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第4讲 充分条件与必要条件（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023春·广东汕头·高一校考期中）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考开学考试） “”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023·北京·高三专题练习）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．（2023秋·高一单元测试）若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是 .
10．（2023秋·全国·高一随堂练习）关于x的方程的实数根中有且只有一个负实数根（含两相等实根）的充要条件为 .
11．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
12．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
13．（2023秋·高一课时练习）已知全集为，集合，.
（1）求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
14．（2023秋·河北廊坊·高一校考期末）已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高一假期作业）已知a，，则“”的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高一课堂例题）“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·全国·高三专题练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“”
5．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
三、填空题
6．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题
7．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知全集，集合，非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
【练创新】
一、单选题
1．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
二、解答题
2．（2023秋·全国·高一专题练习）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
3．（2023·全国·高一专题练习）设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
试卷第1页，共3页
试卷第4页，共2页
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第4讲 充分条件与必要条件（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023春·广东汕头·高一校考期中）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考开学考试） “”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023·北京·高三专题练习）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．（2023秋·高一单元测试）若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是 .
10．（2023秋·全国·高一随堂练习）关于x的方程的实数根中有且只有一个负实数根（含两相等实根）的充要条件为 .
11．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
12．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
13．（2023秋·高一课时练习）已知全集为，集合，.
（1）求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
14．（2023秋·河北廊坊·高一校考期末）已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
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【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高一假期作业）已知a，，则“”的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高一课堂例题）“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·全国·高三专题练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“”
5．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
三、填空题
6．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题
7．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知全集，集合，非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
【练创新】
一、单选题
1．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
二、解答题
2．（2023秋·全国·高一专题练习）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
3．（2023·全国·高一专题练习）设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
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【练基础】
参考答案：
1．B
【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
2．C
【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．
【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，
则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；
而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，
故选：C．
3．A
【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
4．B
【分析】由集合的包含关系直接判断即可.
【详解】，
因为，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
5．B
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.
6．C
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
7．CD
【分析】解出不等式，然后根据条件p成立的一个充分不必要条件，转化为子集关系，即可得到结果.
【详解】，解得或
又
则p成立的一个充分不必要条件是和
故选:CD.
8．BD
【分析】求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.
【详解】命题“"等价于，即命题“”为真命题所对集合为，
所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于，显然只有 ，{4} ,
所以选项AC不符合要求，选项BD正确.
故选：BD
9．
【分析】先确定的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，
【详解】等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
10．或
【分析】根据方程根的情况，讨论和两种情况，结合一元二次方程根的分布情况，以及充要条件的概念，即可求解.
【详解】若方程有且仅有一个负实数根，则当时，，符合题意.
当时，方程有实数根，则，解得，
当时，方程有且仅有一个负实数根，
当且时，若方程有且仅有一个负实数根，则，即.
所以当或时，关于x的方程的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x的方程的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“或”.
故答案为：或.
11．
【分析】设将满足p,q的x的集合即为A,B．已知条件转化为，根据集合间的关系列式可解得结果.
【详解】∵“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：是的充分不必要条件．
设．
是的充分不必要条件，所以．
（两个等号不能同时取到），
．
故答案为：.
【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了充分不必要条件和必要不充分条件,考查了集合间的关系，属于基础题.
12．(1)
(2)
【分析】（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；
（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】（1）解：当时，，或，
∴．
（2）解：∵或，∴，
∵“”是“”的充分不必要条件，
∴是的真子集，∵，∴，
∴，∴，故实数的取值范围为．
13．（1）；（2）.
【分析】（1）求出集合，根据交集的定义直接求解；
（2）依题意，再根据题意得到关于的不等式，求解即可．
【详解】解：（1），又
，
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以，因为
所以解得，即
14．(1)，
(2)
【分析】（1）当时，求出，再根据集合的并集，交集的运算求解即可．
（2）根据题意可得 ，再求得，列出方程组求出的取值范围即可得答案．
【详解】（1）解：当时，，，
，．
（2）解：是成立的充分不必要条件，
，
，，，
则，，
经检验知，当时，，不合题意，
实数的取值范围．
【练提升】
参考答案：
1．B
【分析】利用否定ACD选项，进而得答案.
【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故不是的必要条件，故错误；
对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确；
对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误；
对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误.
故选：B
2．D
【分析】对充分性和必要性分别取特殊值进行否定即可.
【详解】充分性：取符合“x，y为无理数”，但是不符合“xy为无理数”，故充分性不满足；
必要性：当“xy为无理数”时，可以取，但是不符合“x，y为无理数”，故必要性不满足.
故“x，y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件.
故选：D
3．A
【分析】先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】因为为真命题，所以或，
对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对，
对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错，
对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错，
对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错，
故选：A
4．BCD
【分析】理解“类”的定义，容易判断AB选项的正误；而C，则由被4除所得的余数只有四种情况理解辨析即可；而D，则需要互为条件结果各证一次，进而得以判断.
【详解】对于A，由得，故A错误；
对于B，由得，故B正确；
对于C，所有整数被4除所得的余数只有四种情况，即刚好分成共4类，故，故C正确.
对于D，若整数属于同一“类”，则，
故，所以；
反之，不妨设，则，
若，则，即，所以整数属于同一“类”；
故整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D正确.
故选：BCD.
5．BD
【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次分析即可得答案.
【详解】解：对于A选项，当时，，但反之，不能得到，故错误；
对于B 选项，不能得到，反之能够得到，故正确；
对于C选项，“且”是“”的充要条件，故错误；
对于D选项，由得，所以能够推出，反之，不一定成立，故正确.
故选：BD
6．
【分析】设，，则，再对分两种情况讨论得解.
【详解】记，，
因为p是q的充分条件，所以.
当时，，即，符合题意；
当时，，由可得，所以，即.
综上所述，实数的k的取值范围是．
故答案为：．
7．(1)；
(2).
【分析】（1）先求Q的补集再求交集即可；
（2）由题意Q是P的真子集，据此可得不等式组，解之即可.
【详解】（1）当时，，
则,
又，所以；
（2）因为“”是“”的必要而不充分条件，所以 且 ，
所以，解得，
故实数a的取值范围是.
【练创新】
参考答案：
1．C
【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知．
【详解】充分性：若，则2≤x≤3，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若ab≤0，则，
∴，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：C．
2．(1)
(2)或
【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；
（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.
【详解】（1）当时，集合，集合，所以；
（2）i.当选择条件①时，集合，
当时，，舍；
当集合时，即集合，时，，
此时要满足，则，解得，
结合，所以实数m的取值范围为或；
ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，
集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
故，实数m的取值范围为或.
3．（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.
【分析】（1）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.
【详解】（1）设集合中的元素，，所以
，
因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于.
（2）因为，所以；
假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；
假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.
（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.
充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；
必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.
【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证法证明，以及会证明充要条件.
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