人教版七年级数学上册2.1整式 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）

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人教版七年级数学上册 2.1 整式 导学案
【知识清单】
1.单项式：数字与字母的积或者字母与字母的积。一个单独的数字或者具体的数字也是单项式。注意：数字与字母或者字母与字母相乘时乘号省略不写,且把数字写在字母的前面。
2.单项式的系数：单项式中的数字因数。如果在一个单项式中没有出现具体的数字,则它的系数是1.例如：xy它的系数是1,-n它的系数是-1.常数项（具体的数字）的系数就是它本身,例如：3的系数就是3,π的系数就是π。π是一个常数（具体的数字）,不是字母。
3.单项式的次数：单项式中所有字母指数的和。例如：的次数是2次,的次数是5次,的次数是3次。常数（具体的数字）的次数是0次,例如：3的次数就是0,π的次数是0。
4.多项式：几个单项式的和叫做多项式,其中每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫常数项。例如：多项式是由单项式、、、相加组成,所以、、、就是多项式的项,就是常数项。
5.多项式的次数：多项式中次数最高项的次数。要求一个多项式的次数,应该先求出它的每一个项的次数,然后再看哪个项的次数最高,那么次数最高项的次数就是这个多项式的次数。其中次数最高的项叫最高次项,例如：多项式,的次数是3次,的次数是1次,的次数是1次,的次数是0次,所以的次数最高,那么就是最高次项,则这个多项式的次数就是3次。
6.整式：多项式和单项式统称为整式。如果一个式子的分母中出现了字母（π除外）,那么它就不是整式（即它不是单项式,也不是多项式）。
7.同类项：含有相同的字母且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,例如与是同类项,因为这两个项中都含有字母m、n,并且字母m的指数都是3,字母n的指数都是2,所以他们是同类项。同类项与系数和字母的顺序无关,只与字母和字母的指数有关。注意：几个常熟项也是同类项,如3与5,-7与100等等。
8.合并同类项的方法：把每个同类项的系数相加,把字母以及字母的指数写在系数的后面,例如：=（3+5）=8。注意：是同类项才能合并,否则不能进行合并。
9.去括号的方法：
1.如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
2. 如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
注意,+（x-3）,可以看作1与（x-3）,去括号得：+（x-3）=x-3
-（x-3）可以看作-1与（x-3）,去括号得： -（x-3）=-x+3.
如果括号外的系数不是1和-1时,应先把符号放在括号外,用数字与括号内的每一项相乘,乘完之后再按照去括号的方法来去括号。
【典型例题】
考点1：代数式
例1．用式子表示“x与y的和的平方的相反数”是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据和、平方和相反数的定义即可得．
【详解】解：x与y的和的平方的相反数是：，
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式，理解语句题意是解题关键．
考点2：单项式
例2．下列说法正确的是（ ）
A．的系数是2 B．2不是单项式
C．是二次二项式 D．多项式的常数项为5
【答案】C
【分析】根据单项式的相关概念可以判断A、B；根据多项式的相关概念可以判断C、D，从而得到答案．
【详解】解：A．的系数是，故原选项错误，不符合题意；
B．2是单项式，故原选项错误，不符合题意；
C．是二次二项式，故原选项正确，符合题意；
D．多项式的常数项为，故原选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了单项式和多项式的相关概念，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单独的数字或字母也是单项式；几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项．
考点3：多项式
例3．已知多项式（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则的值为（ ）
A． B．3或 C．或4 D．或4
【答案】C
【分析】根据多项式及降幂排列的定义可得，，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，或，，
当，时，；
当，时，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
考点4：整式
例4．在代数式2，，，，中，是整式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据整式的定义进行解答即可．
【详解】解：整式有2，，，是整式，是根式，共有4个．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了整式的有关概念，要能准确区别整式、分式．对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式．
考点5：数学规律探索
例5．观察下列算式：，，，，，，，…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．7
【答案】D
【分析】先由前面8个具体的计算归纳得到个位数每四次循环，再利用规律解题即可．
【详解】解：，，，，，，，…，
归纳可得：个位数每四次循环，
∵，
∴与的个位数相同，是7；
故选D
【点睛】本题考查的是数字变化规律的探究，乘方的含义，掌握探究的方法并灵活应用规律解决问题是解题关键．
考点6：图形规律探索
例6．用火柴棍搭建如图所示的小鱼图形，搭建第6个小鱼图形需要用到的火柴棍根数是（ ）

A．36 B．38 C．40 D．48
【答案】B
【分析】根据图形得出第1个图中有火柴棒根，第2个图形有火柴棒根，第2个图形有火柴棒根，则第n个图形有根，从而得出第6个小鱼图形需要用到的火柴棍根数．
【详解】解：∵第1个图中有火柴棒（根），
第2个图形有火柴棒（根），
第2个图形有火柴棒（根），
……
第n个图形有根，
∴第6个小鱼图形需要用到的火柴棍根数为（根），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形规律探索，解题的关键是根据已知图形找出规律，第n个图形有火柴棒根．
【巩固提升】
选择题
1．甲袋有a千克大米，乙袋有b千克大米，如果从甲袋拿出9千克大米放入乙袋，那么甲、乙两袋质量相等．列成等式是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有3个顶点，第②个图形共有6个顶点，第③个图形共有10个顶点，……，按此规律排列下去，第⑨个图形顶点的个数为（ ）

A．45个 B．55个 C．60个 D．66个
3．下列式子，符合代数式书写格式的是（ ）
A．人 B． C． D．
4．在代数式，，，，，5中，单项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是 (　　)
A． B． C． D．
6．探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A． B． C． D．
7．下列式子：，，，4，，，，其中是多项式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．将代数式按y的降幂排列是（　　）
A． B．
C． D．
10．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，．．．，依此类推，则（ ）
A． B． C． D．
11．学习了正多边形的知识后，小张用正三角形、正方形、正六边形设计的一组图案，按照如下规律，第7个图案中正三角形的个数是（ ）
A．28个 B．30个 C．32个 D．34个
二、填空题
12．某品牌洗衣机降价后，每台售价为元，则该品牌洗衣机原来的价格为 元
13．在①3；②；③；④；⑤；⑥中，单项式有 ，多项式有 ，代数式有 ．（填序号）
14．单项式“”可以解释为：一个长方形的长是2米，宽是a米，这个长方形的面积是平方米，请你对“”再赋予一个含义： ．
15．单项式的系数是 ，次数是 ．
16．观察下列单项式：，，，，，按照此规律第6个单项式为 ．
17．多项式的次数是 ．
18．把多项式按y的降幂排列为 ．
19．将正整数按如图所示的规律排列下去，若用整数对表示第排，从左到右第个数，如表示整数9，则表示整数是 ．
三、解答题
20．国庆假期期间2名教师带8名学生去昆明融创海洋世界游玩，教师门票每人a元，学生门票每人b元，由于团体予以优惠，教师门票按8折优惠，学生门票按折优惠，则共需要门票费用多少元？（用含字母的式子表示）并计算当，时所需的门票费用．
21．小惠同学学习了轴对称知识后，忽然想起了过去做过的一道题：有一组数排列成方阵，如图所示，试计算这组数的和，小惠想方阵就像小正方形，正方形是轴对称图形，能不能利用轴对称的思想来解决方阵的问题呢？小惠试了试，竟得到了非常巧妙的方法．请你试试看！
22．下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个：
，，，，……
如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？
23．有一个关于、的多项式，每项的次数都是．
(1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______；
(2)写出同时满足下列要求的一个多项式：
①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列．
24．观察下列各式：，，，回答下面的问题：
(1) （写出算式即可）；
(2)计算的值；
(3)计算的值．
参考答案
1．B
【分析】根据题意，找出数量关系，即可而出等式．
【详解】解：根据题意可得：
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用字母表示数，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出等式．
2．B
【分析】根据已知图形找到规律：第n个图形中顶点的个数为： ．
【详解】解：第①个图形有：个顶点；
第②个图形有：个顶点；
第③个图形有：个顶点；
……
∴可知第n个图形有：个顶点，
∴第⑨个图形有：个顶点．
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形类规律，解题的关键是通过观察图形得出规律．
3．D
【分析】根据代数式的书写要求判断各项即可．
【详解】解：、的正确书写格式为人，故错误，不符合题意；
、的正确书写格式是，故错误，不符合题意；
、的正确书写形式是，故错误，不符合题意；
、书写正确，符合代数式的书写要求，故正确，符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了代数式的书写要求，解题的关键是注意书写规定：（）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，（）带分数要写成假分数的形式，（）代数式为和差且带有单位时应加上括号．
4．C
【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案．
【详解】解：，，，5是单项式，有4个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了单项式，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
5．C
【分析】根据单项式的系数和次数的意义即可解答．
【详解】解：A．3xy的系数是3，次数是2，故此选项不符合题意；
B.3x2y2的系数是3，次数是4，故此选项不符合题意；
C．-3x2y2的系数是-3，次数是4，故此选项符合题意；
D．4x3的系数是4，次数是3，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键．
6．A
【分析】根据题意，得出单项式的变化规律为：系数是以为底的幂，其指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号，据此作答即可．
【详解】解：根据题意，可得单项式的变化规律为：系数是以为底的幂，其指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号，
∴第9个单项式是．
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是解本题的关键．
7．B
【分析】根据多项式的定义解答即可．
【详解】解：由题意得，，均是多项式，共三个；
的分母含字母，不是整式；
，4，是单项式；
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．
8．B
【分析】根据多项式的概念得出关于m的方程，解方程可得答案．
【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了多项式的有关概念，多项式中每一个单项式称为该多项式的项；次数最高的项的次数即为该多项式的次数．
9．B
【分析】根据y的指数从大到小的方式排列即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按x还是y的降幂或升幂排列．
10．B
【分析】通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
，
∴每四次运算结果循环出现，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．
11．B
【分析】第1个图形中正三角形的个数为：6，第2个图形中正三角形的个数为：，第3个图形中正三角形的个数为：，…，据此可求得第n个图形中正三角形的个数，从而可求解．
【详解】解：∵第1个图形中正三角形的个数为：6，
第2个图形中正三角形的个数为：，
第3个图形中正三角形的个数为：，
……，
∴第n个图形中正三角形的个数为：，
∴第7个图案中正三角形的个数是：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
12．
【分析】降价，则按照原价的出售，再根据售价为x元进行列式求解即可．
【详解】解：根据题意得，该品牌洗衣机原来的价格为元，
故答案为：
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，理解售价为元对应原价的．
13． ①③ ②④ ①②③④⑥
【分析】根据单项式、多项式、代数式的定义进行判断即可．
【详解】由数字或字母的积构成的代数式叫做单项式，单独一个数字或字母也是单项式，所以①③是单项式；
几个单项式的和叫做多项式，所以②④是多项式；
整式和分式统称为代数式，所以①②③④⑥是代数式；
故答案为：①③；②④；①②③④⑥．
【点睛】本题考查单项式、多项式、代数式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
14．可以表示铅笔2元一支，购买a支，一共需要花费元（答案不唯一）
【分析】可以表示铅笔2元一支，购买支，一共需要花费元；只要符合实际情境的答案都可以．
【详解】解：可以表示铅笔2元一支，购买支，一共需要花费元，
故答案为：可以表示铅笔2元一支，购买支，一共需要花费元．
【点睛】本题考查代数式，熟练掌握代数式与实际问题的联系，能根据所给的代数式创设适当的问题情境是解题的关键．
15． 3
【分析】根据单项式的系数、次数的定义进行作答即可
【详解】解：由题意知，单项式的系数为，次数为，
故答案为：，3．
【点睛】本题考查了单项式的系数、次数．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16．
【分析】由各单项式的系数和字母因数的规律可得出第个单项式为，当时，即可得到答案．
【详解】解：各单项式的系数为，，，，，，
第个单项式系数为，
各单项式字母因数为，，，，，，
第个单项式字母因数为，
第个单项式为，
第6个单项式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了单项式规律题，根据题意得出规律：第个单项式为，是解题的关键．
17．3
【分析】根据多项式次数的定义求解即可．
【详解】解：的次数是3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
18．
【分析】按照y的指数的大小，从大到小进行排列即可．
【详解】解：把多项式按y的降幂排列为，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式的排列，会分清各项的指数和系数，在重新排列时一定不能改变该项的符号，这是解此题的关键．
19．198
【分析】根据表示整数9，表示的数是5，对图中给出的有序数对进行分析，可以发现：对所有数对有：，由此方法解决问题即可．
【详解】解：若用整数对表示第排，从左到右第个数，如表示整数9，表示的数是5，
，，
，
对所有数对有：，
，
故答案为：198．
【点睛】本题考查数字类规律探索，解答此类题目的关键是根据题目中给出的数值，认真分析，找出规律．
20．见解析
【分析】根据总费用等于教师所需费用与学生所需费用的和，列式表示，再把a，b的值代入求解．
【详解】解：需要门票费用为：元，
当时，
元，
∴共需要门票费用元，当时，所需的门票费用为1100元；
【点睛】本题考查了代数式的值，理解题意是解题的关键．
21．
【分析】分析每一行数据之间关系得出变化规律，进而分别得出每行的总和，即可得出答案．
【详解】解：第1行中间是13，则左右两数的平均数也是13，同理可得：11和15的平均数也是13，
故其和为：；
第2行中间是14，则左右两数的平均数也是14，同理可得：12和16的平均数也是14，
故其和为：；
第3行中间是15，则左右两数的平均数也是15，同理可得：13和17的平均数也是15，
故其和为：；
第4行中间是16，则左右两数的平均数也是16，同理可得：14和18的平均数也是16，
故其和为：；
第5行中间是17，则左右两数的平均数也是17，同理可得：15和19的平均数也是17，
故其和为：；
故所有数据的和为：．
【点睛】本题考查了数字变化规律，根据已知得出规律是解题的关键．
22．
【分析】观察单项式的正负规律、分子与分母的变化规律以及a的指数变化规律，据此写出第21个单项式．
【详解】解：第1个单项式为：，
第二个单项式为：，
第三个单项式为：，
第四个单项式为：，
…
第n个单项式为：．
∴第21个单项式为．
【点睛】本题考查了单项式．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
23．(1)；（答案不唯一）
(2)（答案不唯一）
【分析】（1）根据多项式的定义进行解答即可；
（2）根据多项式的系数和次数的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：多项式含有，，每项的次数都是，且，
各项的字母组成只能是： ，，，，
项数最多的一个多项式有四项，
项数最少的一个多项式有两项：（答案不唯一），
故答案为：，（答案不唯一）；
（2）需要同时满足：①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列，的关于、的多项式，每项的次数都是，
满足要求的多项式为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了多项式及其次数，系数，熟练掌握多项式及其次数，系数的定义是解答本题的关键．
24．(1)
(2)44100
(3)41075
【分析】（1）由前面的具体运算归纳可得：等式左边是几个数的立方和，右边是左边的数据的个数的平方以数据的个数加上1的和的平方的积的，从而可得答案；
（2）直接运用（1）中规律进行运算即可；
（3）把原式化为，再运用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
归纳可得：；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算的规律探究及其灵活应用，掌握探究的方法是解本题的关键．
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