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第5讲 全称量词与存在量词（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·全国·高一随堂练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）命题：“”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
4．（2023·全国·高三专题练习）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
5．（2023春·新疆·高二八一中学校考期末）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．1
6．（2023·全国·高三专题练习）命题p：“，”，则为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
二、多选题
7．（2023秋·安徽淮北·高一淮北一中校考期末）下列说法正确的有( )
A．命题“”的否定是“”
B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
C．若，则“”的充要条件是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
8．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）已知,不等式恒成立,,不等式0,则下列说法正确的是( )
A．p的否定是:,不等式
B．的否定是:,不等式
C．为真命题时,
D．q为假命题时,
三、填空题
9．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校考开学考试）已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是 .
10．（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）若“，”为假命题，则实数的最小值为 .
11．（2023·高一课时练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是______________________ .
四、解答题
12．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
13．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立.
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若q和p一真一假，求实数m的取值范围.
14．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知集合，集合，如果命题“，使得”为假命题，求实数的取值范围.
【练提升】
一、单选题
1．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市衡钢中学校考开学考试）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2023·全国·高三专题练习）已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）定义在内的函数满足，且当，时，，对，，，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．， D．
二、多选题
4．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
5．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真，则实数a的范围是
四、解答题
7．（2023秋·广东江门·高一台山市华侨中学校考期中）已知命题，使为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【练创新】
一、解答题
1．（2023秋·高一课前预习）已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
【练基础】
参考答案：
1．B
【分析】根据命题是真命题，由，恒成立求解.
【详解】因为命题“，”是真命题，
所以，恒成立，
所以，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，
故选：B
2．A
【分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．
【详解】命题为假命题，即命题为真命题.
首先，时，恒成立，符合题意；
其次时，则且，即，
综上可知，－4<
故选：A
3．A
【分析】参变分离后，令新函数，转化为求函数的最小值，利用二次函数性质求解.
【详解】由题意，，，
令，则，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
所以实数可取的最小整数值是.
故选：A
4．D
【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可
【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；
故只有D满足题意；
故选：D
5．B
【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案.
【详解】由题意:命题是假命题,
其否定: 为真命题,
即，解得，
故选：B
6．A
【分析】根据命题的否定的定义，直接选出答案即可.
【详解】写出命题的否定，则“，”的否定为，
为：，
故选：A
7．ABD
【分析】根据命题的否定即可判断A；根据恒成立转化成最值问题即可判断B；根据充分条件和必要条件的概念及不等式的性质可判断CD．
【详解】命题“”的否定是“”，故A正确；
∵命题“，”为假命题，则关于x的方程无实数根，故，解得，故B正确；
∵可得；但当，时，有；∴“若，则”是“”的充分不必要条件，故C错误；
当“”时，则“”成立；但当“”时，“或”；故“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD﹒
8．ACD
【分析】根据命题的否定定义判断，求参数可转化为函数的最值问题
【详解】的否定是:,不等式，A正确
的否定是:,不等式，B错误
若为真命题,则,即
解得，C正确
若为假命题,则恒成立
即恒成立
因为,当且仅当,即取等
所以，D正确
故选：ACD
9．
【分析】转化为命题“，使得”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果.
【详解】因为命题“存在，使”是假命题，
所以命题“，使得”是真命题，
当时，得，故命题“，使得”是假命题，不合题意；
当时，得，解得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：转化为命题“，使得”是真命题求解是解题关键.
10．
【分析】根据特称命题的否定为全称命题，可得“，”为真命题，然后转化为恒成立问题求解.
【详解】因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以对恒成立，即.
故答案为：.
11．
【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.
【详解】在数轴上表示出集合和集合,要使，只有.
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；
（2）结合题意推出且，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案.
【详解】（1）因为为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）因为是的必要不充分条件，所以且，
i）当时，，解得；
ii）当时，，且等号不会同时取得，
解得，
综上，.
13．(1)
(2)
【分析】（1）对，不等式恒成立，转化为令，则，求出，解不等式即可得出答案.
（2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案.
【详解】（1）对，不等式恒成立，
令，则，
当时，即，解得.
因此，当p为真命题时，m的取值范围是.
（2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以；
故当命题q为真时，.
又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题.
当p真q假时，由，得；
当p假q真时，由或，且，得.
综上所述，m的取值范围为.
14．
【分析】由命题“，使得”为假命题，可得“，”为真命题，显然集合不会为空集，对集合要分成空集或不为空集两种情况讨论.
【详解】命题“，使得”为假命题，则其否定命题“，”为真命题
当时，集合，符合
当时，因为，所以，
得对于恒成立
所以，则
综上，实数的取值范围为.
【点睛】由于集合是可变的，所以集合隐含着分类讨论的思想，即或.
【练提升】
参考答案：
1．C
【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解.
【详解】“，”的否定为“，”，
故选：C.
2．C
【分析】由题意可知，命题：，为真命题，分、两种情况讨论，利用参变量分离法求出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题：，为真命题.
①当时，则，不合乎题意；
②当时，则，令，
则，
所以，当时，，则.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
3．D
【分析】分别求出在，上的值域，根据题意得到的值域是值域的子集，列不等式组，求出a的范围.
【详解】当，时，，
可得在，上单调递减，在上单调递增，
在，上的值域为，，
在上的值域为，，
在，上的值域为，，
，
，
在，上的值域为，，
当时，为增函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为减函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为常数函数，值域为，不符合题意；
综上，的范围是或.
故选：D.
4．ACD
【分析】利用一元二次不等式的恒成立问题结合必要不充分条件的定义判断A；由且时，判断B；解不等式结合充分不必要条件的定义判断C；由命题“”是真命题，再由判断D.
【详解】对于A，当时，显然不成立；当时，有，解得，故A正确；
对于B，当且时，，则“且”是“”的充分条件，故B错误；
对于C，由可得或，即“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，命题“”是假命题，则命题“”是真命题，即在上恒成立，即，故D正确；
故选：ACD
5．AB
【解析】根据假命题的否定为真命题可知，又，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.
【详解】为假命题,
为真命题，
可得，
又为真命题，
可得，
所以，
故选：AB
【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.
6．
【分析】将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围.
【详解】由题意知：不等式对恒成立，
当时，可得，恒成立满足；
当时，若不等式恒成立则需，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：
（1）先分析的情况；
（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；
（3）综合（1）（2）求解出最终结果.
7．(1)
(2)
【分析】（1）由命题的真假转化为方程无实根，再利用判别式进行求解；
（2）先根据为非空集合求出，再将充分不必要条件转化为集合间的包含关系进行求解.
【详解】（1）解：由题意，得关于的方程无实数根，
所以，解得，
即；
（2）解：因为为非空集合，
所以，即，
因为是的充分不必要条件，
则，即，
所以，
【练创新】
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题；
（2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决.
【详解】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，
又，所以 ，解得．
（2）因为，所以，得．
因为命题q：“，”是真命题，所以，
所以，或，得．
综上，．
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第5讲 全称量词与存在量词（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·全国·高一随堂练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）命题：“”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
4．（2023·全国·高三专题练习）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
5．（2023春·新疆·高二八一中学校考期末）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．16．（2023·全国·高三专题练习）命题p：“，”，则为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
二、多选题
7．（2023秋·安徽淮北·高一淮北一中校考期末）下列说法正确的有( )
A．命题“”的否定是“”
B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
C．若，则“”的充要条件是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
8．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）已知,不等式恒成立,,不等式0,则下列说法正确的是( )
A．p的否定是:,不等式
B．的否定是:,不等式
C．为真命题时,
D．q为假命题时,
三、填空题
9．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校考开学考试）已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是 .
10．（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）若“，”为假命题，则实数的最小值为 .
11．（2023·高一课时练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是______________________ .
四、解答题
12．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
13．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立.
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若q和p一真一假，求实数m的取值范围.
14．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知集合，集合，如果命题“，使得”为假命题，求实数的取值范围.
【练提升】
一、单选题
1．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市衡钢中学校考开学考试）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2023·全国·高三专题练习）已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）定义在内的函数满足，且当，时，，对，，，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．， D．
二、多选题
4．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
5．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真，则实数a的范围是
四、解答题
7．（2023秋·广东江门·高一台山市华侨中学校考期中）已知命题，使为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【练创新】
一、解答题
1．（2023秋·高一课前预习）已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
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