23.1 图形的旋转
一、单选题
1．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此时点在边上，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）2022年2月4日－2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转（ ）．
A．180° B．120° C．90° D．60°
3．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转85°得到△A，若∠＝60°，则∠CA的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
4．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级校考期末）如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到COD， 若∠AOB=15°，则∠AOD=（ ）．
A．60° B．45° C．15° D．30°
5．（2022秋·甘肃武威·九年级校考期末）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转25°，B点落在B′位置，点A落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
6．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）如罔，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点 A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是( )．
A．45° B．30° C．25° D．15°
7．（2022秋·甘肃陇南·九年级校考期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·甘肃武威·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为
A．（3，4） B．（﹣4，3） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）
二、填空题
10．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）如图，在中，，，，在直线l上．将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转，直到得到点为止．则 ．
11．（2022秋·甘肃武威·九年级校考期末）如图，在矩形中，，，矩形绕点逆时针旋转一定角度得矩形，若点的对应点落在边上，则的长为 ．
12．（2022秋·甘肃金昌·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是 ．
13．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，B、D、C在一条直线上．若∠B＝70°，则∠EDC＝ °．
14．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ．
15．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，继续旋转至2019次得到正方形，则点的坐标是 ．
16．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）如图，在正方形中，顶点A，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形（点在轴正半轴上），将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点的坐标为 ．
17．（2022秋·甘肃酒泉·九年级期末）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上．将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2021次后，点P的坐标为 ．
三、解答题
18．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)画出将关于原点的中心对称图形．
(2)将绕点顺时针旋转得到，画出．
(3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为___________．
19．（2022秋·甘肃武威·九年级校考期末）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
(1)请求出旋转角的度数；
(2)请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
(3)若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长
21．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）【基础回顾】（1）如图1，是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到，若连接，则△AEE' 的形状为______；
【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点，在上取点，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明；
【联想拓展】（3）如图3，在△ABC中，，．点在上，求，，之间存在的数量关系．
22．（2022秋·甘肃张掖·九年级校考期末）如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ．
拓展延伸：
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明．
23．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于x轴对称的；
（2）画出绕点O顺时针旋转90°后得到的．
24．（2022秋·甘肃陇南·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标为（1，1）．
(1)将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°画出旋转后的图形；
(2)若点B到达点，点C到达点，点D到达点，写出点、、的坐标．
25．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级校考期末）如图，在边长为1的正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(﹣4，1)，点B的坐标为(﹣1，1)．
（1）画出ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的A1BC1；并写出A1坐标．
（2）画出ABC关于原点O对称的A2B2C2．并写出A2坐标．
26．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）如图，点P是等边三角形内部一点，连接，现将绕点A顺时针旋转到的位置，求证： 是等边三角形．
参考答案：
1．A
【分析】根据旋转的性质可得B'C=BC=5，AC=A'C=3，即可得到答案．
【详解】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C，
∴B'C=BC=5，AC=A'C=3，
∴AB'=B'C-AC=5-3=2，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后，对应边相等、对应角相等．
2．D
【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．
【详解】解：“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为60°，
∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，解题的关键是理解题意，掌握正六边形的性质．
3．B
【分析】由旋转的性质知∠CA＝85°，根据∠CAB'＝∠CA﹣∠即可．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转85°得到△A，
∴∠CA＝85°，，
∵∠＝60°，
∴∠CAB'＝∠CA﹣∠＝85°﹣60°＝25°，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握性质，明确旋转角的意义是解题的关键．
4．D
【分析】根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD-∠AOB计算即可得解．
【详解】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=45°-15°=30°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5．B
【分析】将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转25°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，根据旋转的性质，∠BAC=∠A′，若AC⊥A′B′，则∠CMA′=90°，求出∠A′的度数即可．
【详解】解：∵AC⊥A'B'，
∴∠CMA=90°,
∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转25°，B点落在B′位置，点A落在A'位置，
∴∠A′CA=25°, ∠BAC=∠A′，
∴∠A′=90°-25°=65°
∴∠BAC==65°
故选:B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，根据图示和旋转的性质确定各角之间存在的关系，求出即可．
6．D
【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又∠CAC′=90°，根据△CAC′是等腰直角三角形的性质解题．
【详解】由旋转的性质可知，AC=AC′，
又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，
∴∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，
∴∠CC′B′=15°．
故选D．
7．B
【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，
故选B．
8．A
【分析】如图，过点A、分别作x轴的垂线，垂足为H、P，则，由旋转的性质和角之间的关系可证，，即可得到点的坐标．
【详解】如图，过点A、两点分别作x轴的垂线，垂足为H、P，则，
∵点，
∴，
∵线段绕点O顺时针旋转，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的性质和角之间的关系确定全等三角形．
9．C
【分析】将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP'位置可看Rt△OPA点O逆时针旋转90°到Rt△OP'A'，根据旋转的性质得PA=P'A'=4， OA=OA'=3，然后根据第二象限内点的坐标特征求解．
【详解】如图，OA=3，PA=4，
∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，
∴OA旋转到x轴负半轴OA′的位置，
∴∠P′A′O=∠PAO=90°，P′A′=PA=4．OA=OA'=3，
∴P′点的坐标为（﹣3，4）．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
10．/
【分析】根据题意，发现将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加2，，1，且三次一循环，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，旋转的性质及直角三角形的性质，得到的长度依次增加2，，1，且三次一循环是解题的关键．
11．2
【分析】根据旋转的性质推出，根据勾股定理可求得，即可推出的长．
【详解】解： 矩形绕点逆时针旋转一定角度得矩形
，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟知矩形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键．
12．（0，）
【分析】根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP4=8=23，OP5=16=24…，OPn=2n-1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
【详解】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；
∴OP1=1，OP2=2，
∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，
∴OPn=2n-1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8=252…4，
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，
∴点P2020的坐标是（0，）．
故答案为：（0，）．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上是解题关键．
13．
【分析】根据旋转的性质可得，，再根据平角的性质即可求解．
【详解】解：根据旋转的性质可得，
∴
∴
故答案为
【点睛】此题考查了旋转的性质，涉及了等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的有关性质是解题的关键．
14．1.6
【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
【详解】解：由旋转的性质可得：AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=2，BC=3.6，
∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6．
故答案为1.6．
【点睛】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
15．
【分析】由题意依次写出前几个，找到规律，根据规律求即可．
【详解】解：由题意可得：，，，，，，，，．．．
故周期为8，
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转找规律，准确计算出每个点变化之后的坐标是解题关键．
16．
【分析】根据直角坐标系、正方形的性质，得，，根据勾股定理的性质，得；根据菱形的性质，得；根据图形规律和旋转的性质分析，即可得到答案．
【详解】∵正方形中，顶点A，，，在坐标轴上，且
∴，
∴
以为边构造菱形（点在轴正半轴上），
∴
∴
根据题意，得菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每8次一个循环
∵除以8，余数为6
∴点的坐标和点的坐标相同
根据题意，第2次旋转结束时，即逆向旋转时，点的坐标为：
第4次旋转结束时，即逆向旋转时，点的坐标为：
第6次旋转结束时，即逆向旋转时，点的坐标为：
∴点的坐标为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形规律、旋转、菱形、正方形、勾股定理、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、菱形、正方形的性质，从而完成求解．
17．（6065，2）
【分析】首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
【详解】第一次P1（5，2）
第二次P2（8，1）
第三次P3（10，1）
第四次P4（13，2）
第五次P5（17，2）
发现点P的位置4次一个循环；
∵2021÷4＝505余1
P2021的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+12×505＝6065
∴P2021（6065，2）
故答案为（6065，2）．
【点睛】本题考查了坐标、图形旋转的知识；解题的关键是熟练掌握坐标的性质和图形旋转规律，从而完成求解．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据中心对称的性质即可画出；
（2）根据旋转的性质即可画出；
（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出；
（2）由得：，再根据，，得，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键．
20．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得，可得，即可求旋转角的度数；
（2）由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可求，即可得；
（3）由勾股定理可求的长，再由勾股定理可求的长．
【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转得到，
，
，
又，
，
，
故旋转角的度数为；
（2）解：；
理由如下，如图所示：
在中，，
，
，
，即，
又，
，
，
；
（3）解：连接，如图所示：
由旋转图形的性质可知，，旋转角，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键．
21．（1）等腰直角三角形；（2）QE=E'P，证明见解析；（3）PC2+BP2=2AP2．
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=90°，∠D=90°，由旋转的性质得出∠EAE′=∠DAB=90°，E′A=EA，则可得出结论；
（2）证明△DQE≌△BE'P（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
（3）将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD，连接PD，则△APD是等腰直角三角形，由旋转的性质得出∠ABP=∠ACD=45°，BP=CD，证出∠BCD=90°，由勾股定理可得出答案．
【详解】解（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，∠D=90°，
∵△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，
∴∠EAE′=∠DAB=90°，E′A=EA，
∴△AEE′为等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；
（2）QE=E'P．
证明：∵将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE′，
∴∠D=∠ABE'，DE=BE'，
∵DQ=BP，
∴△DQE≌△BE'P（SAS），
∴QE=E'P．
（3）将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD，连接PD，则△APD是等腰直角三角形，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
由旋转的性质可知∠ABP=∠ACD=45°，BP=CD，
∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴PC2+CD2=PD2，
∵AP2+AD2=PD2=2AP2，
∴PC2+BP2=2AP2．
故答案为：PC2+BP2=2AP2．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22．（1）BE=DG，EF=FG，EF=BE+DF；（2）GH2=AG2+CH2，证明见解析．
【分析】（1）结论：EF=BE+DF．证明△AFE≌△AFG（SAS）即可解决问题．
（2）结论：GH2=AG2+CH2．将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．证明∠MAG=90°，△BGH≌△BGM（SAS）即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF．
由旋转的性质可知：DG=BE，∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAG=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠FAG=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴EF=BE+DF．
（2）结论：GH2=AG2+CH2．
如图：将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°，
由旋转的性质可知：BH=BM，∠C=∠BAM=45°，∠ABM=∠CBH，
∴∠MAG=∠BAM+∠BAC=90°，
∵∠HBG=45°，
∴∠GBM=∠ABG+∠ABM=∠ABG+∠CBH=90°-∠HBG=45°，
∴∠HBG=∠MBG，
∵BG=BG，
∴△BGH≌△BGM（SAS），
∴GH=GM，
∵∠MAG=90°，
∴AM2+AG2=GM2，
∴GH2=AG2+CH2．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，属于中考常考题型．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O即可；
（2）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2O即可；
【详解】解：①△ABO关于x轴对称的△A1B1O如图所示；
②△ABO绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2O如图所示；
【点睛】本题考查了作图-旋转变换、轴对称变换，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
24．(1)作图详见解析；
(2)（2，﹣1），（4，0），（3，2）．
【分析】（1）分别画出B、C、D三点绕点A顺时针方向旋转90°后的对应点、、即可；
（2）根据图象写出坐标即可．
【详解】（1）解：正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，旋转后的图形如图所示．
（2）解：由（1）的作图可知，（2，﹣1），（4，0），（3，2）．
【点睛】本题考查了作图——旋转变换以及坐标与图形，掌握旋转图形的性质是解题的关键．
25．（1）见解析，A1(-1，-2)；（2）见解析，A2(4，-1)
【分析】（1）分别作出A，C的对应点A1，C1即可；
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【详解】解：（1）如图△A1BC1即为所求，A1（-1，-2）；
（2）如图△A2B2C2即为所求，A2（4，-1）．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
26．是等边三角形，见解析
【分析】根据等边三角形的性质得，，由旋转得：，，根据得，即可得．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，，
由旋转得：，，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．23.2 中心对称
一、单选题
1．（2022秋·甘肃陇南·九年级期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
3．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）已知点A（1，2）与点关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
6．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）坐标平面内，将点向右平移两个单位长度后恰好与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·甘肃金昌·九年级期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）若点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．5
9．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级期末）在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(－3，2)
二、填空题
10．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）在“正三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形”中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ．
11．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
12．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ．
13．（2022秋·甘肃定西·九年级期末）已知点A(2，a)和点B(b，－1)关于原点对称，则a+b= ．
14．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝ ．
15．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）写出点（-1，3）关于原点对称的点的坐标
16．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
三、解答题
17．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期末）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点A1顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，作出△A2B2C2；
（3）利用网格画出AB边上的高CD，并求出CD= ．
18．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（4，4），作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并分别写出A1、B1、C1的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解决本题的关键．
2．C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．C
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故A不符合题意；
B.不是中心对称图形，故B不符合题意；
C.是中心对称图形，故C符合题意；
D. 不是中心对称图形，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分完全重合是解题的关键．
5．D
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a,b的值．
【详解】解：∵点A（1，2）与点关于坐标原点对称，
∴实数a、b的值是：a＝-1，b＝-2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
6．D
【分析】由点向右平移两个单位长度可得平移后点的坐标为，然后根据该点与点关于原点对称可求解．
【详解】解：由题意可知点平移后的坐标为，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查点的平移及关于原点对称，熟练掌握点的平移及关于原点对称的特征是解题的关键．
7．C
【分析】根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．
【详解】关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,
所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),
故选C．
【点睛】本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．
8．D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标都互为相反数，可求出m、n的值，进而可得答案.
【详解】∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得：，，
∴.
故选：D.
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数；熟练掌握点的变化规律是解题关键．
9．B
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）”解答．
【详解】根据中心对称的性质，得点P（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）．
故选B．
【点睛】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
10．正三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
菱形，矩形，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
故答案为：正三角形．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
11．（2，﹣1）
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据 ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
【详解】解：∵ ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
12．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13．－1
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点A(2，a)和点B(b，－1)关于原点对称，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．
14．2
【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．
【详解】解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，
∴a-1+5=0，5+1-b=0，
∴a=-4，b=6，
∴a+b=2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．
15．（1，-3）
【分析】根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出．
【详解】解：点（-1，3）关于原点对称的点的坐标为：（1，-3）
故答案为：（1，-3）．
【点睛】此题考查的是求一个点关于原点的对称点，掌握关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，是解决此题的关键．
16．
【分析】根据题意直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），进而分析得出答案．
【详解】解：点M（-5，4）关于原点对称的点的坐标为（5，-4）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查点关于原点对称点的性质，熟练并正确掌握关于原点对称点的性质是解题的关键．
17．（1）图见解析（2）图见解析（3）
【分析】（1）利用中心对称的性质得到关于点C的对称点的位置，故可求解；
（2）利用旋转的性质得到关于点A1的对称点的位置，故可求解；
（3）根据网格的特点作垂直，再根据面积法求出高CD．
【详解】（1）如图，△A1B1C1为所求；
（2）如图，△A2B2C2为所求；
（3）如图，找到格点E，连接CE交AB于D点，高CD即为所求
∵S△ABC=2×2-==，AB=
∴CD=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了中心对称、勾股定理以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
18．图见解析，A1（-4，-4），B1（-1，-1），C1（-3，-1）．
【分析】根据旋转的性质即可作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，进而写出A1、B1、C1的坐标．
【详解】解：如图，△A1B1C1即为所求；
A1（-4，-4），B1（-1，-1），C1（-3，-1）．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解此题的关键是能正确作出旋转后的图形．
