25.1 随机事件与概率
一、单选题
1．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）下列事件中属于随机事件的是（ ）
A．抛出的篮球会落下
B．从装有黑球，白球的袋里摸出红球
C．在一个标准大气压下，加热到100℃，水沸腾
D．买1张彩票，中500万大奖
2．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上
B．太阳每天从东方升起
C．明天会下雨
D．经过城市中某一交通信号灯的路口，恰好是红灯
3．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）“网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号恰好是奇数”，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．确定事件 D．随机事件
4．（2022秋·甘肃金昌·九年级期末）下列事件中，为必然事件的是（ ）．
A．明天要下雨 B．
C． D．打开电视机，它正在播广告
5．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）下列说法正确的是（ ）．
A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
6．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级期末）下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ）
A．水中捞月 B．拔苗助长 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖
7．（2022春·甘肃陇南·九年级期末）在下面4个条件：①AB=CD；②AD=BC；③ABCD；④ADBC中任意选出两个，能判断出四边形ABCD是平行四边形的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）从2，5，3，6，4这5个数中随机抽取一个，恰好为2的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·甘肃定西·九年级期末）袋中有5个白球，若干个红球，从中任意取一个球，恰为红球的概率是，则红球的个数为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．15
10．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
11．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）关于“明天是晴天的概率为90％”，下列说法正确的是（ ）．
A．明天一定是晴天 B．明天一定不是晴天
C．明天90％的地方是晴天 D．明天是晴天的可能性很大
12．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，假设他们每次出这三种手势的可能性相同，则在一次游戏中两人手势相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级期末）如图所示，有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张是数字3的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）在正面完全相同、反面印有下列四个图形的纸片中，任抽一张，则抽到的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022秋·甘肃酒泉·九年级期末）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
16．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期末）走入考场之前老师送你一句话“Wish you success”．在这句话中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是( )
A． B． C． D．
17．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是（ ）．
A．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷； B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8；
C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的； D．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．
18．（2022秋·甘肃陇南·九年级期末）一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
19．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋中装有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中共有球的个数为（ ）
A．12 个 B．9 个 C．7 个 D．6个
二、填空题
20．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）在一个不透明的袋中有2个红球，若干个白球，它们除颜色外其它都相同，若随机从袋中摸出一个球，摸到红球的概率是，则袋中有白球 个.
三、解答题
21．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，3个黑球．
(1)从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
(2)若往口袋中再放入一些白球和9个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求放入的白球数量．
22．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）一个不透明的口袋中装有7个红球，9个黄球，2个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球．
(1)摸到的球是红球的概率是______；摸到黄球的概率为______；摸到白球的概率为______．
(2)如果要使摸到白球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个白球？
参考答案：
1．D
【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】解：A、抛出的篮球会落下是必然事件，故选项不符合题意；
B、从装有黑球，白球的袋里摸出红球是不可能事件，故选项不符合题意；
C、在一个标准大气压下，加热到100℃，水沸腾是必然事件，故选项不符合题意；
D、买1张彩票，中500万大奖是随机事件，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．B
【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、太阳每天从东方升起，是必然事件，符合题意；
C、明天会下雨，是随机事件，不符合题意；
D、经过城市中某一交通信号灯的路口，恰好是红灯，是随机事件，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查事件的分类．熟练掌握事件分为确定事件，随机事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，是解题的关键．
3．D
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件，进行求解即可．
【详解】解：∵网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号可以是奇数，也可以是偶数，
∴网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号恰好是奇数这一事件是随机事件，
故选D．
【点睛】本题主要考查了随机事件的定义，熟知定义是解题的关键．
4．B
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【详解】解：根据题意，结合必然事件的定义可得：
A、明天要下雨不一定发生，不是必然事件，故选项错误；
B、一个数的绝对值为非负数，故是必然事件，故选项正确；
C、，故不是必然事件，故选项错误；
D、打开电视机，它不一定正在播广告，有可能是其他节目，故不是必然事件，故选项错误；
故选B.
【点睛】本题考查了必然事件，关键是理解必然事件是一定会发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
5．C
【详解】解：A、“购买1张彩票就中奖”是不可能事件，错误，不符合题意；
B、“概率为0.0001的事件”是不可能事件，错误，不符合题意；
C、“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件，正确，符合题意；
D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次，错误，不符合题意.
故选：C.
6．D
【分析】必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断．
【详解】解： A选项，不可能事件，不符合题意；
B选项，不可能事件，不符合题意；
C选项，随机事件，不符合题意；
D选项，必然事件，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义是本题的关键．
7．D
【分析】根据平行四边形的判定判断即可．
【详解】解：4个条件的两两组合有：1和2；1和3；1和4；2和3；2和4；3和4六种组合，
其中1和2；1和3；2和4；3和4都能判断出四边形ABCD是平行四边形，
所以能判断出四边形ABCD是平行四边形的概率是，即为．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，概率=所求情况数与总情况数之比；解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
8．C
【分析】从5个数中，找出恰好为2的倍数的数的个数，再根据概率公式求解即可得出答案．
【详解】解：在2，5，3，6，4这5个数中，恰好为2的倍数的数有2，6，4，共3个数，
则恰好为2的倍数的概率为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率的计算，以及2的倍数的数的性质，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
9．C
【分析】设红球有n个，利用概率公式列方程求解即可．
【详解】解：设红球有n个，根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
所以，红球的个数为10，
故选：C．
【点睛】本题考查求简单的概率，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
10．C
【分析】根据中心对称图形的定义，即把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称和概率公式计算即可；
【详解】根据已知图形可得，中心对称图形是
，，，
共有3个，
∴抽到的图案是中心对称图形的概率是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了概率公式应用和中心对称图形的识别，准确分析计算是解题的关键．
11．D
【分析】根据概率的定义：概率表示事件发生可能性的大小，据此判断即可得．
【详解】解：明天是晴天的概率为90%，说明明天是晴天的可能性很大，
故选：D．
【点睛】题目主要考查概率的定义及对其的理解，深刻理解概率表示事件发生可能性的大小是解题关键．
12．A
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两人手势相同的情况，求出概率即可．
【详解】解：列表如图所示
石头 剪刀 布
石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头）
剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀）
布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布）
由列表可知所有等可能的情况有9种，其中两人手势相同的有3种结果，
所以两人手势相同的概率为＝，
故选：A．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．B
【分析】数字是3的卡片有2张，总共有6张，数字是3的卡片数与总卡片数之比即为所求．
【详解】解：由图知，6张卡片中有2张是数字3，
∴从中任取一张是数字3的概率是．
故选B．
【点睛】本题考查了概率公式．概率=所求情况数与总情况数之比．
14．B
【分析】由图可知既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个，故直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个，
∴任抽一张，则抽到的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是．
故选：B．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．A
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”
【详解】设盒子里有白球x个，
根据 得：
解得：x=32．
经检验得x=32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
故选；A．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
16．C
【详解】解：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，
其中有字母“s”4个；
故其概率为．
故选C
【点睛】概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
17．C
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
【详解】解：抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的，故选C．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
18．D
【详解】A．摸到红球是随机事件，故此选项错误；
B．摸到白球是随机事件，故此选项错误；
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项错误；
D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确；
故选：D．
19．A
【详解】解：设袋中共有的球数为x，根据概率的公式列出方程：，
解得：x=12．经检验符合题意，
故选A．
20．6
【分析】根据概率公式结合取出红球的概率即可求出袋中球的总个数.
【详解】解：设袋中有x个球.
根据题意得，
解得x=8（个），
8-2=6个，
∴袋中有8个白球.
故答案为：6.
【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
21．(1)
(2)2个
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）设放入的白球数量为x个，根据概率公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵从中随机取出一个球共有7种等可能的情况，其中是黑球的有3种可能，
∴从中随机取出一个球是黑球的概率是．
（2）解：设放入的白球数量为x个，
根据题意可得：，解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴放入的白球数量为2个．
【点睛】本题考查简单的概率计算、解分式方程，解答的关键是熟练掌握简单的概率计算方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A发生的概率是解决问题的关键．
22．(1)，，
(2)需要在这个口袋中再放入2个白球
【分析】（1）利用概率公式，代入数值求即可．
（2）设再放入x个白球，然后代入概率公式列方程，解方程即可．
【详解】（1）解：红球的概率：
黄球的概率：
白球的概率：
（2）解：设需要在这个口袋中再放入x个白球 ，
得
解得
经检验，是原分式方程的根
答：需要在这个口袋中再放入2个白球.
【点睛】本题考查了概率的计算，熟记概率的计算方法是解题关键．25.2 用列举法求概率
一、单选题
1．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）两个正四面体骰子的各面上分别标有数字1、2、3、4．如果同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）用如图所示的两个转盘（分别进行四等分和三等分）设计一个“配紫色”的游戏，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，分别转动两个转盘（指针指向区域分界线时，忽略不计），那么可配成紫色的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）明明和强强是九年级学生，在本周的体育课体能检测中，检测项目有跳远，坐位体前屈和握力三项．检测要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到跳远的概率是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）有三张正面分别写有数字﹣2，3，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为点P的横坐标，然后放回再从这三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为点P的纵坐标，则点P在第三象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）李明参加的社区抗疫志愿服务团队共有A、B、C、D四个服务项目，其中每个服务项目又分为第一小组和第二小组，则李明分到A项目的第一小组的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的2个红球和1个黑球，随机从中摸出一球，放回充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·甘肃陇南·九年级期末）一个不透明的袋子装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2022秋·甘肃酒泉·九年级期末）如图所示的电路中，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
9．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关，，，中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
10．（2022秋·甘肃白银·九年级校联考期末）周末雪容融和冰墩墩来到奶茶店，经询问他们了解到，店内销量较高的四种奶茶是红豆奶茶，珍珠奶茶，港式奶茶和香草奶茶，他们两人选到同一种口味的概率是 ．
11．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）在，3，5，7中随机选取一个数记为，再从余下的数中随机取一个数记为，则一次函数经过一、三、四象限的概率为 ．
12．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是 ．
三、解答题
13．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）小王、小李和小林三人准备打乒乓球，他们约定用“抛硬币”的方式来确定哪两个人先上场，三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合．落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或反面向上的这两枚硬币持有人先上场；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，属于不确定．
(1)请你用画树状图的方式表示“抛硬币”一个回合中所有可能出现的结果；
(2)求一个回合能确定两人先上场的概率．
14．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）2022年“卡塔尔”世界杯开幕式在海湾球场举行．32支参赛队伍通过抽签共分成A至H八个小组，每一个组积分排名前二的队伍将晋级16强．
(1)“卡塔尔”队被分在A组是 事件：（从“不可能”、“必然”、“随机”选择一个填空）
(2)分在C组的有沙特、波兰、墨西哥和阿根廷四支队伍，请通过列表法或树状图法，求“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级16强的概率．
15．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，______，C等级对应的圆心角为______度；
(3)小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
16．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．
(1)用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？对谁有利？请判断并说明理由．
17．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．
(1)小礼诵读《论语》的概率是___；（直接写出答案）
(2)请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．
18．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）在建党100周年之际，老红军谢某打算到学校进行一次党史宣讲活动，初步确定从校、校、校、校、校中随机抽签选取．
(1)若这次党史宣讲准备选取一所学校，则恰好抽到校的概率是______．
(2)若这次党史宣讲准备选取两所学校，请用画树状图的方法表示出所有可能，并求出所选取的两校恰好是校和校的概率．
19．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级期末）2022年冬奥会将在我国北京和张家口举行，如图所示为冬奥会和冬残奥会的会徽“冬梦”“飞跃”，吉祥物“冰墩墩”“雪容融”，将四张正面分别印有以上个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率是 ．
(2)若从中任意抽取两张，请用列表或画树状图法求两张卡片上的图案都是会徽的概率．
20．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）为答谢全国人民的真情关爱，从8月8日开始，湖北举办“与爱同行惠游湖北”活动，湖北近400家A级旅游景区对全国游客免门票开放．已知A、B、C、D四个景点实行免门票活动，甲、乙都有去旅游的打算．
（1）若甲随机选择一个景点游玩，求甲选择A景点的概率；
（2）利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择的两个景点不同的概率．
21．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，郑州某校积极筹备第十届校园艺术节，九年级一班、二班准备在“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”中分别选择一个节目进行表演．学校把这三个节目名分别写在三张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”是_________事件．（填“随机”或“不可能”或“必然”）
（2）一班同学先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的文字后放回，二班同学再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目．请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率．
22．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
（1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩；
（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试；用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率．
23．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：在一定时间段内电流可正常通过的状态即“通电”状态；在一定时间段内电流无法通过的状态即“断开”状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，请完成下面问题：
（1）在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率为 ；
（2）用树状图或表格计算在一定时间段内C、D之间电流能够正常通过的概率．
24．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）在一个不透明的口袋中放有4个完全相同的小球，他们分别标有数字 1，2，3，5．小明先随机摸出一个小球，记下数字为x；小强再随机摸出一个小球，记下数字为y．小明小强共同商议游戏规则为：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．
（1）若小明摸出的球不放回，请用列表或画树状图的方法求小明获胜的概率；
（2）若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，请问这个游戏规则是公平的吗 请说明理由．
25．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有_________人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为_________；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
26．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，小李从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小张在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标（x，y）．
（1）画树状图或列表，写出点Q所有可能的坐标；
（2）求点Q（x，y）在函数y=﹣x+5图象上的概率．
27．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）如图所示，有张除了正面图案不同，其余都相同的图片．
以上四张图片所示的立体图形中，主视图是矩形的有________；（填字母序号）
将这四张图片背面朝上混匀，从中随机抽出一张后放回，混匀后再随机抽出一张．求两次抽出的图片所示的立体图形中，主视图都是矩形的概率．
28．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）一对姐弟中只能有一人参加夏季夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．试用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平．
29．（2022秋·甘肃陇南·九年级期末）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
30．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
31．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期末）现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字–1，–2，1，2，3．先将标有数字–2，1，3的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里．现分别从两个盒子里各随机取出一个小球．
（1）请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果；
（2）求取出的两个小球上的数字之和等于0的概率．
32．（2022秋·甘肃酒泉·九年级期末）小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．
（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；
（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？
33．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气．现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有．游戏规则是：在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜．
（1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果；
（2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】首先根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的情况与所得点数之和为5的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
∵共有16种等可能的结果，所得点数之和为5的有4种情况，
∴所得点数之和为5的概率为：．
故选：A．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
2．A
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到可配成紫色的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
红 蓝 蓝 蓝
红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红）
红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红）
蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，蓝）
由表知，共有12种等可能结果，其中可配成紫色的有7种结果，
所以可配成紫色的概率为，
故选：A．
【点睛】此题考查的是用列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．B
【分析】根据题意，采用列表法或树状图法表示出所有可能，然后找出满足条件的可能性，即可得出概率．
【详解】解：分别记跳远为“跳”，坐位体前屈为“坐”，握力为“握”，列表如下：
跳 坐 握
跳 （跳，跳） （跳，坐） （跳，握）
坐 （坐，跳） （坐，坐） （坐，握）
握 （握，跳） （握，坐） （握，握）
由表中可知，共有9种不同得结果，两人都抽到跳远的只有1种可能，
则两人抽到跳远的概率为：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查利用树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图法或列表法是解题关键．
4．C
【分析】根据题意列表，然后确定出总发生的可能数和符合条件的可能数，再用概率公式求解即可．
【详解】解：设P点的坐标为（a，b），
则由题意得：用列表法表示（a，b）所有可能出现的结果如下：
-2 1 3
-2 （-2，-2） （1，-2） （3，-2）
1 （-2，1） （1，1） （3，1）
3 （-2，3） （1，3） （3，3）
由树状图知，共有9种等可能结果，其中点（a，b）在第三象限的有1种结果，
所以点P（a，b）在第三象限的概率为，
故选C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，第三象限点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．A
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和李明分到A项目的第一小组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有8种等可能的情况数，其中分到A项目的第一小组的有1种，
则李明分到A项目的第一小组的概率是．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【详解】画树状图法得：
共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球的有1种情况，
两次都摸到黑球的概率是.
故选：.
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.
7．C
【详解】画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球所标数字之和为6的有：（1，5），（3，3），（5，1），
∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率是：，
故选C．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验．
8．
【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【详解】解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，
分别为：；；；
其中有2种能够让灯泡发光，分别是；；
所以P（灯泡发光）=．
故本题答案为：．
【点睛】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
9．/0.5
【分析】画树状图，共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和，和时，灯泡能发光，画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种，
（能够让灯泡发光的概率）
故答案为：
【点睛】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．
10．/0.25
【分析】利用画树状图的方法，得出所有等可能的结果数与两人选到同一种口味的结果数，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：用分别表示四种奶茶：红豆奶茶，珍珠奶茶，港式奶茶和香草奶茶，
画树状图如下 ：
所有等可能的结果数为16种，其中两人选到同一种口味的结果数为4种，
他们两人选到同一种口味的概率是：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了随机事件的概率，熟练掌握画树状图或列表的方法求概率是解答此题的关键．
11．
【分析】先画树状图，确定a，b，再根据图像分布，确定a，b的符号，根据概率公式计算即可．
【详解】根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能性，
∵一次函数经过一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
符合条件的有3种等可能性，
∴一次函数经过一、三、四象限的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了不放回式的概率计算，一次函数的图像分布，熟练掌握概率计算，准确画树状图是解题的关键．
12．
【详解】根据题意，画出树形图如下：
∵从树形图可以看出，摸出两球出现的所有等可能结果共有9种，两个球号码之和为5的结果有2种，
∴两次摸取的小球标号之和为5的概率是．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．(1)树状图见解析
(2)
【分析】（1）根据画树状图，求得所有可能出现的结果；
（2）根据概率公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：画树状图如下：
（2）由（1）中的树状图可知，（一个回合能确定两人先上场）．
【点睛】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
14．(1)随机
(2)
【分析】（1）根据随机事件是可能发生，也可能不发生即可判断；
（2）画出树状图，得出总事件数和满足条件的事件数，利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：“卡塔尔”队被分在A组可能发生，也可能不发生，是随机事件，
故答案为：随机；
（2）解：画树状图如下：
共有12种情况，“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级16强的有2种情况，
故“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级16强的概率为．
【点睛】本题考查了随件事件的概念、利用树状图求概率，解题的关键是画出相应的树状图后进行求解．
15．(1)40，图见解析
(2)10， 144
(3)
【分析】（1）根据D等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数，然后乘以B等级所占的百分比即可得出B等级的人数，然后补全统计图即可；
（2）用A等级的频数除以总人数即可得出m的值；用360度乘以C等级所占的比例即可；
（3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
【详解】（1）解： 人，人，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：40，
（2）， ．
故答案为：10， 144；
（3）设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为．
【点睛】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
16．(1)；
(2)不公平；这个游戏规则对甲有理；理由见解析．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为0情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）分别求得甲胜、乙胜的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平．
【详解】（1）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，数字之和为2即乙胜的有2种情况；
∴乙胜的概率为：=；
（2）解：不公平．对甲有利，理由如下：
∵数字之和为1的有3种情况，
∴P（甲胜）==，∴P（甲胜）>P（乙胜），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，对甲有利．
【点睛】本题考查的是用树状图法或表格法求概率，以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
17．(1)
(2)图表见解析，
【分析】（1）用概率公式直接求解即可；
（2）用画树状图求解即可．
【详解】（1）解：小礼诵读《论语》的概率＝；
故答案为：．
（2）解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中小礼和小智诵读两个不同材料的结果数为6，
所以小礼和小智诵读两个不同材料的概率＝＝．
【点睛】本题考查概率求法，熟练掌握用概率公式和画树状图求概率是解题的关键．
18．(1)
(2)所选取的两校恰好是A校和B校的概率为．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，所选取的两校恰好是A校和B校的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：若这次调研准备选取一所学校，则恰好抽到A校的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，所选取的两校恰好是A校和B校的结果有2种，
∴所选取的两校恰好是A校和B校的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．(1)
(2)列表见解析，两张卡片上的图案都是会徽的概率=
【分析】（1）根据题意得到任意抽取1张和抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的可能性，即可求出概率；
（2）通过列表列出所有的可能性，找出其中两张卡片上的图案都是会徽的可能性，即可求出概率．
【详解】（1）解：∵从中任意抽取1张有4种可能，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”有1种可能
∴抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率=
故答案为：．
（2）解：列表如下：
由表可知，从中任意抽取两张，一共有12种可能，抽得两张卡片上的图案都是会徽的有2种可能，所以抽得两张卡片上的图案都是会徽的概率=．
【点睛】本题考查概率．根据题意分析出事件的可能性是本题解题的关键．
20．（1）；（2）．
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）根据甲、乙两人在A、B、C、D四个景点中选择去不同的两个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：（1）若甲随机选择一个景点游玩，则甲选择A景点的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
∵共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两人在A、B、C、D四个景点中选择去不同的两个景点的结果有12种，
∴甲、乙两人在A、B、C、D四个景点中选择去不同的两个景点的概率=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
21．（1）随机；（2）一班、二班同学表演不同节目的概率为．
【分析】（1）根据题意及结合随机事件、不可能事件及必然事件的概念进行求解即可；
（2）设“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”分别用字母A、B、C表示，然后画出树状图即可求解．
【详解】解：（1）九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”是随机事件；
故答案为随机；
（2）设“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”分别用字母A、B、C表示，树状图如图所示：
∴一班、二班同学表演不同节目的概率为．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
22．（1）见解析，76.5；（2）树状图见解析，
【分析】（1）用抽查人数乘以D组所占百分比，可得D组的人数，再用抽查人数减去其它组人数，可得到C组人数，然后补全图形，即可；
（2）把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，画出树状图，可得到共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，然后根据概率公式，即可求解．
【详解】解：（1）D组人数为：20×25%＝5（人），C组人数为：20﹣（2+4+5+3）＝6（人），
补充完整频数分布直方图如下：
估算参加测试的学生的平均成绩为：76.5（分）；
（2）把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，
∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图和用树状图或列表法求概率，理解频数分布直方图，获取正确信息是解题的关键．
23．（1）；（2）在一定时间段内C、D之间电流能够正常通过的概率为．
【分析】先利用画树状图法，得到所有等可能结果，再利用概率公式，即可求解．
【详解】（1）画树状图如下：
共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，
∴A、B之间电流能够正常通过的概率为 ；
（2）画树状图如下：
共有4种等可能的结果，在一定时间段内C、D之间电流能够正常通过的结果有3种，
∴在一定时间段内C、D之间电流能够正常通过的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，根据题意画出树状图，得到所有等可能结果是解题的关键．
24．（1）；（2）不公平，理由详见解析．
【分析】（1）根据题意画出树状图，找出x＞y的情况即可求出概率；
（2）根据题意列出树状图，分别找出小明获胜的情况和小强获胜的情况，分别求出概率即可判断．
【详解】（1）根据题意列树状图如下：
共有12种等可能的结果，小明获胜的情况有6种，
所以小明获胜的概率为：；
（2）画树状图得：
共有16种等可能的结果，其中符合小明获胜的情况有6种，小强获胜的情况有10种，
∴P（小明）＝，P（小强）＝，
∴不公平．
【点睛】本题主要考查了事件的概率和游戏的公平性问题，熟练掌握树状图的画法是解题的关键．
25．（1）180；（2）126°；（3）．
【分析】（1）根据跳水的人数及其百分比求得总人数；
（2）先求出田径及游泳的人数，再用总人数减去田径人数、游泳人数、跳水人数即可得到篮球人数，求出其所占总数的百分比，最后乘以360°即可得到结果；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．.
【详解】（1）54÷30%=180（人）
故答案为：180；
（2）田径人数：180×20%=36（人），
游泳人数：180×15%=27（人），
篮球人数为：180-54-36-27=63（人）
图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：126°；
（3）画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P（恰好选中甲、乙两位同学）=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
26．（1）画树状图或列表见解析；（2）.
【详解】试题分析：根据题意列出表格，找出所有的点Q坐标，根据函数上的点的特征得出符合条件的点，根据概率的计算方法进行计算.
试题解析：(1)列表得：
（x，y） 1 2 3 4
1 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3）
点Q所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3， 1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种；
(2)∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=﹣x+6图象上的有2种，即：（2，4），（4，2），
∴点P（x，y）在函数y=﹣x+6图象上的概率为：P=．
考点：概率的计算.
27．（1）B、D；（2）.
【分析】（1）分别写出每个几何体的主视图，然后即可确定答案；
（2）列表后将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】（1）球的主视图为圆；长方体的主视图是矩形；圆锥的主视图为等腰三角形；圆柱的主视图为矩形．
故答案为B，D．
（2）列表可得：
由表可知，共有16种等可能结果，其中两次抽出的图片所示立体图形的主视图都是矩形的有4种，分别是（B，B），（B，D），（D，B），（D，D），所以两次抽出的图片所示立体图形的主视图都是矩形的概率为，即．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、概率的计算公式等知识，解题的关键是能够写出每个几何体的主视图及利用列表法将等可能的所有结果列举出来，难度不大．
28．不公平，理由见解析．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数的情况与抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数的情况，再利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知这种方法对姐弟俩是否公平．
【详解】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数有4种情况，抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数有5中情况，
∴P（姐姐参加）==，
P（弟弟参加）=，
∴不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断及利用列表法或树状图法求概率，理解题意，利用列表法或树状图法求解是解题关键．
29．（1）结果见解析；（2）．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，
∴两个数字的积为奇数的概率为： ．
30．不公平
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：此游戏不公平．
理由如下：列树状图如下，
由上述树状图知：所有可能出现的结果共有16种．
P（小明赢）= ，P（小亮赢）=，故此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．
31．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）首先根据题意列出表格，由表格即可求得取出的两个小球上数字之和所有等可能的结果；
（2）首先根据（1）中的表格，求得取出的两个小球上的数字之和等于0的情况，然后利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）列表得：
-1 2
-2 -3 0
1 0 3
3 2 5
则共有6种结果，且它们的可能性相同；
（2）∵取出的两个小球上的数字之和等于0的有：（1，-1），（-2，2），
∴两个小球上的数字之和等于0的概率为：．
32．（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析．
【分析】（1）根据题意直接列出树形图或列表即可；
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【详解】解：（1）列表法如下：
1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
树形图如下：
（2）不公平．
理由：因为两纸牌上的数字之和有以下几种情况：
1+1=2；2+1=3；3+1=4；1+2=3；2+2=4；3+2=5；1+3=4；2+3=5；3+3=6共9种情况，
其中5个偶数，4个奇数．
即小昆获胜的概率为，而小明的概率为
∴此游戏不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
33．（1）见解析；（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）列表即可得出所有等可能结果；
（2）从表格中得出所有等可能结果，从中找到点数之和等于3的倍数的结果数和不是3的倍数的结果数，求出两者的概率即可判断．
【详解】解：（1）列表得：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
则共有36种等可能的结果；
（2）不公平，理由如下：
由表可知共有36种等可能结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数有12种结果，不是3的倍数的有24种结果，
∴P（明明获胜）＝＝，P（磊磊获胜）＝＝，
∵≠，
∴不公平．
【点睛】此题主要考查了游戏的公平性以及概率的求法，主要是通过列举出所有的可能结果是解决问题的关键．25.3 用频率估计概率
一、单选题
1．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）以下说法正确的是（ ）
A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上
C．某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖
D．在一次课堂进行的抛硬币试验中，同学们估计硬币落地后正面朝上的概率为0.51
2．（2022秋·甘肃白银·九年级期末）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回．大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出m的值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
3．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
4．（2022秋·甘肃天水·九年级期末）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个 B．15个 C．18个 D．20个
5．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·甘肃白银·九年级期末）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．（2022秋·甘肃定西·九年级期末）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表：
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近( )
A．20 B．300 C．500 D．800
二、填空题
8．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球大约有 个．
9．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，先向盒中放入5个黑球，摇匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球500次，其中25次摸到黑球，则估计盒中有 个白球．
10．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）小明在一次用“频率估计概率”的试验中，把“定西的黄土地黄而厚实”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能抽出的是 字．
11．（2022秋·甘肃兰州·九年级期末）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是 个．
12．（2022秋·甘肃白银·九年级统考期末）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．
13．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.75附近，估计口袋中白球大约有 个．
14．（2022秋·甘肃庆阳·九年级期末）在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中8次摸到黑球，则估计盒子中有 个白球．
15．（2022秋·甘肃庆阳·九年级期末）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小天为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小天共摸了100次，其中有25次摸到白球．因此小天估计口袋中的红球大约有 个．
16．（2022秋·甘肃酒泉·九年级期末）盒子中有若干个白球，为了估计白球的个数，在盒子中又放入5个黑球摇匀，从中摸出一球记下颜色后放回，重复摸球200次，其中摸到黑球的次数为50次，盒中原有白球约 个．
三、解答题
17．（2022秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
参考答案：
1．D
【分析】根据概率的意义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，
∴钉尖朝上的频率是：3÷10＝，试验次数太少，频率不能说明概率；故选项A错误；
∵随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后可能反面朝上，也可能正面朝上，故选项B不正确；
∵买100张彩票不一定会有2张中奖，可能少于2张，也可能多于2张，故选项C不正确；
∵抛硬币试验中，硬币落地后正面朝上的概率为：1÷2＝0.5，多次试验后可用出现频率0.51来表示概率0.5；故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是概率的意义及频率估计概率，解题的关键是熟练的掌握概率的意义及频率估计概率．
2．B
【分析】用红球的数量除以红球的频率即可．
【详解】解：（个，
所以可以估算出的值为20，
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
3．D
【分析】直接由概率公式求解即可.
【详解】根据题意得=30%，解得：n=30，
经检验：n=30符合题意，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.
4．C
【分析】根据概率公式计算即可．
【详解】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝12，
则白球有个；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．A
【分析】先求摸到红球的频率，再用20乘以摸到红球的频率即可．
【详解】摸到红球的频率为，
估计袋中红球的个数是个，
故选：A．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，关键是求出摸到红球的频率．
6．C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】设红球约有x个，
根据题意可得：，
解得：x=8，
故选C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
7．C
【分析】随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【详解】解：观察表格发现：
故随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以当抛掷硬币的次数为1000时，“正面朝上”的频数最接近1000×0.5＝500次，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．
8．
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：设白球个数为个
∵摸到红球的频率稳定在0.25附近
∴口袋中得到红色球的概率为0.25
∴
解得：
经检验，符合题意
即白球的个数为15个
故答案为：15
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是大量反复试验下频率稳定值即概率．
9．95
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数”，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
【详解】解：设盒子里有白球x个，根据题意得：
，
解得：x＝95，
答：估计盒中大约有白球95个；
故答案为：95．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
10．黄
【分析】利用频率估计概率得到实验的概率在0.2左右，再求出该字出现的次数，即可解题．
【详解】解：由折线统计图知，该字出现的频率稳定在数字20%附近，
所以该字出现的概率约为，
而“定西的黄土地黄而厚实”一共有10个字，
所以该字的个数为
即符合这一结果的试验最有可能抽出的是黄字，
故答案为：黄．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
11．14.
【分析】由摸到红球的频率稳定在0.3，进而求出球的总数即可求出黄球的个数．
【详解】解：∵红球的频率为0.3，
∴球的总个数为：6÷0.3=20(个)，
则黄球个数为：20-6=14(个).
故答案为14.
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率求解是解题的关键．
12．
【分析】首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：；
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
∴，解得x=7．
故答案为： ．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
13．15
【解析】由摸到白球的频率稳定在0.75附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：设白球个数为x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.75左右，
∴口袋中得到白色球的概率为0.75，
∴x：（x+5）=3：4，
解得：x=15，
即白球的个数为15个，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得到结果是解题关键．
14．20
【分析】根据共摸球40次，其中8次摸到黑球，则摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．
【详解】解：∵共摸了40次，其中8次摸到黑球，
∴有32次摸到白球，
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，
∴口袋中黑球和白球个数之比为1：4，
（个）．
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是用频率估计概率，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．关键是根据白球和黑球的比得到相应的关系式．
15．30
【分析】求出口袋中的球的总数量，即可求解．
【详解】解：根据题意得：口袋中的球大约共有，
所以口袋中的红球大约有个．
故答案为：30
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据题意求出口袋中的球的总数量是解题的关键．
16．15
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
【详解】解：设盒中原有白球约有x个，根据题意得：，
解得：x=15，
经检验x=15是原方程的解，
答：盒中原有白球约有15个．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
17．（1）1个；（2）
【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案；
（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有个，依题意得
解得，．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以箱子里可能有1个白球；
（2）列表如下：
红 红 红 白
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白）
或画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：
（红，白）、（红，白）、（红，白）、（白，红）、（白，红）、（白，红）共6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键．
