华师版数学八年级上册 13.5逆命题与逆定理第3课时 角平分线课件 (共19张PPT)

(共19张PPT)
13.5 逆命题与逆定理
第3课时 角平分线
学习目标
掌握并会证明角平分线的性质定理；
掌握并会证明角平分线的性质定理的逆定理.
温故知新
角是轴对称图形吗？
角的对称轴是什么？
角平分线的尺规作图还记得吗？
角平分线有什么性质？
是.
角平分线所在的直线.
已知: 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.试证：PD = PE.
分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD = PE.
新知探索
已知: 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.试证：PD = PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°，
又∵ OC是∠AOB的平分线，
∴∠BOC =∠AOC，
在△PDO和△PEO中，
已知: 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.试证：PD = PE.
∵∠PDO =∠PEO，
∠BOC =∠AOC，
OP = OP，
∴△PDO≌△PEO(A.A.S.).
∴ PD = PE(全等三角形对应边相等).
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
1.点一定要在角平分线上；
2.点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；
3.角平分线的性质可用来证明两条线段相等．
注意
【例1】如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE = FC.求证：BD = DF.
例题
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C = 90°，
∴DE = DC，∠DEB = 90°.
在△BDE和△FDC中，
∵ED=DC，∠DEB=∠C，BE=FC，
∴△BDE≌△FDC(S.A.S.),
∴BD = DF(全等三角形对应边相等).
类比上节课所学知识，你能写出角平分线的性质定理的逆命题并判断真假吗？
条件 结论
性质定理
逆命题
点在角平分线上
点到角两边的距离相等
点到角两边的距离相等
点在角平分线上
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD = QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
分析：为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明Rt △QDO≌ Rt △QEO，从而得到∠AOQ =∠BOQ.
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD = QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
证明：过点O、Q作射线OQ.
∵ QD⊥OA，QE⊥OB ，
∴ ∠QDO =∠ QEO = 90°.
在 Rt△QDO和Rt△QEO中，
∵ OQ = OQ，QD = QE，
∴ Rt △QDO≌Rt △QEO (H.L.),
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD = QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
∴ ∠DOQ =∠EOQ(全等三角形的
对应角相等).
∴点Q在∠AOB的平分线上.
角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
运用角平分线的性质定理的逆定理，可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线．
注意
角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
这两个定理互为逆定理.
思考：通过这两个定理，能证明三角形的三条角平分线交于一点吗？
试一试
证明：三角形的三条角平分线交于一点.
AO是∠BAC的平分线
BO是∠ABC的平分线
OI = OH
OG = OI
OG = OH
点O在∠BCA的平分线上
根据这个思路，你能写出证明过程吗？
练习
1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA = PB
B．PO平分∠APB
C．OA = OB
D．AB垂直平分OP
D
2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC = 50，
DE =14，则△BCE的面积等于________．
350
3.如图，BE = CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB =∠DFC =90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠BDE =∠CDF，
∠DEB =∠DFC，
BE = CF，
∴△BDE≌△CDF(A.A.S.)，
∴DE = DF(全等三角形对应边相等).
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
本节课都学了什么知识？
角平分线的性质定理；
角平分线的性质定理的逆定理；
三角形的三条角平分线交于一点.
课堂小结