22.1 二次函数的图象和性质
一、单选题
1．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）下列选项中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而减小
C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线
4．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）由二次函数，可知（ ）
A．顶点坐标 B．其最小值为1
C．，y随x的增大而增大 D．其图象的对称轴为直线
5．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）二次函数的部分图象如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）
A． B． C．当时， D．
7．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）如图，抛物线经过点，对称轴l如图所示，则下列结论：①；②；③；④，其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
8．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）已知二次函数的图像如图所示，在下列五个结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①若，则或；②．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．都对 D．都不对
二、填空题
11．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为 ．
12．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）抛物线过，，三点，则，，的大小关系是 ．
13．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标是 ．
14．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）将抛物线y=x2-3向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为 ．
15．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）把抛物线y＝x2﹣4x+5向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到的抛物线解析式为 ．
16．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为 ．
17．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是 ．
三、解答题
18．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）某水果批发商场以每千克元购进一种高档水果，当售价为每千克元时，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．该水果每千克上涨多少元时，该商场每天销售这种水果可获得最大利润？最大利润是多少？
19．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．
20．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知二次函数的图象经过，两点，求的值．
21．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）已知二次函数的图像经过，，求抛物线的解析式
22．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）已知二次函数（m为常数，且），该函数图象与y轴交于点．求：
（1）二次函数表达式为______；
（2）二次函数图象与x轴的交点坐标为______；
（3）当时，y的取值范围是______；
（4）将该二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，平移后的图象对称轴为______，最小值为______．
23．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求点A，点B的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．
25．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为．
（1）求点B的坐标；
（2）已知，点为抛物线与轴的交点．
①若点在抛物线上，且，求点的坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
26．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
27．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】解：A、y＝x+1，是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
B、，是反比例函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C、，是二次函数，故该选项符合题意；
D、 ，是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、，分母含有未知数，不是二次函数，故次选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟知定义是解题的关键：一般，形如y＝ax2＋bx＋c （a≠0，a，b，c是常数）的函数是二次函数，注意二次函数都是整式．
3．C
【分析】根据二次函数顶点式的性质逐一分析即可．
【详解】解：由顶点式表达式可知，，
开口向上，A错误；
对称轴为直线，D错误，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴B错误；C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质和增减性，通过a的正负和对称轴判断二次函数的增减性是关键．
4．B
【分析】由解析式可知，对称轴为直线，最小值为1，顶点坐标为，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，可得出答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴二次函数有最小值1，当，y随x的增大而减小，
∴四个选项中只有选项B说法正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为是解题的关键．
5．A
【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，
则平移后抛物线的解析式为：．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移变换，熟知“上加下减，左加右减”的规律是解答此题的关键．
6．C
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断abc符号，由抛物线对称轴为直线x=-1，可得，由抛物线经过点可得抛物线经过，进而解题．
【详解】解：抛物线开口向下
抛物线对称轴为直线
抛物线与y轴交点在轴的上方
，选项A正确，不符合题意；
，选项B正确，不符合题意；
抛物线对称轴为，经过点
抛物线与x轴的另一个交点为
，选项D正确，不符合题意；
时，选项C错误，符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键．
7．D
【分析】根据图像可知二次函数对称轴，，可得；有①；②当时，；③当时，；④当时，；进而得出结果．
【详解】解：由图像可知，，，
；故①错误．
当时，；故②正确．
当时，；故③正确．
当时，；故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数．解题的关键在于求出系数的取值范围，以及一些特殊取值时函数值的大小．
8．C
【分析】由抛物线开口向上得a>0，由抛物线的对称轴为直线x=->0得b<0，判断①；由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c<0，则abc>0判断②，利用图像将x=1，-1，2代入函数解析式判断y的值，进而对③④⑤所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴x=->0，
∴b＜0，
∵-＞1，
∴2a>-b，
∴2a-b＞-2b，
∵b＜0，
∴-2b>0，
即2a-b>0，故①错误；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc＞0，所以②错误；
如图所示：
当x=1时，y=a+b+c＜0，
故③正确；
当x=-1时，y=a-b+c>0，故④正确；
当x=2时，y=4a+2b+c>0，故⑤正确，
故错误的有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．
9．D
【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不可能；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，抛物线与直线交y轴同一点，故本选项有可能．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象．熟记一次函数、二次函数的图象的性质是解题的关键．
10．A
【分析】由顶点坐标可知抛物线的对称轴，据此即可求解．
【详解】解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线
①如图所示：
∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线
∴二次函数的图象与直线的两个交点为
∴若，则或
故①正确；
②∵二次函数的图象的顶点是
∴
∵抛物线的对称轴为直线
∴
∴
故②错误．
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质．数形结合是解题关键．
11．6
【分析】先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，2），再将y=3代入，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．
【详解】∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，3）．
当y=3时，，解得x=±3．
∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3）．
∴BC=3﹣（﹣3）=6．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴上的两点之间的距离，比较简单．
12．y2＜y3＜y1
【分析】对二次函数y＝2（x﹣1）2+c，对称轴x＝1，在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小．
【详解】解：在二次函数y＝2（x﹣1）2+c，对称轴x＝1，
|1+2|=3，|1-0|=1，,
∵3＞＞1
在图象上的三点（﹣2，y1），（0，y2），（，y3），点（﹣2，y1）离对称轴的距离最远，点（0，y2）离对称轴的距离最近，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
13．(2，5)
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是（2，5）．
故答案为：（2，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
14．y=（x-1）2-3
【分析】根据抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，即可得到答案．
【详解】解：将抛物线y=x2-3向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y=（x-1）2-3，
故答案为：y=（x-1）2-3．
【点睛】本题考查了抛物线的平移变换，解题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
15．y＝（x﹣1）2+3．
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可．
【详解】解：抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，它的顶点坐标是（2，1）．
将其向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（1，3），
所以新抛物线的解析式是：y＝（x﹣1）2+3．
故答案是：y＝（x﹣1）2+3．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键.
16．．
【分析】设原来的抛物线解析式为：．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．
【详解】设原来的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得，
故原来的抛物线解析式是：，
设平移后的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得(舍去)或，
所以平移后抛物线的解析式是：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
17．
【分析】先根据函数的最值确定函数的顶点坐标和开口方向，在根据函数的增减性，判断当时的函数值取值范围，即可求出a的取值范围．
【详解】解：∵当时，该函数取最大值12，
∴，
∴该函数对称轴为，函数开口向下；
∵，
∴当时，函数值大于0，
即，解得：，
∴a的取值范围：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数在顶点处取得最值，当函数有最大值时，开口向下，反之，开口向上．
18．每千克上涨元时，可获得最大利润，最大利润为
【分析】先计算出每千克涨价元，日销售量将减少千克，设每千克涨价元，日销售量将减少千克，设最大利润为元，根据利润的计算方法，即可求解．
【详解】解：若每千克涨价元，日销售量将减少千克，
∴每千克涨价元，日销售量将减少千克，
设每千克涨价元，日销售量将减少千克，设最大利润为元，
∴，
∴当时，函数有最大值，即利润最大，最大为，
∴该水果每千克上涨元时，可获得最大利润，最大利润为．
【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，掌握销售中的数量关系列方程，二次函数图形的性质是解题的关键．
19．(1)，；
(2)△PAD的面积最大值为，P（1，）；
(3)（0，）或（0，-9）
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式；
（2）过点P作PEy轴交AD于E，设P（n，），则E（n，），根据，得到PE的值最大时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可；
（3）如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点（1，-6），设D交y轴于点，则∠AD=45°，分别求出直线DT，直线D的解析式即可解决问题．
【详解】（1）解：将点A、B、D的坐标代入，，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
∵直线l经过点A，D，
∴设直线l的解析式y=kx+m，
，得，
∴直线l的解析式为；
（2）如图1，过点P作PEy轴交AD于E，
设P（n，），则E（n，），
∵，
∴PE的值最大时，△PAD的面积最大，
∵
=，
∴当n=1时，PE的值最大，最大值为，
此时△PAD的面积最大值为，P（1，）；
（3）如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AT，则T（-5，6），
设DT交y轴于Q，则∠ADQ=45°，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为，
∴Q（0，），
作点T关于AD的对称点（1，-6），
则直线D的解析式为y=3x-9，
设D交y轴于点，则∠AD=45°，
∴（0，-9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，-9）．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，直线与y轴的交点，熟练掌握知识点并应用解决问题是解题的关键．
20．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式，把A点坐标代入解析式得到关于a的方程，然后解方程即可求得a，从而求得二次函数的解析式；然后把B（-2，m）代入解析式即可求得m的值．
【详解】解：∵二次函数y=ax2的图象经过A（3，3），
∴9a=3，
∴a=，
∴此抛物线对应的函数解析式为y=x2，
∵点B（-2，m）在此二次函数的图象上，
∴m=×( 2)2=×4=，
故m的值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，函数解析式与图象上的点之间的关系，点在图象上，则满足解析式；反之，满足解析式则在函数图象上．
21．
【分析】将（-1，0）、（3，0）两点坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：把（-1，0）、（3，0）代入中
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
22．（1）；（2），；（3）；（4）；．
【分析】（1）将点代入函数表达式确定m的值再代入函数表达式即可；
（2）当时，求解一元二次方程得解即可确定与x轴的交点坐标；
（3）根据抛物线解析式可却其对称轴及开口方向向上，存在最小值，结合自变量取值范围，可知距离对称轴较远，取到最大值，在对称轴处取到最小值，代入求解即可；
（4）先将抛物线解析式化为顶点式，然后根据平移规律：上加下减，左加右减，进行平移确定新的函数解析式，根据解析式即可得出对称轴及最小值．
【详解】解：（1）将点代入函数表达式为：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）当时，
，
，
解得：，，
∴与x轴的交点坐标为：，，
故答案为：，；
（3）抛物线的对称轴为：，开口方向向上，有最小值，
∵，
∴0距离对称轴较远，取到最大值，
∴；
；
∴y的取值范围为：，
故答案为：；
（4）化为顶点式为：，
先向下平移3个单位长度变为：=，
再向右平移1个单位长度变为：，
可得平移后的抛物线解析式为：，
∴对称轴为：，最小值为，
故答案为：；．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，包括待定系数法确定解析式，与坐标轴交点问题，函数图象的平移等，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
23．（1）y＝x2﹣x﹣6；（2）（，﹣5）；（3）点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为；（4）存在点N，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．
【分析】（1）用待定系数法求解；
（2）当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小；求出直线BC：y＝2x﹣6，可进一步求解；
（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F，设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6），得EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t，S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝﹣（t﹣）2+，可得结果；
（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．可分情况分析：若AC为菱形的边长，MN∥AC且，MN＝AC＝2；若AC为菱形的对角线，则AN4∥CM4，AN4＝CN4，N4（﹣2，n），由勾股定理可求n.
【详解】（1）∵OA＝2，OC＝6
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）
∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C
∴
解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6
（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3
∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝
∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称
∴xD＝，AD＝BD
∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小
设直线BC解析式为y＝kx﹣6
∴3k﹣6＝0，解得：k＝2
∴直线BC：y＝2x﹣6
∴yD＝2×﹣6＝﹣5
∴D（，﹣5）
故答案为：（，﹣5）
（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F
设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）
∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t
∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF BG+EF OG＝EF（BG+OG）＝EF OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+
∴当t＝时，△BCE面积最大
∴yE＝（）2﹣﹣6＝﹣
∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．
（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．
∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）
∴AC＝
①若AC为菱形的边长，如图3，
则MN∥AC且，MN＝AC＝2
∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）
②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4
设N4（﹣2，n）
∴﹣n＝
解得：n＝﹣
∴N4（﹣2，﹣）
综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．
【点睛】考核知识点：二次函数综合运用.数量运用二次函数性质，数形结合分析问题，分类讨论是关键.
24．(1)A(﹣4，0)，B(2，0)；(2)S△ABC＝12；(3)当x＝﹣2时，△ACP最大面积4
【分析】（1）令y=0，解一元二次方程可得A，B坐标.
（2）求出C点坐标可求，△ABC的面积.
（3）作PD⊥AO交AC于D，设P的横坐标为t，用t表示PD和△ACP的面积，得到关于t的函数，根据二次函数的最值的求法，可求△ACP面积的最大值．
【详解】解：(1)设y＝0，则0＝﹣x2﹣x+4
∴x1＝﹣4，x2＝2
∴A(﹣4，0)，B(2，0)
(2)令x＝0，可得y＝4
∴C(0，4)
∴AB＝6，CO＝4
∴S△ABC＝×6×4＝12
(3)如图：作PD⊥AO交AC于D
设AC解析式y＝kx+b
∴
解得：
∴AC解析式y＝x+4
设P(t，﹣ t2﹣t+4)则D(t，t+4)
∴PD＝(﹣t2﹣t+4)﹣(t+4)＝﹣t2﹣2t＝﹣(t+2)2+2
∴S△ACP＝PD×4＝﹣(t+2)2+4
∴当x＝﹣2时，△ACP最大面积4
【点睛】本题主要考查二次函数综合题，重在基础知识考查，熟悉掌握是关键.
25．（1）点B的坐标为（1，0）.
（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD长度的最大值为.
【分析】（1）由点与点关于直线对称可求得点的坐标；
（2）①将点和点的坐标代入抛物线的解析式可求得、的值，从而得到抛物线的解析式，设点的坐标为，则点到的距离为．然后依据列出关于的方程，从而可求得的值，于是可求得点的坐标；
②先求得直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，然后可得到与的函数的关系，最后利用配方法求得的最大值即可．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，点的坐标为，
点的坐标为．
（2）①将点和点的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：，，
抛物线的解析式为．
将代入得，
点的坐标为．
．
点的坐标为，
．
设点的坐标为，则点到的距离为．
，
，即，解得．
当时，点的坐标为；
当时，点的坐标为．
点的坐标为或．
②如图所示：
设的解析式为，将点的坐标代入得：，解得，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为．
，
当时，有最大值，的最大值．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解题的关键是主要应用了抛物线的对称性、待定系数法求二次函数的解析式，列出线段的长与点横坐标之间的函数关系是解题的关键．
26．（1）（2）x=3﹣（3）P（﹣2，1）
【分析】（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式．
（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；
（3）首先作出 PACB，然后证明点P在抛物线上即可．
【详解】解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
∵在△AOB与△CDA中，，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2．
∴OD=OA+AD=3．
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线上，
∴，解得：．
∴抛物线的解析式为：．
（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．
∴S△ABC=AB2=．
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴，解得．
∴直线BC的解析式为．
同理求得直线AC的解析式为：．
如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，
则．
在△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．
由题意得：S△CEF=S△ABC，即：EF h=S△ABC．
∴，整理得：（3﹣x）2=3．
解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去）．
∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．
（3）存在．如答图2所示，
过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．
过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．
过点P作PH⊥x轴于点H，
则易证△PAH≌△BCG．
∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2．
∴P（﹣2，1）．
∵抛物线解析式为：，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．
27．(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，设顶点式，将点代入即可求出函数解析式；
（2）连接，根据求出S与t的函数关系式；
（3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由中点坐标公式求出n即可．
【详解】（1）解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
，
；
（2）如图，连接，
当时，，
或2，，
点P在抛物线上，
点P的纵坐标为，
；
（3）设，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
综上：或或．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法及平行四边形是性质是解题的关键．22.2 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）二次函数的图像经过点，，则关于x的方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）根据下列表格的对应值：
x … 6.17 6.18 6.19 6.20 …
ax2＋bx＋c … －0.02 －0.01 0.01 0.04 …
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的取值范围是( )
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
3．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）二次函数y＝a x2＋bx＋c的图象如图所示，且方程a x2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＜3 D．1＜k ＜3
4．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（ ）
A．x＜0 B．0＜x＜2 C．x＞2 D．x＜0或 x＞2
5．（2022秋·甘肃定西·九年级期末）已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
6．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）抛物线的顶点为D(-1,3)，与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤若点都在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则下列结论中正确的是（ ）．
A． B．时，y随x的增大而增大
C． D．该函数图象是中心对称图形
8．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）若二次函数的图象经过点（﹣1，0），则方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题
9．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是 ．
10．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）如图，二次函数与一次函数的图像相交于点，则使成立的x的取值范围是
11．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是 ．
12．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知抛物线与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点在第 象限．
13．（2022秋·甘肃定西·九年级期末）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，则的顶点坐标为 ．
14．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
15．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是
16．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝ ．
三、解答题
17．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）阅读理解
我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点，例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点值，点是函数的零点．
问题解决
(1)已知函数，则该函数的零点坐标为：_____；
(2)若二次函数有两个零点，求实数m的取值范围；
(3)已知二次函数的两个零点都是整数点，求整数k的值．
18．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）已知二次函数．
(1)将函数化成的形式是_____，函数的对称轴方程为_____，顶点坐标为_____；
(2)函数图象与两坐标轴的交点坐标分别是____________；
(3)当x____时，y随x的增大而减小；
(4)将抛物线先向_____平移1个单位长度，再向______平移8个单位长度即可得到．
19．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）如图所示，二次函数的图像交x轴于A、B两点，交y轴于C点，求△ABC的面积．
20．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，求m的值．
21．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知关于的二次函数，该函数的图象与轴相交于、（在的左侧）两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上一点，且位于轴的上方，若的面积为12，求点的坐标．
22．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 3 -1 0 -1 0 3 …
其中，______．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程有______个实数根；
②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．
参考答案：
1．D
【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标是令的两个根，计算判断即可．
【详解】因为二次函数的图像经过点，，
所以方程的根是，，
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
2．C
【分析】根据在6.18和6.19之间有一个值能使ax2+bx+c的值为0，于是可判断方程ax2+bx+c=0一个解x的范围．
【详解】解：由 ，
得 时 随 的增大而增大，
得 时， ，
时， ，
∴的一个解x的取值范围是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．
3．A
【分析】将方程ax 2＋bx＋c＝k先移项，整理为一元二次方程，让根的判别式大于0求值即可．
【详解】由图象可知二次函数y＝a x 2＋bx＋c的顶点坐标为（2，2），
∴＝2，即b2－4ac＝－8a，
∵a x 2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，
∴方程a x 2＋bx＋c－k＝0的判别式⊿＞0，
即b2－4a（c－k ）＝b2－8a＋4ak＝－4a（2－k ）＞0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2－k＞0，
∴k＜2．
故选A．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数中当b2 4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点．
4．B
【详解】由图可知：抛物线y1=﹣x2+4x的图象在直线y2=2x的图象上方部分所对应的x的取值范围是0∴不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0故选B.
5．C
【分析】分情况讨论，当时，函数是一次函数，为：，此时图象和x轴有交点；当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，说明一元二次方程的，建立一个关于k的不等式，解不等式即可．
【详解】当时，函数是一次函数，
解析式为：，
此时图象和x轴有交点，
即满足要求；
当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，
∴一元二次方程的，
即：，
解得且，
综上：则k的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．解答时注意分类讨论的思想．
6．C
【分析】根据二次函数的图象、 与坐标轴的交点、对称性、顶点坐标以及与一元二次方程的关系等逐项判断即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点，
∴，
∴
故①正确；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0），（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故②正确；
∵对称轴x＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线的顶点为D(-1,3)，
∴y＝a－b＋c＝c－a＝3，
故③正确；
由③知，，即c＝a＋3，
∵对称轴x＝﹣1，
∴b＝2a，
对于来说，
，
∴方程有两个不相等的实数根；
故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴x＝﹣1，顶点为D(-1,3)，
当x＜﹣1时，y随x增大而增大，
∴当时，，
当x＞﹣1时，y随x增大而减小，
∴当时，，
当时，无法判断与的大小关系，
故⑤错误，
综上：①②③④正确，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确判断的前提．
7．C
【分析】由图象开口向上，可知a>0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c<0，根据对称轴在y轴的右侧得到b<0，于是可判断A；根据对称轴在y轴的右侧可判断B；根据抛物线与x轴的交点个数可判断C；抛物线是轴对称图形，据此可判断D．
【详解】解：由图象开口向上，可知a>0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c<0，
又顶点D在第四象限，即对称轴在y轴的右侧，所以-＜0，所以b<0，
∴abc＞0，故A错误；
∵顶点D在第四象限，即对称轴在y轴的右侧，
∴时，y随x的增大而增大，是错误的，故选项B不符合题意；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2-4ac＞0，故C正确；
∵抛物线是轴对称图形，故D选项错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
8．C
【详解】∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），
∴方程一定有一个解为：x=﹣1，
∵抛物线的对称轴为：直线x=1，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程的解为：，．
故选C．
9．或
【分析】直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】解：根据图象可得，图象与x轴交于，，
故当时，x的取值范围是：或．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．
10．或
【分析】根据抛物线与直线交点坐标，结合图像即可解答．
【详解】解：∵抛物线与直线交点坐标为，
∴或时，抛物线在直线的上方，
∴使成立的x的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是结合图像求解．
11．﹣3≤x≤0．
【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，-3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，
所以，满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是﹣3≤x≤0．
故答案为：﹣3≤x≤0
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
12．一
【分析】根据抛物线与x轴没有交点求出，可得抛物线开口向上，再求出抛物线对称轴在y轴右侧，然后可得答案．
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为，即在y轴右侧，
∴该抛物线的顶点在第一象限，
故答案为：一．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c是常数，）：决定抛物线与x轴的交点个数；时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
13．
【分析】根据抛物线与轴的交点问题，得到图象与轴交点坐标为：，，此时顶点坐标为，再利用旋转的性质得到图象与轴交点坐标为：，，顶点坐标为，于是可推出抛物线上的点的横坐标为偶数时，纵坐标为0，横坐标是奇数时，纵坐标为1或，按照上述规律进行解答，即可求解．
【详解】解：一段抛物线，
图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，
将绕点旋转得，
图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，
将绕点旋转得，
图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，
∴当n为奇数时，的顶点坐标为，
当n为偶数时，的顶点坐标为，
当时，的顶点坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标规律探究，抛物线与轴的交点，二次函数的顶点，二次函数与几何变换．找出顶点坐标的变化规律是解答本题的关键．
14．8
【分析】由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可．
【详解】解：由题意得，解得．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程方程的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程方程的关系．当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x轴只有一个公共点；时，抛物线与x轴没有公共点．
15．2
【分析】抛物线与x轴有两交点，则△=b2-4ac＞0，列出不等式求得整数解即可．
【详解】解：由题意得：（2k+1）2-4（k2+2）＞0，
解得，
故整数k的最小值是2．
故答案为2．
16．-1
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题，利用关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的解一个为x1=3得到二次函数y=x2-2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），然后利用抛物线的对称性得到二次函数y=x2-2x+k与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），从而得到方程x2-2x+k=0另一个解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，
∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
17．(1)(，0)
(2)
(3)
【分析】（1）令，可得x的值，即可求得该函数的零点坐标；
（2）令，得到关于x的一元二方程，利用根的判别式即可求得实数的取值范围；
（3）令，得到关于x的一元二方程，利用公式法解一元二次方程，即可求得整数的值．
【详解】（1）令，
解得，
∴该函数的零点坐标为(，0)，
故答案为：(，0)；
（2）令，得，
∵，，，
∴，
解得：，
∴实数的取值范围是：；
（3）．
令，
即，
∵，，，
∴
∴，
∴或．
∵函数的两个零点都是整数，是整数，
∴是整数，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：把新定义“函数的零点值”转化为求函数图象与x轴的交点坐标，利用判别式的意义判断抛物线与x轴的交点个数解决（2）小题，利用公式法解一元二次方程解决（3）小题．
18．(1)，，（-1，-8）
(2)（1，0）、（-3，0）、（0，-6）
(3)
(4)左，下
【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）对于二次函数分别令x=0时求出y的值，令y=0时，求出x的值即可得到答案；
（3）根据二次函数图图象的增减性求解即可；
（4）根据二次函数图象平移的规律求解即可．
【详解】（1）解：，
∴函数的对称轴方程为，顶点坐标为（-1，-8），
故答案为：，，（-1，-8）；
（2）解：令，则，即
∴，
解得或，
∴函数与x轴的交点坐标为（1，0）、（-3，0），
令，则，
∴函数与y轴的交点坐标为（0，-6），
故答案为：（1，0）、（-3，0）、（0，-6）；
（3）解：∵函数解析式为，
，抛物线开口向上，对称轴为x=-1，
∴当时，y随x的增大而减小；
故答案为：；
（4）解：∵平移后的解析式为，原抛物线解析式为，
∴抛物线先向左平移一个单位长度，再向下移8个单位长度即可得到，
故答案为：左，下；
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象的平移，二次函数与坐标轴的交点等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
19．3
【分析】分别求出A、B、C三点的坐标，从而求出OC和AB的长，然后根据三角形面积公式求解即可；
【详解】解：，当时，或1，当时，，
∴点A的坐标为（1，0），点B坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）
∴，，，
∴，
∴△ABC的面积是．
【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，三角形面积，正确求出A、B、C三点的坐标是解题的关键．
20．(1)
(2)或
【分析】（1）设出二次函数的顶点式，然后将顶点坐标为，点直接代入即可．
（2）将代入（1）中求出的表达式，解方程即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
得
解得，
所以此函数的解析式为
（2）解：把代入
得，
解得 或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，以及求坐标的值，准确设出表达式是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先根据二次函数与轴交于点，解得m的值，即可解题；
（2）设点，令，解得的值，得到点A，B的坐标，再根据的面积为12，解得点P的纵坐标，代入解析式即可解题．
【详解】（1）解：根据题意，
则
；
（2）设点，
根据题意可得
解得
点P的坐标为．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
22．（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②
【分析】（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；
（2）利用描点法画函数图象即可；
（3）①观察图象找出图象与x轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x轴直线的交点个数为4个时对应y的取值范围即可．
【详解】（1）x=-2时，m=（-2）2- =0；
故答案为：0；
（）如图所示
（）①观察图象，可知与x轴有三个交点，
所以有三个根，分别是、、；
即答案为3；
②∵关于的方程有四个根，
∴函数的图象与y=a有四个交点，
由函数图象知：的取值范围是．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．22.3 实际问题与二次函数
一、单选题
1．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）如图，某涵洞的截面是抛物线型，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO＝2.4m，在图中直角坐标系内涵洞截面所在抛物线的表达式是 ．
3．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 米．
4．（2022秋·甘肃陇南·九年级期末）公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m才能停下来．
三、解答题
5．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
6．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）如图是某地区一条公路隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8 m，点B离路面AA1的距离为6 m，隧道宽AA1为16 m.
(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式．
(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．
7．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）某批发商以6元/千克的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，批发商销售过程中发现，这种蔬菜的销售单价为10元/千克时，每天的销售量为300千克，如果调整价格，销售单价每涨1元，每天少卖出30千克，设销售价格为x元/千克，每天的销售量为y千克．
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)当每天销售单价是多少元时，该批发商销售这种蔬菜的利润为1200元？
(3)端午节期间，批发商对这种蔬菜进行优惠促销，每购买1千克这种蔬菜，赠送成本为2元的端午节饰品，这种蔬菜的售价定为多少元时，该批发商每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
8．（2022秋·甘肃酒泉·九年级期末）某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可以多销售5件．
(1)如果每天要盈利1600元，每件应降多少元？
(2)问将售价降多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
9．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）某商品的进价为每件33元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．
(1)商场要想平均每星期盈利8500元，每件商品的售价应为多少元？
(2)商场要想平均每星期获得最大利润，每件商品的售价应为多少元？
10．（2022秋·甘肃定西·九年级期末）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
(1)假设每千克涨价x元，商场每天销售这种水果的利润是y元，请写出y关于x的函数解析式；
(2)若商场只要求保证每天的盈利为4420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
(3)当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
11．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱.
(1)求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润(元)与销售价(元/箱)之间的函数关系式；
12．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．
（1）假设设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，求与之间的函数关系式．
（2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润 此时，该商品的定价为多少元 获得的最大利润为多少
13．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x(元）满足一次函数m=-2x+160．
（1）写出商场买出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数解析式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，那么每件商品的售价定位多少元最合适？最大的销售利润为多少元？
14．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
15．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
16．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
17．（2022秋·甘肃陇南·九年级期末）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
18．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级期末）今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），请直接写出x的取值范围；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．
19．（2022春·甘肃陇南·九年级期末）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．
20．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，．
求：
(1)该抛物线的函数表达式；
(2)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离的长．
21．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，近些年来冰雪运动得到了蓬勃发展，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得一组数据（如下表）．
滑行时间t/s 0 1 2 3 4
滑行距离s/m 0 5 14 27 44
(1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；
(2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数图象的一部分？请你用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系；
(3)如果该滑雪者滑行了230m，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒．（）
参考答案：
1．C
【详解】解：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，
则△BPQ的面积=BP BQ，
可得y= 3x x=；
故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积=BQ BC，
可得y= x 3=；
故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ的面积=AP BQ，
可得y= （9﹣3x） x=；
故D选项错误．
故选：C．
2．y＝－x2
【详解】解：设涵洞所在抛物线的解析式为y=ax2，
由题意可知点B坐标为（0．8，-2．4），代入得-2．4=a×0．82
解得a=-，
所以y=-x2
故答案为：y＝－x2
【点睛】本题考查二次函数的应用．
3．4
【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【详解】∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标．
∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为：（2，4）．
∴喷水的最大高度为4米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
4．20．
【详解】求停止前滑行多远相当于求s的最大值.
则变形s=-5(t-2)2+20，
所以当t=2时，汽车停下来，滑行了20m.
5．(1)AB的长为8厘米或12厘米．
(2)150
【分析】（1）设AB的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可；
（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得：
，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴都符合题意，
答：AB的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：
，
∵，且，
∴当时，S有最大值，即为；
故答案为：150．
【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
6．（1）y＝－x2＋8(－8≤x≤8)；（2）该货车能安全通过这个隧道．理由见解析.
【分析】（1）求出B,C的坐标,待定系数法即可解题；（2）利用货车的宽度求出此时允许通过的最大高度进行比较即可解题.
【详解】(1)由已知得OA＝OA1＝8 m，OC＝8 m，AB＝6 m．故C(0，8)，B(－8，6)．设抛物线BCB1对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将B点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a＝－，所以y＝－x2＋8(－8≤x≤8)．
(2)能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为2 m．
如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作DE⊥AA1于点E.
当x＝2时，y＝－×22＋8＝，即D（2，），所以DE＝m．
因为＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．
【点睛】（1）考查了待定系数法求解一元二次函数解析式,（2）考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的性质是解题关键.
7．(1)y与x之间的函数关系式为
(2)每天销售单价是10元或16元时，该批发商销售这种蔬菜的利润为1200元
(3)这种蔬菜的售价定为14元时，该批发商每天的销售利润最大，最大利润是1080元
【分析】（1）利用题干中的数量关系列出代数式即可；
（2）利用利润销售价格-进价销售量列出方程，解方程即可得出结论；
（3）设批发商销售利润为w元，利用利润销售价格-进价销售量列出函数关系式，再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1），
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）设每天销售单价是m元时，该批发商销售这种蔬菜的利润为1200元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：每天销售单价是10元或16元时，该批发商销售这种蔬菜的利润为1200元．
（3）设批发商销售利润为w元，售价定为x元，由题意得：
，
∵，
∴当时，w有最大值为1080元，
∴这种蔬菜的售价定为14元时，该批发商每天的销售利润最大，最大利润是1080元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，配方法，二次函数的性质，熟练掌握利润与进价，售价与销售量之间的关系是解题的关键．
8．(1)36元或4元
(2)20元，2880元
【分析】（1）设每件降价x元，则每件盈利元，平均每天可销售件，根据题意列出相应的方程，即可求得如果每天要赢利1600元，每件应降价多少元；
（2）设总利润为w元，根据题意可以得到利润与降价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】（1）解：设每件降价x元，则每件盈利元，平均每天可销售件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
∴每件应降价4元或36元．
（2）解：设总利润为w元，
∵，
∵，
∴当时，w有最大值，此时元．
答：每件应降价20元，每天能获得最大利润，最大利润为2880元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程的知识和二次函数的性质即可解答本题．
9．(1)50元或58元
(2)54元
【分析】（1）设每件商品的售价应为x元，根据总利润和每件利润与件数的关系列出总利润的代数式，建立方程（x-33）[300+20(60-x)]=8500解答；
（2）设每件商品的售价为x元，商场平均每周的利润为w元，根据w和每件利润与件数的关系列出函数表达式，配方成顶点式，得到当每件商品的售价为54元时，商场平均每周的利润最大，其最大值为8820元．
（1）
解：设每件商品的售价应为x元，根据题意，得
（x-33）[300+20(60-x)]=8500
解得，，
∴售价应为50元或58元；
（2）
设每件商品的售价为x元，商场平均每周的利润为w元，根据题意，得
，
当每件商品的售价为54元时，商场平均每周的利润最大，其最大值为8820元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握总利润和每件利润与件数的关系列方程，列函数表达式，配方法把二次函数一般式化成顶点式．
10．(1)
(2)每千克应涨价3元
(3)当每千克涨价为5元时，每天的盈利最多，最多是4500元
【分析】（1）根据利润=每千克利润×销售量求解函数解析式即可；
（2）由y=4420，解一元二次方程即可求解；
（3）利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每千克涨价x元，由题意，
得： ，
即y与x的函数解析式为；
（2）解：设每千克应涨价x元，
由y=4420得：
即，
解得：，，
∵同时要使顾客得到实惠，
∴，
答：每千克应涨价为3元；
（3）解：设每千克涨价x元，
由于，
∵-20＜0，
∴当x=5时，y有最大值，最大值为4500，
答：当每千克涨价为5元时，每天的盈利最多，最多是4500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求出二次函数解析式并会利二次函数的性质求最值是解答的关键．
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意易得：平均每天销售量（y）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为，化简即可；
（2）根据销售利润w（元）=每箱的销售利润×每天的销售量，得到函数解析式即可．
【详解】（1）（1）由题意得：，
化简得：；
（2）由题（1）可知：
化简得：．
【点睛】本题考查了二次函数的简单应用．解题的关键是正确理解题意，确定变量，明确其中的数量关系，建立函数模型．
12．（1）；（2）每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元
【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）
．
（2）
所以，当时，y取得最大值为2250．
答：每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据每天的利润=一件的利润销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．
13．（1）y与每件的销售价x之间的函数解析式是；（2）每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元．
【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价 进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围；
（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【详解】（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x-40）元，那么m件的销售利润为y＝m（x-40），又∵m＝ 2x+160，
∴，
∴y与每件的销售价x之间的函数解析式是；
（2）由（1可得），
可得每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润＝（销售价 进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．
14．（1）450千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大
【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；
（2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可；
（3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【详解】解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克．
设每千克水果售价为元，由题意，得
即
整理，得
配方，得
解得
当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；
设月销售利润为元，每千克水果售价为元，
由题意，得
即
配方，得
，
当时，有最大值，
当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．
15．（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元
【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论．
【详解】（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，，
解得：，，
∵每件利润不能超过60元，
∴，
答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
答：当为20时最大，最大值是2400元．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
16．(1) ；
(2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元；
(3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【分析】（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式．
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值．
（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
【详解】解：（1）由题意得：，
∴w与x的函数关系式为：．
（2），
∵﹣2＜0，
∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150，
解得x1=25，x2=35．
∵35＞28，
∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【点睛】本题考查二次函数的应用.根据题意列出函数是解题的关键.
17．y=﹣10x2+1600x﹣48000；80元时，最大利润为16000元．
【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；
（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．
【详解】解：（1）S=y（x﹣20）
=（x﹣40）（﹣10x+1200）
=﹣10x2+1600x﹣48000；
（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000
=﹣10（x﹣80）2+16000，
则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式．
18．（1）y=﹣2x+340（20≤x≤40）；（2）5200
【详解】试题分析：（1）待定系数法求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．
试题解析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，
解得：， ∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．
（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，
∵﹣2＜0， ∴当x≤95时，W随x的增大而增大， ∵20≤x≤40，
∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．
考点：二次函数的应用
19．解：（1）一次函数的表达式为
（2）当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元
（3）销售单价的范围是．
【分析】（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．
（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润．
（3）由w=500推出x2﹣180x+7700=0解出x的值即可．
【详解】(1)根据题意得：，
解得k=﹣1，b=120．
所求一次函数的表达式为；
（2）=，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（1+45%），∴60≤x≤87，
∴当x=87时，W==891，
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）令w=500，解方程，解得，，又∵60≤x≤87 ，所以当w≥500时，70≤x≤87．
考点：1．二次函数的应用；2．应用题．
20．(1)抛物线的解析式为：
(2)的长约为米
【分析】（1）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（2）根据勾股定理可得出和的长，进而得出点D的坐标，由的长为点D的横坐标减去的长可得出结论．
【详解】（1）解：∵抛物线最高点B的坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：．
（2）在中，，米，
∴米，米．
∴点D的纵坐标为，
令，
解得，，
∵D在对称轴右侧，
．
米，
∴的长约为米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
21．(1)图见解析
(2)二次函数，．
(3)10秒
【分析】（1）描点，连线，画出函数图象；
（2）由图象可得出s与t的关系可近似看成二次函数，再根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可；
（3）把s=230m代入即可求出t的值．
【详解】（1）描点，连线，如图所示．
（2）观察函数图象，s与t的关系可近似看成二次函数，
设s关于t的函数关系式为s＝at2＋bt，
将（1，5）（2，14）代入s＝at2＋bt，得
，
解得：，
∴近似地表示s关于t的函数关系式为．
（3）当s=230，代入s=
得230=
解得t1=10，t2=-11.5（舍去）
∴滑行的时间是10秒．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．
