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第2讲 集合间的基本关系（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）设，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·北京东城·高二景山学校校考阶段练习）已知集合，，若，则实数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高一假期作业）集合的子集个数为（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．16
4．（2023·全国·高三专题练习）若是集合的真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知集合，，且，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已集合，若，则实数a的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023秋·全国·高一随堂练习）下列说法正确的是（ ）
A．由所有实数组成集合，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.均不存在.
B．，由5个2组成的集合.则
C．，FE，则可能有4个.
D．， 用列举法表示集合E为.
8．（2023春·新疆哈密·高二校考期末）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B A，则实数a的取值可能为（ ）
A．－3 B．－2
C．0 D．3
三、填空题
9．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）设集合，则集合的子集个数为
10．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，若，则实数 ．
11．（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则实数 .
四、解答题
12．（2023·陕西渭南·统考一模）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)当时，若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
13．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
14．（2023·全国·高一假期作业）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
【练提升】
一、单选题
1．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知，，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
5．（2023秋·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期末）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高一专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
7．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
试卷第2页，共2页
试卷第3页，共1页
【练创新】
一、填空题
1．（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）已知，集合，，若存在正数，对任意，都有，则的所有可能的取值组成的集合为 ．
2．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题：
①若，则；
②若，则S中至少有8个元素；
③若，则S中元素的个数可以为奇数；
④若，则.
其中正确命题的序号为 ．
二、解答题
3．（2023秋·高一课时练习）已知|，|，且B A，求实数组成的集合试卷第1页，共3页
试卷第4页，共1页
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第2讲 集合间的基本关系（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）设，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·北京东城·高二景山学校校考阶段练习）已知集合，，若，则实数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高一假期作业）集合的子集个数为（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．16
4．（2023·全国·高三专题练习）若是集合的真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知集合，，且，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已集合，若，则实数a的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023秋·全国·高一随堂练习）下列说法正确的是（ ）
A．由所有实数组成集合，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.均不存在.
B．，由5个2组成的集合.则
C．，FE，则可能有4个.
D．， 用列举法表示集合E为.
8．（2023春·新疆哈密·高二校考期末）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B A，则实数a的取值可能为（ ）
A．－3 B．－2
C．0 D．3
三、填空题
9．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）设集合，则集合的子集个数为
10．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，若，则实数 ．
11．（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则实数 .
四、解答题
12．（2023·陕西渭南·统考一模）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)当时，若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
13．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
14．（2023·全国·高一假期作业）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
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【练提升】
一、单选题
1．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知，，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
5．（2023秋·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期末）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高一专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
7．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
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【练创新】
一、填空题
1．（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）已知，集合，，若存在正数，对任意，都有，则的所有可能的取值组成的集合为 ．
2．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题：
①若，则；
②若，则S中至少有8个元素；
③若，则S中元素的个数可以为奇数；
④若，则.
其中正确命题的序号为 ．
二、解答题
3．（2023秋·高一课时练习）已知|，|，且B A，求实数组成的集合试卷第1页，共3页
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【练基础】
参考答案：
1．B
【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.
【详解】解：因为，因为，
所以集合是由所有奇数的一半组成，
而集合是由所有整数的一半组成，故 .
故选：B
2．C
【分析】若，所以或，解出的值，将的值代入集合，检验集合的元素满足互异性.
【详解】因为，所以，解得，或，解得，
当时，，，，满足题意.
当时，，不满足集合的互异性.
当时，，，若，满足题意.
当时，，，若，满足题意.
故选：C.
3．C
【分析】解出集合，再计算集合的子集个数.
【详解】因为，
所以该集合的子集的个数为，
故选：C．
4．D
【分析】依题意可知方程有实数解，则，即可求解
【详解】由“是集合的真子集”得
，
即方程有实数解，
，解得或．
故选：D．
5．B
【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.
【详解】由题意可得：或
若，此时，集合的元素有重复，不符合题意；
若，解得或，显然时符合题意，而同上，集合的元素有重复，不符合题意；
故.
故选：B
6．C
【分析】利用子集的定义即可求解.
【详解】，
∴当时，，满足；
当时，若，则时，时，．
的取值集合是．
故选：C．
7．BC
【分析】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：由所有实数组成的集合是空集，
由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是，都存在，故错误；
对：，由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，
故，故正确；
对：，因为FE，
故为含有且是的子集，
共有4个，故正确；
对：，故错误.
故选：.
8．BCD
【分析】由题得B＝，，，，再分四种情况讨论得解.
【详解】由题知B A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝.
所以B＝，，，.
当 B＝时，此种情况不可能，所以舍去；
当B＝时，，解得a＝3；
当B＝时，，解得a＝－2；
当B＝时，a＝0.
综上可得实数a的可能取值为3，0，－2.
故选：BCD.
9．16
【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.
【详解】解：，
故A的子集个数为，
故答案为：16
10．1
【分析】由题得，解出值检验即可.
【详解】由题知,若,则或,
当时,方程无解;
当时,,
解得:,
此时,,符合题意,所以.
故答案为：1.
11．1或
【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.
【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，
①当时，，满足题意；
②当时，，所以，
综上所述，或.
故答案为：1或.
12．(1)
(2)
【分析】(1)将代入得，求出即可.
(2)化简，将已知条件转化为，列出不等式求解，写出范围.
（1）
当时，由不等式，得，
故，又
所以.
（2）
若“”是“”的充分条件，等价于，
因为，由不等式，得 ，
又
要使，则或，又因为
综上可得实数a的取值范围为.
13．(1)
(2)不存在
【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足；
②当时，要使得，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，
所以实数不存在，即不存在实数使得.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围；
（2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围．
【详解】（1）解：由题可知，，，
①若，则，即；
②若，则，解得：；
综合①②，得实数的取值范围是．
（2）解：已知，，，
则，解得：，
所以实数的取值范围是．
【练提升】
参考答案：
1．C
【分析】由两集合相等，其元素完全一样，则可求出或或，再利用集合中元素的互异性可知，则可求出答案.
【详解】若，则或，解得或或，
由集合中元素的互异性，得，
则，
故选：C．
2．C
【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案.
【详解】因为，所以或，解得或或，
又集合中的元素需满足互异性，所以，
则．
故选：C.
3．B
【解析】本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，，
故选：B.
【点睛】易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.
4．BCD
【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.
【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
5．BC
【分析】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.
【详解】由题意集合，，
因为，所以当时，，即 ；
当时，有 ，解得，
故,则M的一个真子集可以是或，
故选：BC.
6．a<－4或a>2
【分析】按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围.
【详解】①当a>3即2a>a＋3时，A＝，满足；.
②当a3即2aa＋3时，若，
则有，解得a<－4或2
综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.
故答案为：a<－4或a>2
7．(1)；
(2)或.
【分析】（1）由题得，解即得解；
（2）由题得，再对集合分三种情况讨论得解.
【详解】（1）解：由题得.
若是的子集，则，
所以.
（2）解：若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，
得，即，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
【练创新】
参考答案：
1．/
【分析】根据题意按照，，分类讨论，利用集合的包含关系即可列出不等式组，解出即得解．
【详解】，则只需考虑下列三种情况：
（1）当时，，，
又，则，
，所以或或，
①当时，，即，而易知，，所以这样的不存在；
②当时，，即，显然这样的不存在；
③当时，
，可得：，，解得；
（2）当时，即当时，与（1）同理，解得，不合题意，舍去；
（3）当时，即当时，只有，
所以可得：， ，解得.
综上所述：或.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求.
2．①④
【分析】①根据定义和点关于坐标轴对称的性质可判断；
②若，则中至少有4个元素，故错误；
③若，则中元素的个数一定为成对出现，故为偶数；
④根据，显然图象关于轴，轴，和轴对称，判断即可．
【详解】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.
所以当，则有，，，
进而有：，，，，
①若，则，故①正确；
②若，则，，，能确定4个元素，故②不正确；
③根据题意可知，，若，能确定4个元素，
当，也能确定个，当，也能确定8个所以，
则中元素的个数一定为偶数，故③错误；
④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，
则，，，即，
即，故④正确，
综上：①④正确.
故答案为：①④.
3．（1） ； （2）.
【分析】首先通过解一元二次方程，得带集合A，根据空集的概念，以及包含关系的本质所在，需要对B进行分类讨论，按两种情况进行讨论，从而求得结果
【详解】由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.
∴A＝{1,2}．∵B A，∴对B分类讨论如下：
(1)若B＝ ，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.
(2)若B≠ ，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1 ,2}
【点睛】该题考查的是有关集合具备包含关系时有关参数的取值问题，在解题的过程中，需要注意的是先确定集合A，之后需要对B进行讨论，分其为空集与不是空集两种情况.
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