第1章一元二次方程 单元复习题（含解析）2023-2024学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程 单元复习题
一、选择题
1．一元二次方程的二次项系数是（　　）
A． B． C． D．
2．把方程化成的形式，则、的值分别是（　　）
A．2，9 B．2，7 C．-2，9 D．-2，7
3．若是一元二次方程的两个根.则的值为（　　）
A．3 B．10 C． D．
4．“绿水青山就是金山银山”，某地为打造绿色产业，实行退耕还林，若计划2022年退耕还林10万公顷，以后退耕还林面积逐年递减，递减率均为10%，那么预计2024年退耕还林的面积为（　　）
A．10万公顷 B．9万公顷 C．8.1万公顷 D．7.29万公顷
5．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0
6．方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
7．若关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．设是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B．2018 C． D．2022
9．设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+20等于（　　）
A．1 B．5 C．11 D．13
10．某市某鞋厂10月份的运动鞋产量为24万双，因销量较好，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万双设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．已知：是关于x的一元二次方程，则m=　 　.
12．已知关于的一元二次方程的两根为、，则方程的两根为　 　.
13．已知关于的一元二次方程有两个实数根、，且，则　 　.
14．在一次同学聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了份礼物，则参加聚会的同学的人数是　 　.
三、解答题
15．关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．
16．已知为方程的根，化简并求值.
17．已知关于x的一元二次方程的两根、满足，求k的值．
18．某商店以每个8元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个14元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价每上涨1元，则每天的销售量就减少2个.每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元？
四、综合题
19．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，
（1）解方程x2+2x-8=0，
（2）方程x2+2×-8=0　 　(填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”　 　
20．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0.
（1）证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根.
21．已知关于x的方程，
（1）求证：方程恒有两不等实根；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且，求a的值.
22．“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同.
（1）求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？
（2）该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品.该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为： ，
∴一元二次方程的二次项系数是.
故答案为：.
【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：方程，
移项得：，
配方得：，即 ，
∵一元二次方程化成的形式，
∴ .
故答案为：C.
【分析】首先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“4”左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而进行比较即可得出答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴，
由根与系数的关系可得：.
故答案为：D.
【分析】根据根与系数的关系可得x1x2=，据此解答.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：10×（1-10%）2=8.1（万公顷 ），
即预计2024年退耕还林的面积为8.1万公顷，
故答案为：C.
【分析】根据题意求出10×（1-10%）2=8.1（万公顷 ），即可作答。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：把代入一元二次方程得，
解得，
而，
的值为.
故答案为：B.
【分析】将x=0代入方程中可得a的值，由一元二次方程的概念可得a-1≠0，据此可得a的值.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：，
方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，k为非负整数，
∴4-4（k-2）＞0，k-2≠0
解之：k＜3且k≠2，
∵k为非负整数，
∴k=0，1，
∴符合条件的k的个数为2个.
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程的定义可知k-2≠0，一元二次方程有两个不相等的实数根，可知b2-4ac＞0，可得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集，再根据k为非负整数，可确定出k的值.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴
＝
＝
＝.
故答案为：C.
【分析】根据根与系数的关系可得a+b=-1，ab=-2020，将待求式变形为ab-(a+b)+1，然后代入计算即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x-3＝0的两根，
∴x1+x2＝-1，x12+x1-3＝0，x22+x2-3＝0，
∴x12＝-x1+3，x22＝-x2+3，
∴x13＝x1（-x1+3）＝-x12+3x1＝-（-x1+3）+3x1＝4x1-3，
∴x13-4x22+20＝4x1-3-4（-x2+3）+20＝4（x1+x2）+5，
∴x13-4x22+20＝4×（-1）+5＝1．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根和根与系数关系，可得x1+x2＝-1，x12+x1-3＝0，x22+x2-3＝0，从而得到x12＝-x1+3，x22＝-x2+3，再将原式变形并代入数值计算即可求解.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意得
24+24（1+x）+24（1+x）2=88.
故答案为：D
【分析】此题的等量关系为：10月份的运动鞋产量+ 11月份的运动鞋产量 + 12月份的运动鞋产量 =88，据此列方程即可.
11．【答案】-3
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义可得： ，
解得：.
故答案为：-3.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，则m-1≠0且|m+2|=2，联立求解可得m的值.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两根为、，
∴，
整理得，
∴
解得：，
∴方程为，
即，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据方程根的概念方程可化为a（x+1）（x-2）=0，解得a=-1，c=2，再将a、c的值代入后面的方程，利用因式分解法求解即可.
13．【答案】-4
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-(2m+1)，x1x2=m-2，然后根据x1+x2+x1x2=1可得关于m的方程，求解即可.
14．【答案】20
【解析】【解答】解：设有x人参加这次聚会，
∵每两人都互赠了一件礼物，
∴每人要送出件礼物，
依题意得，
解得：，（不符合题意，舍去），
故答案为：20.
【分析】设有x人参加这次聚会，则每人要送出（x-1）件礼物，根据人数×每人送出的礼物的数量=送出礼物的总数量，建立方程，求解即可.
15．【答案】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，
2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，
所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，
解得b＝1，c＝﹣2．
【解析】【分析】将一元二次方程化为2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，再利用待定系数法可得b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，最后求出b、c的值即可。
16．【答案】解：
，
∵，即，
∴，，
当时，原式；当当时，原式，
综上所述，分式的值为或1.
【解析】【分析】对括号中的式子进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，利用因式分解法求出方程的根，然后选取使分式有意义的x的值代入计算即可.
17．【答案】解：根据题意，得
， ．
∵
∴ ，
解得 ．
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数，可表示出x1+x2，x1x2的值，再将等式转化为（x1+x2）2-2x1x2=5，然后整体代入，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
18．【答案】解：设每个陀螺涨价元，则每天可售出个，
依题意，得，
解得，，
∵要让顾客得到实惠，
，
答：当每个陀螺张价4元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元.
【解析】【分析】设每个陀螺涨价x元，则每天可售出(40-2x)个，每个的利润为(14-8+x)，根据每个的利润×每天的销售量=总利润结合利润为320元建立关于x的方程，求解即可.
19．【答案】（1）解：方程x2+2x-8=0， 可化为(x+4) (x-2) =0，解得x=-4或2
（2）解：不是；x2+9x+18=0． (答案不唯一)
【解析】【解答】（1）原方程化为：（x+4）（x﹣2）＝0，
则x+4＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝2；
（2）解：∵x1＝﹣4，x2＝2，
∴两个根不满足其中一个根是另一个根的2倍，则该方程不是“倍根方程”，
“倍根方程”可以为x2+9x+18＝0，因为它的两个根是x1＝﹣3，x2＝﹣6，满足x2＝2x1．
故答案为：不是；x2+9x+18＝0（答案不唯一）．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据所给“倍根方程”的定义判断解答即可．
20．【答案】（1）证明：△ ，
，
，
，
，
，即△ ，
方程有两个不相等的两个实数根；
（2）解： 是方程 的一个根，
，
解得： ，
则方程为： ，
解得： ， ，
方程的另一根为-2.
【解析】【分析】（1）根据方程可得△=b2-4ac=(m-1)2+8，然后结合偶次幂的非负性进行证明；
（2）将x=1代入方程中可得关于m的方程，求出m的值，然后代入方程中利用因式分解法就可求出方程的另一根.
21．【答案】（1）证明：∵
∴该方程恒有二不等实根；
（2）解：由根与系数的关系，，
∵，
∴，
∴，
解得.
【解析】【分析】（1）根据△=b2-4ac表示出△，然后根据其结果的正负即可确定方程根的情况；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=3a，x1x2=-3a-6，由多项式与多项式的乘法法则可得(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=1，代入求解可得a的值.
22．【答案】（1）解：设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，根据题意，
得200（1+x）2=288，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），
∴该景点接待游客数量的周平均增长率为20%，
∴200（1+20%）=240（人），
∴该景点在6月份的第二周接待游客为240人；
（2）解：∵该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的1.8倍，
∴该景点第四周接待游客为240×1.8=432（人），
设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，则该景点售出B种旅游纪念品（432-a）件，
根据题意得：W=5a+8（432-a）=-3a+3456，
∵售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，
∴432-a≤3a，
解得：a≥108，
∵-3＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a=108时，W最大，最大值为3132，
∴W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元.
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，并用直接开平方法求解并检验即可求出增产率，进而即可算出第二周接待的游客人数；
（2）首先算出第四周接待的游客人数， 设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，则该景点售出B种旅游纪念品（432-a）件， 根据单件的利润乘销售数量=总利润及a件A种旅游纪念品的利润+（432-a）件B种纪念品的利润=W，建立出函数关系式，再根据售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍求出a的取值范围，进而结合一次函数的性质即可解决问题.