3.1.1函数的概念 课件（共19张PPT）

必修一
第三章 函数的概念与性质
第一节-函数的概念及其表示
第一课时-函数的概念
第一节知识结构框图
函数
函数的概念
函数的表示法
定义域
对应关系
值域
解析法
图像法
列表法
本节要点
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。例如，正方形的周长 l与边长x 的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数这个函数与正比例函数 y=4x相同吗?又如，你能用已有的函数知识判断y=x与y=???? ?????是否相同吗? 要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念。
?
引入
函数概念的建构
初中学习的函数概念依赖于实际背景，对“对应关系”的抽象要求较低，而且没有提及变量的变化范围，这就无法确切地表达变量之间的对应关系.另外，从“变量说”到“对应关系说”的必要性，学生最容易接受的也是关注变量变化范围的必要性，因此，教科书采用了四个实例从强调变量变化范围人手，引导学生经历函数概念的建构过程。在对实例的分析中，都是先引导学生用初中所学函数概念进行解释，再通过问题激发认知冲突，使学生感受进一步研究函数的必要性。
问题1，是基于学生在初中学习了一次函数，对解析式 S=350t 不陌生，并且容易说明对确定的时刻t 有唯一的路程S与之对应
问题2的解析式与问题1一致，但因为自变量的变化范围不同，所以是两个不同的函数，因此，对于函数而言，解析式和自变量的变化范围都是确定函数的要素.
安排问题 3，4 的目的是给学生提供更多的从不同角度认识函数要素的机会，特别是认识对应关系对于函数的重要性。
问题1
某“复兴号”高速列车加速到 350 km/h 后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程 S(单位:km) 与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t
这里， t和S 是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S 都有唯一确定的值与之对应，所以 S 是t的函数
思考
有人说:“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到 350 km/h 后，运行1h就前进了350 km”你认为这个说法正确吗?
根据问题 1的条件，我们不能判断列车以 350 km/h 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确，显然，其原因是没有关注到t的变化范围。
下面用更精确的语言表示问题 t中S与的对应关系。
列车行进的路程 S 与运行时间t的对应关系是：S=350t
其中，t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，S是变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}，对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系，在数集 B1中都有唯一确定的路S 和它对应.
建构
函数的概念
问题2
某电气维修公司要求工每周工作至少1天，至多不超过6如果公司确定的工资标准是每人每天350 元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资ω
(单位:元)是他工作天数d的函数吗?
思考
显然，工资 ω 是一周工作天数 d 的函数，其对应关系是：ω=350d。
其中，d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}，ω 的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}。
对于数集 A2中的任一个工作天数 d，按照对应关系，在数集B2中都有唯一确定的工资与它对应。
建构
函数的概念
问题3
如图是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻 t h的空气质量指数(AQI)的值I?你认为这里的I是t的函数吗?
思考
从图中的曲线可知，t的变化范围是数集A3={t|0≤t≤24}，AQI的值I都在数集B2={I|0对于数集A3中的任一时刻t，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集B2中都有唯一确定的 AQI值I与之对应，因此，这里的I是t 的函数
建构
函数的概念
问题4
国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额总支出金额x100%)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.
?
思考
你认为按表给出的对应关系，恩格尔系数r是份y 的函数吗? 如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数?
这里，y 的取值范围是数集 A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}；根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集 B4={r|0＜r≤1}。
对于数集 A4中的任意一个年份 y，根据表所给定的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数 r 与之对应，所以，r 是y的函数。
建构
函数的概念
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}问题情境
自变量的集合
对应关系
函数值所在集合
函数值的集合
问题1
A1={t|0≤t≤0.5}
S=350t
B1={S|0≤S≤175}
B1
问题2
A2={1,2,3,4,5,6}
ω=350d
B2={350,700,1050,1400,1750,2100}
B2
问题3
A3={t|0≤t≤24}
如图
B2={I|0C3(C3?B3)
问题4
A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}
如表
B4={r|0＜r≤1}
C4={0.3669,0.3681,0.3817，0.3569，0.3515，0.3353，0.3387，0,2989，0.2935，0.2857}
建构
函数的概念
通过上表，得出它们的共同特征:
(1)都包含两个非空数集 A，B;
(2)都有一个对应关系f;
(3)尽管对应关系f的表示方法不同，但它们都有如下特性:对于数集 A 中的任意一个数，按照对应关系，在数集 B 中都有唯一确定的数y 和它对应
运用集合与对应的语言，采用统一的符号，就可以得到函数的一般概念.
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系。
一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数x，按照某确定的对应关系f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的函数，记作：y=f(x)，x∈A
其中，x 叫做自变量， x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A)叫做函数的值域。
概念
函数的概念
函数概念的理解
理解
(1) 定义域、值域和对应关系是函数的三个要素，它们是一个不可分割的整体，而对应关系是函数的灵魂。对应关系广还可以用解析式、图象、表格以外的形式来表示，如 Venn 图的形式，也可以用文字语言表述。
(2) 记号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，具体而言是:变量x在对应关系f的作用下对应到y，不能理解为“y等于f与x的乘积”。
通常情况下，f(x)表示变量 y，在不引起混淆的情况下，也将函数y=f(x)简记为 f(x)。
符号 f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量x=a 时函数 f(x)的取值，是一个确定的数；而f(x)表示变量 y，所以，f(a) 是 f(x)的一个特殊值。
(3) 设计表格，用函数的定义解释一次函数、二次函数、反比例函数？
函数的概念
区间
区间
研究函数时常会用到区间的概念，设a，b 是两个实数，而且a(1) 满足不等式 a≤x≤b 的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a，b]；
(2) 满足不等式 a(3) 满足不等式 a≤x这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
这些区间的几何表示如表所示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}定义
名称
符号
数轴表示
{ x | a≤x≤b }
闭区间
[a，b]
{ x | a开区间
(a，b)
{ x | a≤x半开半闭区间
[a，b)
{ x | a半开半闭区间
(a，b]
函数的概念
区间
实数集 R 可以用区间表示为(-∞，+∞)，∞读作“无穷大”，-∞读作“负无穷大”，+∞读作“正无穷大”
如表，我们可以把满足 x≥a，x>a，x≤b，x＜b 的实数 x 的集合，用区间分别表示为[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞，b]，(-∞，b)。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}定义
符号
数轴表示
{ x | a≤x≤b }
[a，b]
{ x | a(a，b)
{ x | a≤x(a，b)
{ x | a(a，b]
函数的概念
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}函数
一次函数
二次函数
反比例函数
a＞0
a＜0
对应关系
y=kx+b(k≠0)
y=ax?+bx+c(k≠0)
y=ax?+bx+c(k≠0)
y=????????
定义域
R
R
R
x≠0
值域
R
[4??????????????4????，+∞)
(-∞，4??????????????4????]
(-∞，0)∪(0，+∞)
函数的概念
函数三要素：定义域、值域、对应关系，其中研究值域需要用到本节课所学的区间，因此，咱们上一部分遗留的小问题就可以得到解决：用函数的定义解释一次函数、二次函数、反比例函数，具体如下表。
区间-注意事项
（1）区间是集合；
（2）区间的左断点必小于右端点；
（3）区间中的元素都是数字，并且必有无限多个；
（4）任何区间均可在数轴上表示出来，一个区间对应数轴上的一条线段，区间中的每个元素均对应数轴上的一个点；
（5）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端必须是圆括号。
函数的概念
区间例题
已知函数f(x)=????+3 + 1????+2 ，
(1) 求函数的定义域；
(2) 求 f(-3)，f(23) 的值；
(3) 当a＞0时，求f(a)，f(a-1)的值
?
解
(1) 使根式????+3有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，使分式1????+2有意的实数x的集合是{x|x≠-2}，所以，这个函数的定义城是：
{xlx≥-3}∩{x|x≠-2}={x|x≥-3，且x≠-2}，即：[-3，-2）∪（-2，+∞）
(2) 将-3与 23 代入解析式，有
f(-3)=?3+3+1?3+2 =-1； f(23)=23+3 + 123+2 =38 + 333
(3) 因为a＞0，所以f(a)，f(a-1)有意义。
f(a)=????+3 + 1????+2 ； f(a-1)=?????1+3+1?????1+2=????+2+1????+1
?
函数的概念