人教版七年级数学上册1.4.1有理数的乘法 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）

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人教版七年级数学上册 1.4.1 有理数的乘法 导学案
【知识清单】
1.有理数的乘法
（1）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘仍得0.
（2）有理数乘法法则的推广：
①几个数相乘，有一个因数为0，积为0.
②几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；负因数有奇数个，积为负；负因数为偶数个，积为正；积的绝对值等于各因数绝对值的积。
2.倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数。倒数的求法：若，则的倒数是；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。
3.有理数的乘法运算律：
（1）乘法的交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等（）；
（2）乘法结合律：3个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积相等。
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。。
【典型例题】
考点1：两个有理数的乘法运算
例1．下列各组数中，乘积等于1的是（ ）
A．2和 B．和 C．和1 D．和
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法运算法则和绝对值的意义计算判断即可．
【详解】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算法则及绝对值的意义，通过乘数的符号来判断即积的符号，熟记有理数乘法运算的法则是解题的关键．
考点2：多个有理数的乘法运算
例2．小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）
A．80 B．90 C．100 D．120
【答案】B
【分析】分别列出两个正整数的和为5，6，7，8的所以可能的情况，然后求解即可．
【详解】解：和为5的两个正整数可为：1，4或2，3；
和为6的两个正整数可为：1，5或2，4或3，3；
和为7的两个正整数可为：1，6或2，5或3，4；
和为8的两个正整数可为：1，7或2，6或3，5或4，4；
∵每次所得的和最小是5，
∴最小的两个数字为2或3；
∵每次所得的和最大是8，
∴最大的两个数字为4或5；
当最大数字为4时，四个整数分别为2，3，4，4；
当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5；
∴，，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的应用．解题的关键在于分类讨论进行求解．
考点3：有理数乘法的实际应用
3．现行人教版数学课本七年级（上）封面的面积大约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据生活中的数学课本封面为长方形，大致估算出长和宽即可得到答案．
【详解】解：数学课本封面为长方形，其宽度大约为，长大约为，
现行人教版数学课本七年级（上）封面的面积大约为：，
故选：B．
【点睛】本题考查数学知识在现实生活中的应用，掌握基本数学尝试，灵活运用于日常生活是解决问题的关键．
考点4：倒数
4．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．相乘得1的两数互为倒数．
【详解】解：的倒数是
故选：D．
【点睛】本题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
考点5：有理数乘法运算律
5．与计算结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘法运算律即可求解．
【详解】解：
故选：B
【点睛】本题考查有理数的乘法运算律：用括号外的项分别乘以括号内的每一项，再把所得的结果相加．
【巩固提升】
选择题
1．已知数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．自然数6的所有因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是，像这样的数叫做完全数（也叫完美数）．下面的数中（ ）是完全数．
A．24 B．28 C．36 D．9
3．下列说法中正确的个数有（ ）．
①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数：④数轴上表示的点一定在原点的左边：⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如果a，b，c为非零有理数且，那么的所有可能的值为（ ）
A．0 B．1或 C．1或 D．或3
5．小时（ ）分钟．
A． B． C．
6．小明的爸爸月工资为6000元，扣除5000元个税免征额后，爸爸剩余的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，小明的爸爸应缴纳个人所得税（　　）元．
A．135 B．105 C．30 D．165
7．一个数的倒数是它本身，那么这个数是（　　）
A．0 B．0或1 C．1或 D．0或
8．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
9．算式可以化为（ ）
A． B． C． D．
10．下图可以表示算式（ ）的计算道理．
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：等于 ．
12．在数4、、3、、1中，任意取3个不同的数相乘，其中乘积最大是 ．
13．体育课每星期上两节，两节课的安排要满足如下要求：①每天只能上一节；②不能连续两天都有体育课；③每天可以在节的任意一节上这门课；④星期六和星期日不能安排．则这门课共有 种安排方式．
14．倒数是它本身的数是 ．
15．计算： ．
三、解答题
16．简便计算
(1)；
(2)．
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
18．某卡车沿公路东西方向行驶，向东为正，向西为负．以下是某天该车从A地出发后到收工回家所走路线如下：（单位：千米）．
(1)问该司机的家在出发点A什么方向，离出发点A多少千米？
(2)若出发时油箱存油30升，该出租车每千米耗油升，问到收工回家后油箱内剩下油多少升？
19．定义一种新运算：“*”，规则为，如，求出的值．
20．简便计算
(1)
(2)
参考答案
1．A
【分析】先根据数轴可以得到，再利用实数的运算法则即可判断．
【详解】解：根据点在数轴的位置知：，，
A、∵，
∴，故本选项正确；
B、∵，
∴，故本选项错误；
C、∵，，
∴，故本选项错误；
D、，，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用数轴来进行实数大小比较，解题关键是读懂数轴上点的关系．
2．B
【分析】根据完全数的定义，找到因数，再按照题干的方法相加即可判断．
【详解】解：A、的因数有1，2，3，4，6，8，12，24，而，故不是完全数，不合题意；
B、的因数有1，2，4，7，14，28，而，故是完全数，符合题意；
C、的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36，而，故不是完全数，不合题意；
D、的因数有1，3，9，而，故不是完全数，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了因数，有理数的加法和乘法，能够理解完全数的含义是解题的关键．
3．A
【分析】由有理数的含义与分类可判断①，③，由相反数的含义可判断②，由不一定是负数可判断④，由有理数的乘法的符号确定的方法可判断⑤，从而可得答案．
【详解】解：最大的负整数是；故①符合题意；
相反数是本身的数是0；故②不符合题意；
有理数分为正有理数和负有理数和0：故③不符合题意；
数轴上表示的点不一定在原点的左边：故④不符合题意；
几个非零有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数．故⑤不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是有理数的含义与分类，相反数的含义，有理数的乘法运算的符号问题，熟记基础概念与运算法则是解本题的关键．
4．C
【分析】先根据有理数乘法法则判断a，b，c有1个或者3个负数，分类讨论解题即可．
【详解】解：，
∴a，b，c有1个或者3个负数，
∴当a，b，c有1个负数时，，
当a，b，c有3个负数时，，
故选C．
【点睛】本题考查有理数的乘法法则，绝对值，掌握有理数乘法法则是解题的关键．
5．B
【分析】小时分钟，单位换算：大单位换小单位乘它们之间的进率，小单位换大单位除以它们之间的进率．
【详解】解：∵，
∴小时分钟．
故选：B．
【点睛】本题考查时间单位的换算及有理数的乘法．掌握时间单位的换算方法及有理数的乘法是解题的关键．
6．C
【分析】由题意，列代数式，计算求解．
【详解】解：
（元）
故选：C．
【点睛】本题考察列代数式，理解题中数量之间的关系是解题的关键．
7．C
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】解：∵，
∴1的倒数是1，
∵，
∴的倒数是，
∵0没有倒数，
∴这个数是1或．
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．
8．C
【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数．
【详解】解：，故的倒数是；
故选：C.
【点睛】本题考查倒数的定义，掌握定义是解题的关键．
9．A
【分析】先将化为，再运用乘法分配律进行求解即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数乘法的简便运算，熟练掌握假分数与带分数之间的关系是解题的关键．
10．B
【分析】根据题意把表中四个算式相加，再根据乘法分配律判断即可．
【详解】解：由图可知：
故选B．
【点睛】本题考查了乘法分配律，解题的关键是掌握乘法分配律的意义和原理．
11．
【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，再把它们的绝对值相乘，根据乘法法则进行运算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，掌握“有理数的乘法运算法则”是解本题的关键．
12．48
【分析】根据正数大于0，大于负数，以及几个有理数相乘，负号的个数为奇数个时，积为负，负号的个数为偶数个时，积为正，进行求解即可．
【详解】解：乘积最大一定为正数，当三个因数都为正数时，积为，当由两个因数为负数，另一个为最大的正数时，积为，
∵，
∴乘积最大是48；
故答案为：48
【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握符号法则，以及运算法则，是解题的关键．
13．
【分析】首先从安排在哪天来说有6种情况，而每一节体育课又有6种情况，然后可得答案．
【详解】解：由题意可知，这两节体育课可以安排在：周一和周三；周一和周四；周一和周五；周二和周四；周二和周五；周三和周五，共6种情况，而每一节体育课都有6种情况（从第一节到第六节），
所以这门课共有种安排方式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了排列组合的不相邻问题，判断出安排时间的情况数是解题的关键．
14．1或/或1
【分析】直接根据倒数的定义即可得到答案．
【详解】解：，，
倒数是它本身的数是1或，
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
15．2023
【分析】逆用乘法分配律进行计算即可.
【详解】解：原式
，
故答案为：2023.
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知乘法分配律是解题的关键.
16．(1)
(2)
【分析】（1）将变为，再利用乘法分配律计算，即可得到答案；
（2）直接利用乘法分配律计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，灵活运用乘法分配律是解题关键．
17．(1)2；
(2)；
(3)．
【分析】（1）先算乘除，后算加法，即可解答；
（2）先利用乘法，再算减法，即可解答；
（3）利用乘法分配律，进行简便运算，即可解答．
【详解】（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
，
；
（3）原式，
，
，
．
【点睛】此题考查了分数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．(1)该司机的家在出发点A东方，离出发点25千米
(2)升
【分析】（1）把所有的数相加，即可求解；
（2）把所有的数的绝对值相加可得出租车行驶的总路程，从而求出耗油量，即可求解．
【详解】（1）解：（千米）
答：该司机的家在出发点A东方，离出发点25千米；
（2）解：（千米）
（升）
答：收工回家后油箱内剩下油升．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，熟练掌握正负数的实际意义是解题的关键．
19．
【分析】利用题中新运算法则列算式求解即可．
【详解】解：由题意，，
则
．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，理解题中新运算法则，正确列出算式是解答的关键．
20．(1)
(2)5
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查有理数的乘法运算律，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
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