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第1讲 集合的概念（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·全国·高一随堂练习）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
3．（2023春·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
5．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．（2023春·内蒙古通辽·高二校考期末）已知集合， ，若，则a等于（ ）
A．－1或3 B．0或1
C．3 D．－1
二、多选题
7．（2023·江苏·高一假期作业）下列说法错误的是
A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为
B．方程的解集为
C．集合与是同一个集合
D．若，则
8．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，则的值可能为（ ）
A．0 B．
C．1 D．2
三、填空题
9．（2023·全国·高一专题练习）集合的元素个数为 ．
10．（2023春·福建福州·高二校考阶段练习）设集合，其中，且. 若，则用列举法表示集合
11．（2023秋·高一课时练习）已知集合，用列举法表示集合，则 .
四、解答题
12．（2023·全国·高一专题练习）已知集合中含有两个元素和．
(1)若是集合中的元素，试求实数的值；
(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
13．（2023秋·高一课时练习）若集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
14．（2023·全国·高一专题练习）已知集合.
(1)若A中只有一个元素，求的值；
(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）直角坐标平面中除去两点 可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
2．（2023秋·高一课时练习）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·山西大同·高一校考期末）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果且，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
二、多选题
4．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．5
5．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，，，则取值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高一专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为 .
四、解答题
7．（2023秋·高一课时练习）已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
【练创新】
一、多选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
二、填空题
2．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ .
三、解答题
3．（2023秋·全国·高一随堂练习）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
(1)当时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
【练基础】参考答案：
1．A
【分析】根据集合的概念和性质判断即可.
【详解】是自然数，故，（1）正确；
是无理数，故，（2）错误；
由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故（3）错误；
数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误；
方程的解为，可以构成集合，（5）正确；
故选：A
2．A
【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案
【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；
是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；
集合，集合，故C错误；
集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.
故选：A.
3．B
【分析】根据题意，结合，逐个元素判定，即可求解.
【详解】由集合，因为，所以．
故选：B．
4．B
【分析】由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．
【详解】∵2∈A，∴m＝2 或 m2﹣3m+2＝2．
当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；
当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．
综上可知，m＝3．
故选：B．
5．A
【分析】分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果.
【详解】若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），此时，符合题意；
综上所述：.
故选：A.
6．C
【分析】根据集合相等即元素相同解出a，再根据集合元素互异性求出a值.
【详解】由有，解得，.
当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去.
当时，，满足题意.
故选：C.
7．BCD
【分析】根据集合的定义与表示逐项分析判断．
【详解】对于：因为等价于或，
如果，则点在第一象限，如果，则点在第三象限，
所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为，故正确；
对于：由于方程的解集等价于，解得，
故解集为，故错误；
对于C：集合表示的函数值的取值范围，是数集，
集合表示抛物线的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误；
对于：因为，则，故错误，
故选：BCD．
8．BD
【分析】根据只有个元素对进行分类讨论，结合判别式求得，由此求得.
【详解】∵集合，只有个元素，
∴或，
解得或，
∴或
故选：BD.
9．
【分析】根据集合得表示可知： 是12的因数，即可求解.
【详解】由可知， 是12的因数，故 ，进而可得可取，
故答案为：
10．
【分析】根据且,结合集合的互异性原则可知,进而求得和的值,即可表示集合.
【详解】集合,其中,且.
若,则当时, 由集合的互异性可知不符合要求
所以,即
则或
当时,, 由集合的互异性可知不符合要求
因而,此时
所以
故答案为:
【点睛】本题考查了元素与集合的关系,集合的互异性原则的应用,属于基础题.
11．
【分析】根据集合的描述法即可求解.
【详解】,
故答案为：
12．(1)1或
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）依题意可得或，分别求出的值，再代入检验即可；
（2）依题意可得或，求出的值，再判断是否符合集合元素的互异性，即可得解.
【详解】（1）因为是集合中的元素，
所以或．
若，则，
此时集合含有两个元素，，符合要求；
若，则，
此时集合中含有两个元素，，符合要求．
综上所述，满足题意的实数的值为或．
（2）不能．理由如下：
若为集合中的元素，则或．
当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性；
当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性．
综上，不能为集合中的元素．
13．（1）；（2）或
【分析】（1）若，则的两个根分别为，根据韦达定理求得参数值.
（2）若，分和两种情况进行讨论，从而求得参数值.
【详解】（1）若，则的两个根分别为，
由韦达定理可得，故.
（2）若，则或，故.
综上若，则或
14．(1)或
(2)
【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可
(2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素
的情况即可得出的取值范围
【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时，
为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素，
A中只有一个元素时或.
（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且
，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为.
【练提升】参考答案：
1．C
【解析】直角坐标平面中除去两点 ，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点 ，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
故选：C
【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．
2．A
【分析】分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断.
【详解】根据题意，分4种情况讨论；
①、全部为负数时，则也为负数，则；
②、中有一个为负数时，则为负数，则；
③、中有两个为负数时，则为正数，则；
④、全部为正数时，则也正数，则；
则；分析选项可得符合．
故选：A.
3．C
【分析】根据“好元素”的定义用列举法列举出满足条件的所有集合，即可得到答案.
【详解】根据“好元素”定义，可知由S中的3个元素构成的集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数，
所以不含“好元素”的集合共有，，，，，，共个.
故选：.
4．ABD
【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.
【详解】由已知方程得：，解得：且；
由得：；
若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：
①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，
此时的解为，满足题意；
②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
综上所述：或或.
故选：ABD
5．BCD
【分析】分别将各选项代入集合，利用元素与集合之间的关系判断即可得到答案.
【详解】选项A：当时，，，故，A错误；
选项B：当时，，，故，B正确；
选项C：当时，，，故，C正确；
选项D：当时，，，故，D正确.
故答案为：BCD.
6．
【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.
【详解】因为，即，
所以或，
若，则或；
若，即，则或.
由与互异，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
综上所述，的取值集合为.
故答案为：
7．（1）；（2）不存在这样的，理由见解析；（3）是，证明见解析.
【分析】（1）根据题意得，，，故；
（2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案；
（3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可.
【详解】解：（1）因为若，则，，
所以，，，
所以.
（2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合，
则，即：， 由于，故该方程无解，
所以不能是仅含一个元素的单元素集.
（3）因为，，则，则，
所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可.
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等.
所以集合中含元素个数一定是个.
【点睛】本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题.
【练创新】参考答案：
1．ACD
【分析】根据集合满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；
（2）由（1）可知，故B错误；
（3）由①知，，，，，
即，故C正确；
（4），则，由③可得，，，
即，，即，；
由（3）可知当，，，
当，可得，，
故D正确．
故答案为：ACD
2．－4或0
【分析】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可.
【详解】当时，当时，则，
当时，则，
即当时，；当时，；所以，
当时，；当时，，所以，
因此有；
当时，当时，则，
当时，则，
即当时，；当时，；所以，
当时，；当时，，所以，
因此有，
当时，同理可得无解，
综上所述：实数t的值为－4或0，
故答案为：－4或0
【点睛】关键点睛：根据区间取特殊值分类讨论进行求解是解题的关键.
3．(1)
(2)7
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.
（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；
（3）不存在，理由反证法说明.
【详解】（1），
（2）设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又，，此时中元素个数等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.
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第1讲 集合的概念（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·全国·高一随堂练习）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
3．（2023春·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
5．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．（2023春·内蒙古通辽·高二校考期末）已知集合， ，若，则a等于（ ）
A．－1或3 B．0或1
C．3 D．－1
二、多选题
7．（2023·江苏·高一假期作业）下列说法错误的是
A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为
B．方程的解集为
C．集合与是同一个集合
D．若，则
8．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，则的值可能为（ ）
A．0 B．
C．1 D．2
三、填空题
9．（2023·全国·高一专题练习）集合的元素个数为 ．
10．（2023春·福建福州·高二校考阶段练习）设集合，其中，且. 若，则用列举法表示集合
11．（2023秋·高一课时练习）已知集合，用列举法表示集合，则 .
四、解答题
12．（2023·全国·高一专题练习）已知集合中含有两个元素和．
(1)若是集合中的元素，试求实数的值；
(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
13．（2023秋·高一课时练习）若集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
14．（2023·全国·高一专题练习）已知集合.
(1)若A中只有一个元素，求的值；
(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）直角坐标平面中除去两点 可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
2．（2023秋·高一课时练习）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·山西大同·高一校考期末）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果且，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
二、多选题
4．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．5
5．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，，，则取值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高一专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为 .
四、解答题
7．（2023秋·高一课时练习）已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
【练创新】
一、多选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
二、填空题
2．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ .
三、解答题
3．（2023秋·全国·高一随堂练习）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
(1)当时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
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