15.1 分式
一、单选题
1．（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）在下列各式：，，，中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）下列分式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·甘肃兰州·八年级期末）若有意义，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 且x≠0 C． D．
4．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）当分式有意义时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）若有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＝﹣1 B．a≠﹣1 C．a＝ D．a≠
7．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）若分式 的值为零，则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）能使分式的值为零的所有x的值是( )
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝1或x＝﹣1 D．x＝2或x＝1
9．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如果把分式中的和都扩大倍，则分式的值（ ）
A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．缩小倍
10．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）若把分式中的和都扩大3倍，且，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
11．（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）将分式中的，的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定
12．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
13．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）下列各式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）当x 时，分式有意义.
15．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）若代数式的值等于零，则x= ．
16．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）若，则的值是 ．
17．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）若 与 互为相反数，则的值为 ．
18．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）已知，则分式的值为 ．
19．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）分式的最简公分母是 .
20．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）① ②.
参考答案：
1．B
【分析】判断分式的依据：两个整式相除，且分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：，是分式，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是熟练运用分式的定义，本题属于基础题型．
2．C
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0，即可作答．
【详解】A：当x=0时，分母=0，不符合题意；
B：当x=1或-1时，分母=0，不符合题意；
C：无论x取何实数，分母都不等于0，符合题意；
D：当x=-1时，分母=0，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练地掌握“当分母不等于0时分式有意义”是解题的关键．
3．C
【分析】根据分式有意义的条件为分母不为0，列不等式列不等式即可．
【详解】解：分式有意义，
则，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查分式有意义条件，解不等式，掌握分式有意义条件，解不等式方法是解题关键．
4．D
【分析】根据分式有意义的条件对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．当x＝0时，分式无意义，故本选项不符合题意；
B．当x＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
C．当x＝﹣1，分式无意义，故本选项不符合题意；
D．∵x2≥0，
∴x2+1＞0，
∴无论x取何值，分式总有意义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
5．C
【分析】分式有意义的条件是分式的分母不等于零，据此解答．
【详解】解：由题意得，
解得，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟记条件并正确计算是解题的关键．
6．D
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式解答即可．
【详解】解：由题意得：2a﹣1≠0，解得：a≠．
故答案为D．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出不等式是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【详解】解： ，
，
当 时， ， 不满足条件．
当 时， ， 当 时分式的值是 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解决本题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
8．B
【分析】根据分式的值为0的条件：分子等于0，分母≠0，构成不等式组求解即可．
【详解】由题意可知：
解得x=-1.
故选B.
【点睛】此题主要考查了分式的值为0的条件，利用分式的值为0的条件：分子等于0，分母≠0，构造不等式组求解是解题关键．
9．B
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案；
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质；解题的关键是熟练运用分式的基本性质进行化简比较．
10．C
【分析】根据分式的性质进行判断即可求解．
【详解】把分式中的和都扩大3倍，即，
分式的值为原来的，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．
11．C
【分析】将x变为2x，y变为2y计算后与原式比较即可得到答案．
【详解】解：将分式中的x、y的值同时扩大到原来的2倍为，
∴分式的值不变，
故选C．
【点睛】此题考查分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握分式的性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变．
12．D
【分析】根据要求对分式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，观察分式的前后变化．
【详解】因为分式中，x、y都扩大2得，
则
所以x、y都扩大2倍，分式的值缩小为原来的．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
13．B
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，判断的关键是正确对分式的分子，分母进行因式分解．
14．≠2
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，即可求得x的值．
【详解】分式有意义，则≠0，即x≠2.
故答案为:≠2.
【点睛】本题考查了分式的概念，分式概念中一个隐含的条件是分母不为零，分式才有意义．掌握此隐含条件是解答问题的关键．
15．-3
【分析】根据分式值为0可得x+3=0且x 5≠0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：x+3=0，且x-5≠0，
解得：x=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
16．-3
【分析】先根据题意得出-3（a-b）=ab，再代入原式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴-3（a-b）=ab．
原式==-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17．4
【分析】根据 与 互为相反数可以得到+=0，再根据分式存在有意义的条件可以得到1-x≠0，x≠0，计算解答即可．
【详解】∵ 与 互为相反数
∴+=0
又∵1-x≠0，x≠0
∴原式去分母得3x+4（1-x）=0
解得x=4
故答案为4
【点睛】本题考查的是相反数的意义、分式存在有意义的条件和解分式方程，根据相反数的意义得到+=0是解题的关键．
18．4
【分析】根据，可得 ，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了分式的化简，根据题意得到 是解题的关键．
19．72xyz2
【分析】根据通分的知识进行计算.
【详解】12、9、8的最小公倍数为72，
x的最高次幂为1，y的最高次幂为1，z的最高次幂为2，
所以最简公分母为72xyz2.
故答案为72xyz2.
【点睛】主要考查的是你对通分等知识点的理解.
20．① ②
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，可得答案.
【详解】①；
②.
故答案为①6a2；②.15.2 分式的运算
一、单选题
1．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）墨迹覆盖了“计算”中的右边计算结果，则覆盖的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A．－＝1 B． C． D．
3．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）计算的结果是【 】
A．0 B．1 C．－1 D．x
4．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如果a+b=3，那么的值是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
5．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）下列式子计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）计算（-3）-2的结果是（ ）
A．-9 B．-6 C．- D．
7．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）1纳米等于米，则用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
8．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）已知，则的值是 ．
9．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）化简的结果是 .
10．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）计算的结果是 ．
11．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）计算 ．
12．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）
13．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）计算： ．
14．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）计算： ．
15．（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，2020年2月11日，世界卫生组织总干事谭德塞在瑞士日内瓦宣布，将新型冠状病毒感染的肺炎命名为“COVID-19”． 某实验室测得某种冠状病毒分子直径约87纳米，已知1纳米米，则该冠状病毒分子直径可用科学记数法表示为 米．
三、解答题
16．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）（1）先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的数求值．
（2）解不等式组把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的整数解．
17．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值．
18．（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2022春·甘肃兰州·八年级期末）先化简，再求值：，其中．
下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式第一步
第二步
第三步
．第四步
(1)任务一：填空：
①以上化简步骤中，第__________步是约分得到的，约分的依据是__________；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．
(2)任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值．
20．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）先化简，再求值：，其中，．
21．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
22．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）先化简:，再选取一个合适的x值代入求值．
23．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）先化简，再求值：，其中x＝3．
24．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）先化简，再求值
（1），若-3（2），其中a与2，4构成ΔABC的三边，且a为整数．
25．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）先化简，再求值：，最后选择一个你喜欢的数作为的值代入求值．
26．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中
27．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）先化简，再求值：（﹣a﹣2）÷．其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数．
28．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）先化简，再求值：（m+2﹣） ，其中m=﹣．
29．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）先化简，再求值：，其中x=3．
30．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）计算：
(1)
(2)
31．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
参考答案：
1．D
【分析】把除法转化为乘法约分即可．
【详解】解：＝．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，再按乘法法则计算即可．
2．D
【分析】根据分式的加减运算法则逐项判断即可的解．
【详解】根据分式的减法法则，可知：，A错误；
由异分母的分式相加减，可知，B错误；
由同分母分式的加减，可知，C错误；
由分式的加减法法则，先因式分解再通分，可得：
，D正确．
故选D．
【点睛】本题考查分式的加减运算，熟知分式的加减运算法则是解题的关键．
3．C
【详解】同分母相减，分母不变，分子相减：
．故选C．
4．A
【分析】先根据分式混合运算法则，先计算括号内的减法，再计算乘法，将分式化简，然后把已知条件代入即可求解．
【详解】解：∵a+b=3，
∴
=
=
=a+b
=3．
故选：A．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
5．A
【分析】利用幂的乘方运算法则判断A，利用积的乘方运算法则判断B，利用同底数幂的除法运算法则判断C，利用同底数幂的乘法运算法则判断D．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．D
【分析】根据负整数指数幂的意义解答即可．
【详解】解∶．
故选∶D．
【点睛】本题考查了负整数指数幂的意义，掌握（a≠0，n为正整数）是解题的关键．
7．A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：米米．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．0
【分析】将转化为，再代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：0．
【点睛】本题考查分式的求值、分式的加减、等式的性质，熟练掌握分式的加减运算法则，利用整体代入求解是解答的关键．
9．
【分析】先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
【详解】+
=
=
=
=，
故答案为.
【点睛】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．
10．a+1
【分析】先把括号内通分化简，并把除法转化为乘法，然后分解因式约分即可
【详解】解：原式＝×＝×＝a+1．
故答案为：a+1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11．4
【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则化简各数，然后再进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的加法，准确熟练地化简各数是解题的关键．
12．
【分析】根据零指数幂和绝对值的计算法则进行求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了零指数幂和化简绝对值，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
13．
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法混合运算，注意指数是负整数时幂的乘方、同底数幂的乘法法则一样成立是解题的关键．
14．
【分析】根据积的乘方的性质计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握积的乘方的性质，从而完成求解．
15．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：87纳米= 米= 米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16．（1），－1；（2）不等式组的解集为1＜x＜4，这个不等式组的整数解是2，3，数轴表示见解析
【分析】（1）根据分式的运算法则进行计算化简，再求出不等式的解集，根据分式有意义的条件，选择使分式有意义的x的值代入即可；
（2）根据不等式的性质求解不等式组的解集，画出数轴，再根据数轴写出整数解即可．
【详解】（1）解：
；
由①得x＜2；
由②得x＞－3；
∴不等式组的解集是－3＜x＜2．
∴不等式组的整数解为：-2，-1，0，1，
∵x－1≠0且x≠0且x+2≠0，
∴x≠1，0，－2．
当x＝－1时，原式＝－1．
（2）解：解不等式x﹣4＜3（x﹣2），得x＞1，
解不等式+1＞x，得x＜4，
表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为1＜x＜4，
∴这个不等式组的整数解是 2，3．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解不等式以及解不等式组；熟练地掌握分式的运算法则、分式有意义的条件以及不等式的性质是解题的关键．
17．；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件确定的值，将字母的值代入求解．
【详解】解：
，
∵，，
∴当时，原式
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
18．，5
【分析】根据分式的混合运算法则运算即可，再将代入化简结果即可．
【详解】原式＝
＝
＝
当x＝－1时，原式＝5．
【点睛】本题考查分式的化简求值，属于中考常规题型，解题的关键在于熟练掌握分式的混合运算法则．
19．(1)①三，分式的基本性质；②一；添括号时，括号里面的第二项没有变号；
(2)；2
【分析】（1）①根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案；②观察分式化简的步骤可知答案；
（2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可．
【详解】（1）解：由题意可知：
①化简步骤中，第三步是约分得到的，约分的依据是：分式的基本性质；
故答案为：三，分式的基本性质；
②第一步开始出现错误，这一步错误的原因是：添括号时，括号里面的第二项没有变号．
故答案为:一,添括号时，括号里面的第二项没有变号．
（2）解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握约分的依据以及分式的运算法则．
20．，
【分析】先把括号里的式子通分相减，再把被除数和除数的分子分解因式，再转化成乘法，然后约成最简分式，最后代入字母的值计算即可．
【详解】解：，
=，
=，
=；
当，．原式=．
【点睛】本题考查分式化简求值，掌握分式化简求值的方法，因式分解方法，约分，最简分式，代数式求值方法是解题关键．
21．，2
【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式．
当x=3时，原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握该知识点是解题关键．
22．原式=；当时，原式=4.
【分析】根据分式的混合运算先化简，再带入求值，即原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，选值时，必须满足分式有意义．
【详解】解：
，
当时，原式（x不能取1，2）．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．；
【分析】根据分式的性质化简，再代入x即可求解．
【详解】
=
=
=
=
把x=3代入原式=．
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则．
24．（1），，原式的值为2；（2），1．
【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可；
（2）先把除法变成乘法，算乘法，算加法，求出的值，最后代入求出即可．
【详解】解：（1）
，
，，，，为整数，
，
当时，原式；
（2）
，
与2，4构成的三边，且为整数，
，
，
，，，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，分式的混合运算和求值，一元一次不等式组的整数解等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
25．，1
【分析】根据分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代入即可．
【详解】解：原式
＝
＝，
由分式有意义的条件即可知：，
原式＝1．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
26．;
【分析】先把分式化简后，再把a的值代入求出分式的值．
【详解】解:
当时,
原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
27．﹣a2+2a，-3
【详解】分析：先算减法，再把除法变成乘法，算乘法，求出a，最后代入请求出即可．
详解：原式
∵a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数，
∴a为2、3、4，
当a=2时，a 2=0，不行舍去；
当a=4时，a 4=0，不行，舍去；
当a=3时，原式= 3.
点睛：考查分式混合运算以及三角形的三边关系，掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
28．-2（m+3），-5．
【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算．
【详解】解：（m+2-） ，
=，
=-，
=-2（m+3）．
把m=-代入，得，
原式=-2×（-+3）=-5．
29．，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
．
当x=3时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键.
30．(1)3.5
(2)
【分析】（1）先负整数指数幂运算、有理数乘方运算、零指数幂运算，再加减运算即可求解；
（2）先利用平方差公式、单项式乘以多项式运算法则、完全平方公式进行计算，再合并求解即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题考查含乘方的有理数混合运算、负整数指数幂、零指数幂运算、整式的混合运算，熟记平方差公式和完全平方公式，掌握运算法则是解答的关键，注意负整数指数幂的运算．
31．．
【分析】将括号内利用平方差公式和完全平方式通分化简，再将除法改为乘法，最后约分即可化简．根据零指数幂计算出a的值，再将a、b的值代入化简后的式子求值即可．
【详解】解：
∵，，
∴．
【点睛】本题考查分式的化简求值，零指数幂．解题关键是按照分式运算顺序和法则准确进行计算．15.3 分式方程
一、单选题
1．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）已知关于x的方式方程的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
4．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）若分式方程＝+2有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
5．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）若关于x的方程有增根，则m的取值是（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．1
6．（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务．设原计划每天铺设钢轨米，则根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，根据题意，所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）若方程有增根，则m＝ ．
11．（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）关于x的方程有增根，则m的值为
12．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ．
13．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 .
14．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝ ．
三、解答题
15．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）解分式方程
(1)；
(2)．
16．（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）（1）解方程
（2）化简
17．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（2）因式分解：．
（3）解方程：．
18．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）（1）3x2﹣6xy+3y2；
（2）解分式方程．
19．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）解方程：．
20．（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）解方程：．
21．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）解方程：．
22．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）解方程：
23．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）解分式方程：
（1）
（2）
24．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．解答下面的问题：
（1）猜想并写 ．
（2）求的值．
（3）探究并解方程：．
25．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）解方程：
（1） ； （2）．
26．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）解方程：
27．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）解分式方程：．
28．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）解方程：．
29．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）“四书”“五经”是我国传统文化的重要组成部分，是儒家思想的经典著作．某学校计划购买《孟子》和《论语》两种书籍供学生阅读．已知《孟子》与《论语》的单价之和为 元，用元购进《孟子》的本数与用元购进《论语》的本数相同．求《孟子》《论语》的单价分别是多少元？
30．（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项改造工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
(1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
(2)若两队合做这项工程，求完成工程所需的天数．
(3)若甲队的费用每天1200元，乙队每天850元，可以有哪些施工方案？怎样施工费用最低？
31．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）某青少年素质教育实践基地购买可重复使用的船模、航模器材，上学期采购船模器材共花费了2．88万元，采购航模器材共花费2．4万元，购进的船模器材的数量是购进的航模器材数量的，每个船模器材的价格比每个航模器材的价格少120元．
(1)这两种器材的单价分别是多少元？
(2)本学期由于参加实践的学生人数增加，需要再购进这两种模型的器材共50个，由于这两种器材的价格有所调整，每个船模器材的价格比上学期提高了5%，每个航模器材的价格比上学期降低了10%，若购买这两种器材的总费用不超过上学期总费用的，那么最多可购进多少航模器材？
32．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）在疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某商店用4000元购进若干包一次性口罩，售完后又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数是第一批所进包数的1.5倍，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，求购进的第一批口罩有多少包？
33．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树1080棵.由于志愿者的支援，实际每天种树的棵数比原计划每天多50%，结果比原计划提前4天完成，并且多种树60棵，原计划每天种树多少棵
34．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）某单位为响应政府号召，准备购买A、B两种型号的分类垃圾桶，购买时发现，A种型号的单价比B种型号的单价少50元，用2000元购买A种垃圾桶的个数与用2200元购买B种垃圾桶的个数相同．
（1）求A、B两种型号垃圾桶的单价各是多少元？
（2）若单位需要购买分类垃圾桶6个，总费用不超过3100元，求出所有不同的购买方式？
35．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）甲乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍．两人各加工900个这种零件，甲比乙少用5天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这样的零件．
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这样的零件加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过5400元，那么甲至少加工了多少天？
参考答案：
1．C
【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．
【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；
选项C，是分式方程，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
2．C
【分析】因为分式方程有解且是非负数，所以不会产生增根，即，然后解的分式方程的根且，化简即可出结果．
【详解】解：，
方程两边同乘以得
解得且
且
故选：C．
【点睛】本题考查了根据含参数的分式方程解的范围来求参数范围，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，注意增根的检验是易错点．
3．A
【分析】等式两边同时乘以公倍数：，去分母；然后根据方程无解，求出；当时，方程无解，求出，综合的值，即可．
【详解】，
解：，
等式两边同时乘以：，
∴，
∴，
∴，
∵方程无解，
∴；
当时，方程无解，
∴把代入方程，得；
∴的值为：或．
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解的性质．
4．D
【分析】先将分式方程化为整式方程，然后根据题意求出增根为x＝ 1，把x的值代入到整式方程中进行计算，即可解答．
【详解】解：＝+2，
3x＝m＋2（x＋1），
解得：x＝m＋2，
∵分式方程有增根，
∴x＋1＝0，
∴x＝ 1，
把x＝ 1代入x＝m＋2中可得： 1＝m＋2，
解得：m＝ 3，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，根据题意求出x的值后，代入到整式方程中进行计算是解题的关键．
5．A
【分析】方程两边都乘以最简公分母(x-2)，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值,然后代入进行计算即可求出m的值．
【详解】方程两边都乘以(x-2)得：
-2+x+m=2(x-2)，
∵分式方程有增根，
∴x-2=0，
解得x=2，
∴-2+2+m=2×(2-2)，
解得m=0．
故答案为:A．
【点睛】此题考查分式方程的增根，掌握运算法则是解题关键．
6．B
【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第一批购买了套，第二批购买了套，根据用元购买的套数只比第一批少4套列出方程即可
【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，由题意得，
．
故选：B
【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
7．A
【分析】设甲队每小时检测x人，则乙队每小时检测人，甲队检测600人的时间为小时，乙队检测500人的时间为小时，再根据甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%列出方程即可．
【详解】解：设甲队每小时检测x人，则乙队每小时检测人，
由题意得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8．A
【分析】设原计划每天铺设钢轨米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务可列方程．
【详解】设原计划每天铺设钢轨米，可得：，
故选A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程．
9．B
【分析】根据等量关系“结果比李老师早到半小时”即可列出方程．
【详解】解：李老师所用时间为：，张老师所用的时间为：；
所列方程为：﹣＝．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的应用，找出题目的等量关系是解题的关键．
10．
【分析】根据题意可得x=5，然后把x=5代入整式方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
．
∵方程有增根，
∴x=5，
把x=5代入中得：
，
故答案为．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
11．2
【分析】根据题意可得，然后把代入整式方程中进行计算即可解；
【详解】解：，
解得： ，
∵分式方程有增根，
∴，
∴，
把代入中，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值，再代入整式方程中进行计算是解题的关键．
12．且
【分析】先去分母，化为一个关于x的含参数的一元一次方程，求解x，再根据x的取值范围和使分式有意义的条件求的范围．
【详解】去分母得：，
，
，
方程的解为正数，
且，
，
且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查分式方程的解，正确的求解分式方程是解题的关键．注意要使分式有意义则分母不等于0．
13．且
【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案．
【详解】去分母得，
m 3＝x 1，
解得x＝m 2，
由题意得，m 2≥0，
解得，m≥2，
x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，
所以m的取值范围是m≥2且m≠3．
故答案为：m≥2且m≠3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．
14．2
【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值．
【详解】解：﹣1＝，
方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m，
去括号，得2x﹣x＋1＝m，
移项、合并同类项，得x＝m﹣1，
∵方程无解，
∴x＝1，
∴m﹣1＝1，
∴m＝2，
故答案为2．
【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况.
15．(1)；
(2)无解
【分析】（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）变形后方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解，
即分式方程的解是；
（2）解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
16．（1）x=1（2）x+1
【分析】（1）方程两边同乘以转化成整式方程，然后求解即可；
（2）先计算括号里的，然后根据分式的除法运算法则求解即可．
【详解】解：（1）
检验：将代入，
∴原方程的解为；
（2）
【点睛】此题考查了解分式方程和分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握了解分式方程的方法和分式的混合运算法则．
17．（1）-2＜x＜2.5，数轴见解析；（2）；（3）原方程无解
【分析】（1）将不等式组求解，再把解集表示在数轴上即可；
（2）根据完全平方公式因式分解即可；
（3）先将分式方程化为整式方程进行求解，最后进行检验即可．
【详解】解：（1）∵解不等式2x-5＜0得：x＜2.5，
解不等式x-2(x+1)＜0得：x＞-2，
∴不等式组的解集是-2＜x＜2.5，
在数轴上表示为： ；
（2）；
（3）
，
解得：x=2，
检验：∵当x=2时，(x+2)(x-2)=0，
∴x=2是方程的增根，
即原方程无解．
【点睛】本题考查了求解不等式组、运用完全平方公式进行因式分解和分式方程求解并检验，解决本题的关键是计算过程中不出错．
18．（1）3(x﹣y)2；（2）x＝
【分析】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式解答，即可求解；
（2）先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】（1）解：（1）3x2﹣6xy+3y2
＝3（x2﹣2xy+y2）
＝3(x﹣y)2；
（2）解：，
，
方程两边都乘2（x﹣2），得
1﹣2（x+1）＝2（x﹣2），
解得：x＝，
检验：当x＝时，2（x﹣2）≠0，
所以x＝是原方程的解，
即原方程的解是x＝．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．
【分析】先去分母，等号两边同时乘以，化成整式方程在求解，最后验根即可．
【详解】解：方程两边同时乘以，
得到：，
解得：
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解是，
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键，最后一定要记得检验．
20．．
【分析】方程两都乘，得，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
21．
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同乘()，得．
解这个整式方程，得．
经检验，是原分式方程的解
所以原分式方程的解的为．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．x＝1
【分析】先去分母求出整式方程的解，再检验即可．
【详解】解：去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0，
∴x＝1是分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键，不要忘记检验．
23．（1）；（2）是方程的增根．
【分析】（1）方程两边同时乘以，得到的形式，解得，将代入中检验，从而得到分式方程的解．
（2）方程两边同时乘以，得到的形式，解得，将代入中检验，从而得到为分式方程的增根．
【详解】解：（1）方程两边同时乘以
得
解方程得
经检验得是分式方程的解．
（2）方程两边同时乘以
得
解方程得
经检验得是分式方程的增根．
【点睛】本题考查了分式方程的求解、增根．解题的关键和难点在于找最简公分母．易错点是是否对整式方程的解进行验证．
24．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据材料可直接得出答案；
（2）根据（1）的规律，将算式写出差的形式，计算即可；
（3）先按照（1）的结论进行化简，再解分式方程，即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，可知：
；
故答案为：；
（2）由（1）可知，
=
=
=
=；
（3）由（1）可知，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
经检验，是原分式方程的解．
∴．
【点睛】本题考查了解分式方程以及有理数的混合运算，掌握分式方程的解法是解题的关键．
25．（1）；（2）方程无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程两边都乘以得出方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：（1），
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（2），
方程两边都乘以，得，
解得：，
检验：当时，，所以是增根，
即原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键能把分式方程转化成整式方程是解题的关键．
26．x=3
【分析】首先两边同乘以(x－4)，将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，最后需要进行验根得出答案．
【详解】解：原方程化为：3 x 1=x 4，
即： 2x= 6，
∴x=3，
经检验：x=3是原方程的解，
∴原方程的解为：x=3．
【点睛】本题主要考查的是解分式方程，属于基础题型．解分式方程时最后需要进行验根．
27．x=6
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】等式两边同时乘得：
整理得：，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
28．
【分析】分式方程两边同乘3(x+1)，解出x的解，再检验解是否满足.
【详解】解：方程两边都乘，
得：，
解得：，
经检验是方程的解，
原方程的解为．
【点睛】本题考查的知识点是分式方程的求解，解题关键是解出的解要进行检验.
29．每本《孟子》《论语》的单价分别是元、元；
【分析】设每本《孟子》单价是元，则《论语》的单价是元，根据用元购进《孟子》的本数与用元购进《论语》的本数相同列方程即可得到答案．
【详解】解：设每本《孟子》单价是元，则《论语》的单价是元，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
则．
答：每本《孟子》《论语》的单价分别是15元、25元；
【点睛】本题考查分式方程解决销售利润问题，解题的关键从题意中是找出等量关系式．
30．(1)60天
(2)24天
(3)施工方案见解析，甲单独完成施工费用最低
【分析】（1）首先设乙工程队单独完成这项工程需要x天，根据等量关系为：工作效率=工作总量工作时间，可得甲乙的效率，根据题意可得出：甲队的总工作量+乙队的总工作量=1，由此列出方程求解；
（2）根据工作时间=工作总量工作效率，即可得出甲乙合作所需要的天数；
（3）由甲队单独完成，由乙队单独完成，或者由甲乙合作完成，分别求出施工费用比较即可．
【详解】（1）设乙单独完成该工程需要x天，
依题意得：，
解得：x=60，
经检验得，x=60是原方程的解，
答：乙单独完成该工程需要60天；
（2）两队合作需要时间：，
即两队合作需要24天；
（3）共有三种施工方案：①由甲单独完成，需40天，
施工费用：40×1200=48000元；
②由乙单独完成，需60天，
施工费用：60×850=51000元；
③由甲乙合作完成，需24天，
施工费用：24×（1200+850）=49200元；
∴由甲单独完成施工费用最低．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找到合适的等量关系是解题的关键．
31．(1)每个船模器材的价格为480元，每个航模器材的价格600元
(2)最多可购进33个航模器材
【分析】（1）设每个船模器材的价格为元，每个航模器材的价格元，根据等量关系式，购进的船模器材的数量=购进的航模器材数量，列出方程，解方程即可；
（2）购进a个航模器材，由“购买这两种器材的总费用不超过去年总费用的”，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设每个船模器材的价格为元，每个航模器材的价格元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：每个船模器材的价格为480元，每个航模器材的价格600元．
（2）解：设购进个航模器材 ，由题意可得：
，
解得：，
∵为整数，
∴的最大值为33，
答：最多可购进33个航模器材．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
32．2000 包
【分析】设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有1.5x包，根据“每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元”列出方程并解答．
【详解】解：设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有1.5x包，
根据题意可得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：购进的第一批医用口罩有2000包．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键，并注意分式方程要检验．
33．原计划每天种树80棵.
【分析】设计划每天种树棵，则实际每天种树棵，再分别表示原计划种树的时间，实际种树的时间，根据原计划种树的时间减去实际种树的时间等于4列方程，再解方程并检验即可.
【详解】解：设计划每天种树棵，则实际每天种树棵，
由题意得：
整理得：
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意。
答：原计划每天种树80棵.
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解原计划种树的时间减去实际种树的时间等于4是解本题的关键.
34．（1）、两种型号垃圾桶的单价是500元和550元；（2）购买A种型号垃圾桶为4个，B种型号垃圾桶为2个；A种型号垃圾桶为5个，B种型号垃圾桶为1个；A种型号垃圾桶为6个，B种型号垃圾桶为0个．
【分析】（1）设、两种型号垃圾桶的单价分别为元，元，由题意列方程，求出的值即为种型号垃圾桶的单价，再由求出种型号垃圾桶的单价.
（2）设购买A种型号垃圾桶个，则由题意，列式，解出的范围，分类讨论即可．
【详解】（1）设、两种型号垃圾桶的单价分别为元，元，由题意列方程：
解得：
经检验知：是原方程的解，符合题意
∴
即、两种型号垃圾桶的单价是500元和550元．
（2）设购买A种型号垃圾桶为个，则：
解得：，
又∵单位需要购买分类垃圾桶6个
∵且为整数，
∴
所以购买A种型号垃圾桶为4个，B种型号垃圾桶为个；
A种型号垃圾桶为5个，B种型号垃圾桶为个；
A种型号垃圾桶为6个，B种型号垃圾桶为．
综上所述，共有三种购买方式，即购买A种型号垃圾桶为4个，B种型号垃圾桶为2个；A种型号垃圾桶为5个，B种型号垃圾桶为1个；A种型号垃圾桶为6个，B种型号垃圾桶为0个．
【点睛】本题考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，根据相关知识点列出关系式是解题关键．
35．（1）甲每天加工90个零件，乙每天加工60个零件；（2）20天
【分析】（1）设乙每天加工数量是x个零件，根据题意列出分式方程，求解并检验即可；
（2）设甲加工x天，乙加工y天，根据题意得出方程及不等式，求解即可．
【详解】（1）设乙每天加工数量是x个零件，根据题意得
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
∴甲每天加工90个零件，乙每天加工60个零件；
（2）设甲加工x天，乙加工y天，根据题意得
由①得③，
将③代入②中得，
当时，，符合实际意义，
∴甲至少加工了20天．
【点睛】本题主要考查分式方程及不等式，读懂题意列出方程及不等式是关键．
