣4）＝0，
即y+4＝0．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的概念与应用问题，是基础题目．
18．（12分）已知数列{an}满足a1＝3，an+1＝2an+1（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn．
【分析】（1）由an+1＝2an+1（n∈N*），变形为an+1+1＝2（an+1），即可证明结论．
（2）结合（1），利用等比数列的通项公式及其求和公式，即可得出．
【解答】解：（1）证明：∵an+1＝2an+1（n∈N*），
∴an+1+1＝2（an+1），
a1+1＝4，
∴数列{an+1}是等比数列，首项为4，公比为2．
（2）由（1）可得：an+1＝4×2n﹣1，即an＝2n+1﹣1，
∴Sn＝22+23+…+2n+1﹣n＝＝2n+2﹣4﹣n．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，SC＝3，AC⊥BC，CE＝2EB＝2，AC＝，CD＝ED．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣SD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）求点A到平面SCD的距离．
【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量的坐标，得到DE⊥CD，DE⊥CS，求出线面垂直即可；
（Ⅱ）设平面SAD的法向量为＝（x，y，z），求出一个法向量，代入余弦公式即可求出余弦值；
（Ⅲ）作AH⊥平面SCD，垂足为H，求出的坐标，从而求出点A到平面SCD的距离．
【解答】解：如图示：
，
以C为原点建立空间直角坐标系，
由题意得：A（，0，0），C（0，0，0），D（1，1，0），E（0，2，0），S（0，0，3），
（Ⅰ）证明：∵＝（﹣1，1，0），＝（1，1，0），＝（0，0，3），
∴ ＝﹣1+1+0＝0， ＝0+0+0＝0，
即DE⊥CD，DE⊥CS，
∵CD∩CS＝C，
∴DE⊥平面SCD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得＝（﹣1，1，0）为平面SCD的一个法向量，
设平面SAD的法向量为＝（x，y，z），
而＝（﹣，1，0），＝（﹣，0，3），
则，即，
不妨设x＝2，可得＝（2，1，1），
易知二面角A﹣SD﹣C为锐角，
因此有|cos＜，＞|＝＝，
即二面角A﹣SD﹣C的余弦值是；
（Ⅲ）解：＝（﹣，0，0），＝（﹣，1，0），＝（﹣，0，3），
作AH⊥平面SCD，垂足为H，
设＝x+y+z＝（﹣x﹣y﹣z，y，3z），且x+y+z＝1，
由⊥，⊥，得：
，解得，
∴＝（﹣，，0），||＝，
即点A到平面SCD的距离是．
【点评】本题考查了线面垂直，考查平面的法向量，点到平面的距离，是一道中档题．
20．（12分）在①asinC＝ccosA，②b2+c2﹣a2＝bc，③sinA﹣cosA＝1三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且_____．
（1）求角A；
（2）若a＝2，则△ABC的面积为，求b，c．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）若选①asinC＝ccosA，由正弦定理进行化简可求tanA，进而可求A；
若选②b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可求cosA，进而可求A；
若选③sinA﹣cosA＝1，结合辅助角公式进行化简可求A；
（2）由已知结合三角形面积公式可得bc＝4，然后结合余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）若选①asinC＝ccosA，
由正弦定理得sinAsinC＝sinCcosA，
因为sinC＞0，
所以sinA＝cosA，即tanA＝，
由A为三角形内角得A＝；
若选②b2+c2﹣a2＝bc，
由余弦定理得cosA＝＝，
由A为三角形内角得A＝；
若选③sinA﹣cosA＝1，
则2sin（A﹣）＝1，即sin（A﹣）＝，
由A为三角形内角得A＝；
（2）因为a＝2，△ABC的面积S＝＝bc＝，
所以bc＝4，
因为b2+c2﹣a2＝bc，
所以b2+c2＝4+4＝8，
故（b+c）2﹣2bc＝8，
所以b+c＝4，b＝c＝2．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角及辅助角公式，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
21．（12分）已知f（x）＝xlnx，g（x）＝x3+ax2﹣x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）
（2）已知条件可以转化为a≥lnx﹣x﹣恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+1，
令f′（x）＜0得：0＜x＜，
∴f（x）的单调递减区间是（0，），
令f'（x）＞0得：x＞，
∴f（x）的单调递增区间是（，+∞），
（2）∵g′（x）＝3x2+2ax﹣1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1，
∵x＞0，
∴a≥lnx﹣x﹣恒成立 ①，
设h（x）＝lnx﹣﹣，
则h′（x）＝﹣+＝﹣
令h′（x）＝0得：x＝1，x＝﹣（舍去）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；
当x＞1时，h'（x）＜0
∴当x＝1时，h（x）有最大值﹣2，
若①恒成立，则a≥﹣2，
即a的取值范围是[﹣2，+∞）．
【点评】本题考查了导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立的问题，属于中档题．
22．（12分）在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片C上的某一点M1恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕KQ，设折痕KQ与直线M1C的交点T．
（1）证明：|TC|﹣|TM|为定值，并求出点T的轨迹C'的轨迹方程；
（2）若曲线C'上一点P，点A，B分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，求△AOB面积的取值范围．
【分析】（1）由对称性可得：|M1T|＝|TM|，代入计算可得||TC|﹣|TM||为定值，根据双曲线的定义可得点T的轨迹C'的轨迹方程；
（2）根据题意可设A、B的坐标，设P（xp，yp），然后利用向量的坐标运算得到P点的坐标，将点P的坐标代入双曲线的方程，将△AOB的面积λ表示出来，然后求出最值即可．
【解答】证明：（1）∵题干中给出：“折叠纸片C上的某一点M1恰好与M重合”
∴点M1与M关于PQ对称，
则|M1T|＝|TM|，
||TC|﹣|TM||＝||TC|﹣|M1T||＝|CM1|＝6，
且||TC|﹣|TM||＝6＜＝|CM|，
由双曲线定义知，点T的轨迹C'为以C，M为焦点，实轴长为6的双曲线，
设双曲线C'方程为：，
则由题意可知：，
所以b2＝c2﹣a2＝3，
所以双曲线方程为．
（2）由题意知，l1，l2分别为双曲线的渐近线，
设，{这样设只有x一个未知量}．
由，设P（xp，yp），
则，
所以，{要记住这个结论，如果这是一道小题，可直接得出这个结果}．
因为P点在双曲线上，所以将点P坐标代入双曲线．
，
化简得到：，
即．
又，
同理，
设OA的倾斜角为，
则．
所以．
由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在（1，2]上单调递增，
所以当λ＝1时，；
当时，；
故．
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