21.1 一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．任意实数
2．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+=0 B．ax2+bx+c=0 C．(x-1)(x+2)=1 D．3x-2xy-5y2=0
3．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）若关于的一元二次方程的常数项为，则的值等于（ ）
A．2 B． 2 C．±2 D． 4
4．（2022秋·甘肃武威·九年级校考期末）若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m＞﹣1 B．m≠0 C．m≥0 D．m≠﹣1
5．（2022秋·甘肃兰州·九年级兰州十一中校考期末）已知关于的一元二次方程有一根为1，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
6．（2022秋·甘肃白银·九年级校联考期末）若是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．1
7．（2022秋·甘肃定西·九年级校考期末）已知关于x的一元二次方程有一根为3，则a的值为（ ）
A．4 B．0 C．2 D．－1
8．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）一元二次方程的一个根为，那么c的值为（ ）．
A．9 B．3 C． D．
10．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）已知关于的方程的一个根是2，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
11．（2022秋·甘肃兰州·九年级校联考期末）如果﹣1是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2
二、填空题
12．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
13．（2022秋·甘肃酒泉·九年级校考期末）已知是关于的方程的一个根，则 ．
14．（2022秋·甘肃武威·九年级校考期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为 ．
15．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为 ．
16．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知x=1是关于一元二次方程的一个根，则的值是 ．
参考答案：
1．A
【分析】根据一元二次方程的定义：一般地，形如（a、b、c为常数，a≠0）的整式方程叫做一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A、含有分式，故不是一元二次方程，不符合题意；
B、没有说明a≠0，则不是一元二次方程，不符合题意；
C、原方程化简得x2+x 3=0，是一元二次方程，符合题意；
D、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式．
3．B
【分析】首先找到该方程的常数项，然后由“常数项是0”列出关于m的方程，通过解该方程来求m的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为，
∴且，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不等于零．
4．D
【分析】利用一元二次方程的定义得到m+1≠0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得m+1≠0，
解得m≠ 1.
故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义.
5．D
【分析】直接把代入到方程中求出a的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为1，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
6．B
【分析】把代入一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
7．A
【分析】根据一元二次方程解的定义把x=3代入中得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：把x=3代入到中得：，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次解的定义，解一元一次方程，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
8．A
【分析】根据关于x的一元二次方程x2-ax=0的一个根是2，将x=2代入方程即可求得a的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-ax=0的一个根是2，
∴22-2a=0，
解得a=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．
9．D
【分析】把x=-3代入方程，然后解关于c的方程即可．
【详解】解：把x=-3代入方程得
9+c=0，
所以c=-9．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．B
【分析】将x=2代入已知方程，列出关于n的新方程，通过解新方程即可求得n的值．
【详解】解：根据题意，得
2×22-2×9+n=0，
解得，n=10；
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
11．C
【分析】把x=-1代入方程可得到关于k的方程，可求得k的值．
【详解】∵-1是方程x2-3x+k=0的一个根，
∴（-1）2-3×（-1）+k=0，解得k=-4，
故选C．
【点睛】考查一元二次方程的解，把方程的解代入得到到关于k的方程是解题的关键．
12．-1
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：由题意得，，
由①得，m=±1，
由②得，m≠1，
所以，m的值为-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．2023
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值．
【详解】∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2023
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
14．
【分析】把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
15．或
【分析】观察给出的两个方程可知：2和3也是关于的方程的两根，由此即可求得答案．
【详解】解：根据题意可得：题目所给的两个方程的系数、结构都相同，
∴2和3也是关于的方程的两根，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题的关键是根据给出的方程特点，得到两个方程的解的关系．
16．-1
【分析】根据一元二次方程的定义得到k-1≠0，根据方程的解的定义知，把x=1代入已知方程可以列出关于k的方程，通过解方程和k的取值范围可以求得k的值．
【详解】∵关于x的一元二次方程的一个根是x=1，
∴k-1+2=0，且k-1≠0，
解得k=-1．
故答案为：-1．
【点睛】此题考查一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义．解题关键在于一元二次方程的二次项系数不为零，解题时，往往忽略此点．21.2 解一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）用配方法解方程，时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（ ）
A．－4，21 B．－4，11 C．4，21 D．－8，6
3．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（ ）
A．总大于7 B．总不小于9
C．总不小于﹣9 D．为任意有理数
4．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．9 B．6 C． D．
7．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤-2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2且k≠1
8．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A．4 B．3 C． D．
9．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
二、填空题
10．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
11．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
12．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为 ．
13．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
14．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ．
三、解答题
15．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）用适当的方法解一元二次方程：
16．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ．⑥
小明的解答从第______步开始出错，请写出正确的解答过程．
17．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，请用配方法求该方程的根．
18．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）解方程：
19．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）如图，在中，，平分，过点D作的平行线交的延长线于点C，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，（）的长是一元二次方程的两根，求的长以及菱形的面积．
20．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）解方程：
（1）；
（2）．
21．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）用适当的方法解方程：
(1)
(2)
22．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期末）解方程
(1)（公式法）；
(2)（配方法）；
(3)（因式分解法）；
(4)（适当的方法）．
23．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）解方程：
24．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若此方程的两实数根满足，求的值．
25．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1 ，x2 ，且x12+x22=10，求实数a的值．
参考答案：
1．B
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．C
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：∵x2+8x-5=0，
∴x2+8x=5，
则x2+8x+16=5+16，即（x+4）2=21，
∴a=4，b=21，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．C
【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于 9即可．
【详解】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7
＝4x2＋8x＋4＋3y2 12y＋3
＝4（x2＋2x＋1）＋3（y2 4y＋1）
＝4（x＋1）2＋3（y2 4y＋4 4＋1）
＝4（x＋1）2＋3（y 2）2 9，
∵（x＋1）2≥0，（y 2）2≥0，
∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥ 9．
即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于 9．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．
4．C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此即可得出结论．
【详解】解：∵在方程中，，
∴该方程无解．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记时方程无解是解题的关键．
5．B
【详解】解：在方程4x2﹣2x+ =0中， =（﹣2）2﹣4×4×=0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有两个相等的实数根．
故选B．
6．D
【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可得求解．
【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
解得：．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握：对于一般形式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
7．D
【分析】根据方程有两个实数根则，再结合二次项系数，即可得到关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得： 且．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，根据根的判别式，结合二次项系数不为0，得出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
8．A
【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出m+n的值，此题得解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=4．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．
9．A
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解】解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
10．/0.25
【分析】利用判别式的意义得到Δ=12-4a=0，然后解关于a的方程即可．
【详解】解：根据题意得Δ=12-4a=0，解得a=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11．且
【详解】利用判别式，根据一元二次方程的定义，列出不等式即可解决问题；
【分析】解：∵关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，
∴△≥0且k≠0，
∴9＋4k≥0，
∴k≥﹣，且k≠0，
故答案为k≥﹣且k≠0．
【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
12．12
【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为5，底边为2，然后计算该等腰三角形的周长．
【详解】解：由得到，
，
∴或，
∴，，
∵，
∴等腰三角形只能腰为5，底边为2，
∴该等腰三角形的周长为．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义．
13．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设另外一个根为x，
由根与系数的关系可知：，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．若是一元二次方程的两根时，．
14．-2021
【分析】由根与系数的关系可求得a+b与ab的值，代入求值即可．
【详解】解：∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2023，
∴（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣a﹣b+1
＝ab﹣（a+b）+1
＝﹣2023﹣（﹣1）+1
＝﹣2021．
故答案为：﹣2021．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
15．，
【分析】先将方程化成一般式，再用配方法求解即可．
【详解】解：方程化为，
移项，得，
配方，得
即，
根据平方根的意义，得，
即或，
即，．
【点睛】本题考查 解一元二次方程，根据方程特点，选择适当的解法是解题的关键．
16．⑤，见解析
【分析】根据配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：
故第⑤步开始出错
故答案为：⑤
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
17．（1）；（2），
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）当时，方程为，先将系数化为1，再配方，即可求解．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）当时，方程为，
将二次项系数化为1，得.
配方，得，
因此，即或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，利用配方法解一元二次方程的是解题的关键．
18．
【分析】利用公式法求解即可．
【详解】解：=1，=1，=-1，
△=1-4×1×（-1）=5＞0，
方程有两个不相等的实数根，，
即；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记一元二次方程求根公式，准确进行计算．
19．(1)见解析
(2)，菱形的面积为
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的意义可得，可得，根据等角对等边可得，进而根据一组对比相等且平行的四边形是平行四边形，根据邻边相等即可证明是菱形；
（2）解一元二次方程，根据题意求得的长，根据勾股定理可得的长，根据菱形的性质求面积即可．
【详解】（1）证明：
平分，
，
四边形是平行四边形
四边形是菱形
（2）解：，（）的长是一元二次方程的两根，
解得
四边形是菱形
菱形的面积为
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，因式分解法解一元二次方程，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
20．（1），；（2），
【分析】（1）公式法求解可得；
（2）因式分解法求解可得．
【详解】解：（1）a=1，b=1，c=-1
∴ =
∴方程有两个不相等的实数根
∴，
（2）
或
，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．
21．(1)x1=3，x2=-1；
(2)，
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）把方程整理成一般形式，再十字相乘法分解因式，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：x2-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
∴x-3=0或x+1=0，
解得x1=3，x2=-1；
（2）解：（2x-1）2=x（3x+2）-7，
整理得x2-6x+8=0，
（x-2）（x-4）=0，
∴x-2=0或x-4=0，
解得x1=2，x2=4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：∵
∴，
∴，
∴，
∴，；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
23．，
【分析】因式分解，可化为的形式，令，得出方程的解．
【详解】解：
或
，．
【点睛】本题考查了一元二次方程求解．解题的关键与难点是将方程进行因式分解．
24．(1)
(2)2
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得， ，从而得到，解出即可求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∴ ，
∴；
（2）解：根据题意得：， ，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，；
当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）a的值为﹣2+ 或﹣2﹣．
【分析】（1）欲证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式大于0即可. △=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4>0，从而得证；
（2）根据韦达定理，将x12+x22=10转化为两根之和与两根之积的形式，代入得到关于a的方程，从而求出a即可. x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，即（a+3）2﹣2（a+1）=10，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣.
【详解】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）
=a2+6a+9﹣4a﹣4
=a2+2a+5
=（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，
∵x12+x22=10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，
整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，
即a的值为﹣2+或﹣2﹣．
【点睛】本题目是一道一元二次方程的题目，涉及到根的判别式与韦达定理.在证明一元二次方程根的情况时，通常通过证明根的判别式与0的大小关系解决问题.在涉及到两根的等量关系时，通常转化为两根之和与两根之积的形式，从而求出参数.21.3 实际问题与一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）2021年3月25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，假设每轮传染的人数相同，则每轮传染中平均每个人传染了几个人（ ）
A．12 B．14 C．10 D．11
2．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）某服装原价元，连续两次降价后售价为元．下列所列方程中正确的是( )
A． B．
C． D．
3．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，第一季度总产值为亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）“千年药乡”甘肃定西推行中药材标准化种植以来，有力地推动了中药材种植业的发展，某药农在2019年时中药材销售收入为20万元，2021年预计达到48万元，设年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）某小区A楼居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该楼常驻人口285人，三月已有60人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．60（1＋x）2＝285 B．60（1﹣x）2＝285
C．60（1＋x）＋60（1＋x）2＝285 D．60＋60（1＋x）＋60（1＋x）2＝285
6．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）在疫情期间，口罩的需求量急剧上升.某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只， 如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口罩月平均增长的百分率为，则可根据题意列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289
C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289
8．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
9．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克10元的进价进了一批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该水果店想平均每天获利408元，设这种香水梨的售价上涨了元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）某厂前年缴税万元，今年缴税万元， 如果该厂缴税的年平均增长率为，那么可列方程为 ．
12．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，如果设道路的宽为x m，则根据题意可列出方程 ．
三、解答题
13．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）德尔塔是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均一个人传染了个人；
（1）用含的代数式表示：经过第一轮传染后，共有多少人感染了德尔塔病毒
（2）列方程求解：在每轮传染中，平均一个人传染了几个人
（3）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有多少人感染德尔塔病毒
14．（2022秋·甘肃酒泉·九年级期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
15．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
16．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）今年国庆节期间，某景点的游客数量，前6天的人数为40万人，第七天的游客人数是前六天总人数的，第八天的游客人数是前六天总人数的．
（1）求该旅游景点“国庆节小长假”这八天的游客总数量；
（2）今年，该景点7月份的游客总人数为35万元，8、9月份游客人数的月增长率相同，“国庆小长假”这八天的游客总人数与9月份的游客总人数相等．求该景点8、9月份游客人数的月增长率．
17．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
18．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
19．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期末）某品牌童装平均每天可售出40件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出4件．要想平均每天销售这种童装盈利2400元，那么每件童装应降价多少元？
20．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）某玩具批发市场的王老板，以每个40元的进价购买了一批“天宫号空间站”的模型玩具（如图所示），打算以每个60元的价格出售，平均每天可售出100个．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20个．若王老板销售这种模型玩具要想平均每天获利2240元，请回答：
(1)每个模型玩具应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，王老板应按原售价的几折出售？
21．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出 4台．商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
22．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
参考答案：
1．A
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）=169，
解得：x1=12，x2=-14（不合题意，舍去）．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．C
【分析】设连续两次降价，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设连续两次降价，根据题意得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键．
3．B
【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率)，本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【详解】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几个月的产值，再根据题意列出方程即可．
4．D
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果年平均增长率为x，根据“2019年时中药材销售收入为20万元，2021年预计达到48万元”即可得出方程．
【详解】解：设年平均增长率为x，
则2020的药材销售收入为：20（1+x）万元，2021的药材销售收入为：20（1+x）2万元，
那么可得方程：20（1+x）2=48．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率某工厂对数字化改造总投入相等的方程．
5．D
【分析】根据四月有60（1+x）人接种新冠疫苗，五月有60（1+x）2人接种新冠疫苗，根据该楼常驻人口285人，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：因为四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，则四月有60（1+x）人接种新冠疫苗，五月有60（1+x）2人接种新冠疫苗，
依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2=285．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意生产口罩月平均增长的百分率为，四月份生产了口罩200000只，第二季度总共生产728000只口罩，由此列出方程即可．
【详解】解：设生产口罩月平均增长的百分率为，
四月份生产了口罩200000只，
五月份生产了口罩只，
六月份生产了口罩只，
又在第二季度四、五、六3个月总共生产了728000只口罩，
列式为：．
故选：D．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用问题，属于增长率问题，根据题意列出等式是解决本题的关键．
7．A
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【详解】根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2，
∴方程为289（1-x）2=256．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，掌握增长率类问题的一般等量关系是解题的关键．
8．C
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：依题意得八、九月份的产量为、，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题的关键是掌握一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
9．B
【分析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案．
【详解】解：依题意得：较大的奇数为x+2，
则有：x（x+2）=323．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．
10．B
【分析】根据题意即可直接列出方程．
【详解】设这种香水梨的售价上涨了x元，
依题意可列方程为：，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．
11．
【分析】由题意设该厂缴税的年平均增长率为x，根据该厂前年及今年的纳税额，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：如果该厂缴税的年平均增长率为，
那么可以用表示今年的缴税数，今年的缴税数为，
然后根据题意列出方程.
故答案为：.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12
【分析】利用平移可把草坪把为一个长为(20-x)m，宽为(12-x)m的矩形，从而根据题中的等量关系：草坪面积=整个矩形面积×，即可得出方程．
【详解】如图，把水平方向的道路向上平移，竖直方向的道路向右平移，得到如图所示的图形，则
草坪变为一个的长为(20-x)m，宽为(12-x)m的矩形
由题意得：（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12
故答案为：（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．
13．（1）；（2）每轮传染中平均一人传染了人；（3）经过三轮传染后共有人感染德尔塔.
【分析】（1）根据题意列式即可；
（2）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，列方程求解即可；
（3）根据（2）中所求数据，进而表示出经过三轮传染后感染德尔塔病毒的人数．
【详解】；
根据题意：，解得(舍去)，
答：每轮传染中平均一人传染了人；
（人），
答：经过三轮传染后共有人感染德尔塔病毒．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
14．(1)两次下降的百分率为10%
(2)每件商品应降价2.5元
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可．
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，有销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x．
，
即：，
x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去），
答：两次下降的百分率为10%；
（2）解：设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，
由题意，得（40－30－y）（4×2y+48）＝510，
化简得：，
解得：，，
∵有利于减少库存，
∴y＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
15．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【分析】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之经检验即可求出结论．
【详解】（1）解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：
，
整理得，
解得（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（1）50.4万人；（2）．
【分析】（1）前6天的人数为40万人，第7天是40×15%，第8天是40×11%，加起来计算即可；
（2）设该旅游景点今年8、9月份游客人数的月增长率为，则9月份的游客总人数可表示为，与（1）求得的人数相等，建立方程求解即可．
【详解】解：（1）（万人），
答：该旅游景点“国庆小长假”这八天的游客总人数为50.4万人．
（2）设该旅游景点今年8、9月份游客人数的月增长率为，
依题意，得，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该旅游景点今年8、9月份游客人数的月增长率为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系是关键．
17．（1）平均每次下调的百分率为10%；
（2）选择方案①更优惠．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得平均每次下调的百分率；
（2）根据题意可以分别计算出两种方案下的优惠额度，从而可以解答本题．
【详解】解：（1）解：设平均每次下调的百分率为x，则
6000（1-x）2=4860
解得：x1=0.1， x2=1.9（不合题意，舍去）
∴平均每次下调的百分率10% ；
（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720(元) ，
方案②可优惠：100×80=8000(元) ，
∴方案①更优惠．
18．36元
【分析】设每件衬衫应降价x元，则降价后每件盈利（44-x）元，每天售出件，根据“商场平均每天要盈利1600元”列出方程，即可求解．
【详解】解：设每件衬衫应降价x元，则降价后每件盈利（44-x）元，每天售出件，根据题意得：
，
即，
解得：，
∵尽快减少库存，
∴x=36，
答：每件衬衫应降价36元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
19．每件童装应降价20元．
【分析】设每件童装应降价x元，再根据题意即可列出关于x的一元二次方程，解出x，最后舍去不合题意的解即可．
【详解】解：设每件童装应降价x元，
依题意可列方程为，
解得：，
∵要减少库存，
∴，
答：每件童装应降价20元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解题关键．
20．(1)每个模型玩具应降价4元或6元．
(2)王老板应按原售价的九折出售．
【分析】（1）设每个模型玩具应降价x元，则每个模型玩具的销售利润为元，根据平均每天获得的利润=每个的销售利润平均每天的销售量，即可解题；
（2）由于要尽可能让利于顾客，可得出每个模型玩具应降价6元，继而解得此时的销售价为54元，再利用折扣公式解题．
【详解】（1）解：设每个模型玩具应降价x元，则每个模型玩具的销售利润为元，
依题意得，
整理得
解得
答：每个模型玩具应降价4元或6元．
（2）因为要尽可能让利于顾客，
所以每个模型玩具应降价6元，
此时的售价为60-6=54（元）
答：王老板应按原售价的九折出售．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用及有理数的混合运算，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．100或200
【详解】试题分析：此题利用每一台冰箱的利润×每天售出的台数=每天盈利，设出每台冰箱应降价x元，列方程解答即可．
试题解析：设每台冰箱应降价x元，每件冰箱的利润是：元，卖（8+×4）件，
列方程得，
（8+×4）=4800，
x2﹣300x+20000=0，
解得x1=200，x2=100；
要使百姓得到实惠，只能取x=200，
答：每台冰箱应降价200元．
考点：一元二次方程的应用．
22．20
【分析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种棵树每棵桃树的产量就会减少个（即是平均产个），桃树的总共有棵，所以总产量是个．要使产量增加，达到个．
【详解】解：设应多种棵桃树，根据题意，得
整理方程，得
解得，，
∵多种的桃树不能超过100棵，
∴（舍去）
∴
答：应多种20棵桃树。
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键在于搞懂题意去列出方程即可.
