秘密★启用前
【考试时间：9月2日16：15-18：15】
2023年重庆一中高2024届高三上期开学考试
数学测试试题卷
注意亭项：
1,答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，
2作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A=x∈Ny=n(5-x)+√x-2}的真子集个数为
A.7
B.8
c.15
D.16
[1,x>0
2.已知符号函数sgn(x)={0,x=0,则“sgm(a)×sgm(b)=-1”是“ab<0”的，
-1,x<0
A.充分不必要条件1
B.必要不充分条件
C,充要条件
D.既不充分也不必要条件
f(x+1,x≤0
3.已知函数f(x)=
x2-3x-4,x>0
则fr(6》=
A.6
B.-6
c.4
D.0
4.一组数据按从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15，x,17,,22,26,经计算，该组数据中位数是16，若75%分位
数是20，则x+y=
A.33
B.34
C.35
D.36
5.已知fx)是定义在R上的奇函数，(x+2)+f2-x)=0,且当-2则f(2022)+f（2023)+f2024)
A.0
B.-1
C.1
D.2
6.已知41：a2,4,44∈12,3,4Wa1,42,4,a4)为a,a2,a,a,中不同数字的种类，如N1,1,2,3)=3,N2,2,1)=2,
记“Na,42,a3,a)=2”为事件A,则事件A发生的概率P(4)=
9
g16
64
D
3
16
1设R,后分别为前圆号+长=收>b>0)的左右焦点，M为热四上一点，直线M析R分别交椭调于点AB,
若MF=2FA,MT=3F,B,则椭圆离心率为
3
A.
0.②
21
7
c
7
8.已知实数a,b,c满足：a=3i-34,b=h3,c=4-2W3,测
e3
A.a>b>c
B.b>c>a
C.b>a>c
Dc>a>b
二、选择题：本题共4)题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知实数a,b,c满足a>b>1,c>0,则
A.2°-2<3h-30
B.b°>a
1
c.jna+÷+c>】
D.asatc
bb+c
10某儿茧乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲，乙两家游乐场玩的概率分别为0.3和0.7，如果他箅一
天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐扬的祗空为07：如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的橱率为
Q6。若王同学这两天不是去甲游乐场玩就是去乙游乐场玩，则王同学
A第二天去甲游乐场的祸率为0.63
B.第二天去乙游乐场的概率为0.42
2
C第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率
3
D第二天去了乙游乐场，则第-天去甲游乐场的概率为
3
11.设a>0,b>0,a+b=】,则下列结论正确的是
AVa+7+V-b的最大值为6+互
2
B.l0g2d+log2b的最大值为-2
Ca3+b的最小值为月
4
0Q46
的最小值为
ab
第2页共4页2023 年重庆一中高 2024 届高三上期开学考试
数学测试试题卷（答案）
一、单选题：1--4:ACBD 5--8:CBDA
2 x 1 2 3 1 1
8.解：由 ln x 得： ln 3 ln 3 4 2 3
x 1 3 1 2
x x 3 1 1 1 14 在 1 2 x x 中，取 x 3, x 1得： 3 ln 3 34 3 4
ln x1 ln x
1 2 1 2
2 ln 3 2
二、多选题：9.CD 10.AC 11.BCD 12.ABD
1 1
12.解：对于 A 选项， f x x，由于 e ex，故 f x 0，所以 y f x 是增函数，故 A 对
ex e x
对于 B 选项， 0 x1 x2，则 e
1 x1 e1 x2 0, x2 1
x1
x x
故1 2 0 1 x，从而 e 1 e1 x2 1 2 ，故 B 对
x1 x1
对于 C 选项， f x e x 2ln x在 0, 单调递减，最多只有一个零点，故 C 错
x1 x2 m m 1 m 1对于 D选项， ，则 0
e x1 e x2 x e x1 x x21 2 e
f x m 1即 x 0有两个不同的正根 x1, x2，易得0 x1 1 xx e 2
f x m ln x 1 x1 ln x 1 x ln x而 1 1 11 1 x x 1 x x ，同理 f x
x
2
ln x2 1
e 1 e 1 e 1 e 1 2 e x2
构造函数 g x x ln x 1 1 x ln x x x 0 ，则 g x x 0恒成立e e
故 g x 在 0, 单调递减，
0 1 x1 1 x2，则 g x2 g 1 g x1 ，即0 f x2 f x1 e
又0 x1 1，则 x1 ln x1 1 x1 x1 1 1 1 e x1
故 f x x 1 ln x1 11 e x 11
故0 f x2 f x1 1 于是 D 对
2
三、填空题：13.0.2 14. 220 15.m 1 16.
e
1 f x
16.解：由 f x 0， f x 0可知 f ' (x) 0 f (x)单调递增.f x
1
{#{QQABLYKEogiAAAJAABgCQQGgCEGQkAECCAgOQEAMIAIByAFABAA=}#}
ln f eax 1 f eax不等式变形为 1 ln f 1 x 1 ln x2 1 f 1 x ln x2
a x a x
注意到 g(x) ln x x ax 1 1 2 ax 1 1 2单调递增，故 f e 1 f x ln x ，即 e 1 x ln x
a x a x
ax
进一步变形得： ax(e 1) ln x2 x2 1 （*）
h(x) x(e x构造 1) h' (x) (x 1)e x 1,h' ' (x) (x 2)e x
所以 h' (x)在 ( , 2) 2单调递减，在 ( 2, )单调递增，故 h' (x) h' ( 2) 1 e 0 h(x)单调递增.
* h(ax) h(ln x2 2（ ）等价于 )，即 ax ln x 2ln x a 2ln x 恒成立
x
2ln x 2 2 2
求导可知 y 的最大值为 ，所以 a ，即正实数 a的最小值为
x e e e
四、解答题
17.解：（1）证明：连接 AC,BD交于点R，连接 PQ,PR, A1C1
由中位线可知 PQ // AC 1 11 1且 PQ A1C1，由因为 AR // A1C1且 AR AC2 2 1 1
所以 PQ // AR且 PQ AR，所以 PQAR为平行四边形，所以 AQ // PR ..............（3 分）
结合 AQ 平面 PBD， PR 平面 PBD可知 AQ //平面 PBD ...........（4 分）
（2）以D为原点，DC,DA,DD1为坐标轴建立如图坐标系.
此时D(0,0,0),B(2,2,0),P(1,0,2), DB (2,2,0),DP (1,0,2)，
设平面 PBD的法向量为m (x, y, z)，
则由DB m 0, DP m 0可知：
2x 2y 0
x 2, y 2, z 1 m (2, 2, 1) ........（8 分）
x 2z 0
显然平面 BCD的法向量为 n (0,0,1) ..........（9 分）
设二面角 P BD C的平面角为 ，则 为锐角.
cos m n 2 0 ( 2) 0 ( 1) 1 1所以 ............（10 分）
m n 4 4 1 0 0 1 3
2
{#{QQABLYKEogiAAAJAABgCQQGgCEGQkAECCAgOQEAMIAIByAFABAA=}#}
4 3
18.解：（1）设 an 的公差为 d ，则由已知a1 3d 15, 4a1 d 36 .........（4 分）2
解得 a1 3,d 4 an 4n 1 ............（6 分）
b a2 n 1
S
n 1
Sn 1 1
（ ）由于 n SnSn 1 S S S S
...............（10 分）
n n 1 n n 1
b b b ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1所以 1 2 n ) ( ) ( ) S1 S2 S2 S3 Sn S S S S 3
............（12 分）
n 1 1 n 1 1
19. x x解：（1）由已知 f ( x) g( x) e f (x) g(x) e ，
与 f (x) g(x) e x联立解得 f (x)
1
(e x 1 e x ), g(x) (e x e x ) ...........（4 分）
2 2
f ' (x) 1 x x求导可知 (e e )
2
令 f ' (x) 0 f (x)的增区间为 (0, )，令 f ' (x) 0 f (x)的减区间为 ( ,0) .........（6 分）
t t 2 4
（2 x x 2）设 t e e 2，则 f (x) , g (x) ，已知转化为：
2 4
2
3 t 4 t a 0在 t 2时恒成立..............（9 分）
4 2
分离参数得 2a t 8 8 8 由均值不等式 t 2 t 4 2 ，取等条件 t 2 2 2，
t ， t t
8
故 t 的最小值为 4 2，所以t 2a 4 2 a 2 2
故实数 a的取值范围为： ( ,2 2] .............（12 分）
1 2 1 1 1
20.解：（1）甲投球 1 次获胜的概率 p1 ，甲投球 2 次获胜的概率 p3 2
，
3 2 3 9
2 1 2 1 1 1
甲投球 3 次获胜的概率 p3 3 2 3 2 3 27
1 1 1 13
所以甲获胜的概率 p p1 p2 p3 .............（4 分）3 9 27 27
（2）记“甲第 i次投中”为事件 Ai，“乙第 i次投中”为事件 Bi，其中1 i n，
当1 j n 1时，投篮结束时甲恰好投篮 j次的概率为：
p j p(A1B1A2B2 A j 1B j 1A j ) p(A1B1A2B2 A j 1B j 1A jB j )
(2 1) j 1 1 (2 1 2 1 1 ) j 1 2( ) j .............（7 分）
3 2 3 3 2 3 2 3
3
{#{QQABLYKEogiAAAJAABgCQQGgCEGQkAECCAgOQEAMIAIByAFABAA=}#}
投篮结束时甲恰好投篮 n次的概率为：
pn p(A1B1A2B2 An 1Bn 1An ) p(A1B1A2B2 An 1Bn 1An )
(2 1 )n 1 1 (2 1 )n 1 2 1 ( )n 1 .............（9 分）
3 2 3 3 2 3 3
n 1 n 1
E( ) jp np 2 j(1) j n(1 n 1所以 j n )
j 1 j 1 3 3
n 1
S 1 1 1 1 j( ) j 1 2 ( )2 (n 1)( )n 1 E( ) 2S n(1)n 1设 ，则
j 1 3 3 3 3 3
1
则 S 1 (1)2 2 (1 )3 (n 1)(1)n，错位相减得：
3 3 3 3
2 S 1 1 ( )2 1 1 ( )3 ( )n 1 (n 1)(1)n 1 1 1 3 3 3 1 (n )( )n S ( n )( )n
3 3 3 3 3 3 2 2 3 4 2 4 3
所以 E( ) 2[3 (3 n 3 )(1)n ] n(1)n 1 3 3 1 ( )n .............（12 分）
4 2 4 3 3 2 2 3
2
21.解：（1）由 BD DF a a可知： b2 1 .............（2 分）
4 2
整理得b2 a 1 a2 a 2 0 a 2，所以b a2 c2 3，
x2 y2
所以椭圆C的方程为 1 . .............（4 分）
4 3
（2）设 P(x1, y1),Q(x2 , y2 ),M (x3 , y3),N (x4 , y4 )
依题意，圆T的方程为 (x 2)2 (y t)2 t 2 4，
令 x 2，则 y2 2ty 4 0，由韦达定理可得 y3y4 4 .............（6 分）
由已知直线 PQ不与 y轴垂直，设直线 PQ的方程为 x my n，
与椭圆联立得： (3m2 4)y2 6mny 3n2 12 0
y y 6mn
2
, y y 3n 12由韦达定理可得 1 2 1 2 ， .............（8 分）3m2 4 3m2 4
由 A,P,M 三点共线得 AP // AM ，所以
(x 2)y 4y y 4y1 4y 4y1 3 1 3 1 y 2x 2 my n 2，同理 41 1 my2 n 2
y y 16y y所以 3 4 1 2 4(my1 n 2)(my2 n 2)
4
{#{QQABLYKEogiAAAJAABgCQQGgCEGQkAECCAgOQEAMIAIByAFABAA=}#}
去分母整理得： (4 m2 )y1y2 m(n 2)(y1 y2 ) (n 2)
2 0， .............（10 分）
(4 m2 ) 3n
2 12
将韦达定理带入得： m(n 2) 6mn (n 2)22 03m 4 3m2 4
整理得 n2 n 2 0 n 1或 n 2
当 n 2时，直线 PQ过点 A，不合题意，所以 n 1，
所以直线 PQ的方程为 x my 1，恒过定点 (1,0) .............（12 分）
22.解：（1）a 0时 f (x) x ln x 2x， f ' (x) ln x 3 ............（1 分）
设切点为 (x0 , x0 ln x0 2x0 )，则切线斜率为 k f ' (x0 ) ln x0 3
切线方程： y (x0 ln x0 2x0 ) (ln x 3)(x x ) .............（3 分）0 0
将点 (0, 1)带入得： 1 (x0 ln x0 2x0 ) (ln x0 3)( x0 ) x0 1
此时斜率 k 3，所以切线方程为 y 3x 1 .............（4 分）
2 1
（2）函数 f (x)的定义域为 (0, )， f ' (x) 3 ln x 3ax , f ' ' (x) 6ax
x
①当 a 0时 f ' ' (x) 0 f ' (x)在 (0, )单调递增
注意到 x 0时 f ' (x) ，注意到 x 时 f ' (x)
故存在 x0 (0, )，使得 f ' (x0 ) 0，在 x (0, x0 )时 f ' (x) 0, f (x)单调递减，在 x (x0 , )时 f ' (x) 0, f (x)
单调递增，函数 f (x)有极小值，无极大值，不符合题意. .............（6 分）
②当 a 0时，令 f ' ' (x) 0 x (0, 1 )，令 f ' ' (x) 1 0 x ( , )
6a 6a
所以 f ' (x)在 (0, 1 ) 1单调递增，在 ( , )单调递减.
6a 6a
当 x 0时 f ' (x) ，当 x 时 f ' (x) f ' ( 1 ) 5 1 ， ln 6a
6a 2 2
所以 f ' (x) 5 1max ln 6a2 2
5 1
若 ln 6a 0，则 f ' (x) 0恒成立， f (x)在 (0, )单调递减，无极值和最值. .............（8 分）
2 2
5 1 5
若 ln 6a e 1 0，即 a ，此时存在0 x1 x2 ，使得 f ' (x1) f ' (x2 ) 02 2 6 6a
5
{#{QQABLYKEogiAAAJAABgCQQGgCEGQkAECCAgOQEAMIAIByAFABAA=}#}
且在 (0, x1), (x2 , )有 f ' (x) 0， f (x)单调递减；在 (x1, x2 )有 f ' (x) 0， f (x)单调递增，
此时 f (x2 )为 f (x)的极大值.
注意到 x 0时 f (x) 0，要使 f (x)无最大值，则还应满足 f (x2 ) 0 .............（10 分）
2 3 ln x
即 x2 ln x2 ax
3
2 2x 0（*），同时 f ' (x2 ) 0 3 ln x 3ax 0 a
2
2 2 2 3x22
3
带入（*）整理得 2ln x2 3 0 x 22 e
1 1 3 3
由于 x2 ，且 f ' (x)在 ( , )单调递减，故 f ' (x2 ) f ' (e 2 ) f ' (e 2 ) 06a 6a
3 3
即 3ae 3 e 0 a
2 2
e3 e5
综上实数 a的取值范围为 ( , ) .............（12 分）
2 6
6
{#{QQABLYKEogiAAAJAABgCQQGgCEGQkAECCAgOQEAMIAIByAFABAA=}#}
