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专题12.2.3 全等三角形中的倍长中线模型
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、 单选题
1．已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不对
【答案】A
【解析】如图，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD＝CD，
又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE
∴△ACD≌△EBD，
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，
∴4＜AE＜20，
∴2＜AD＜10．
故选A．
2．一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7
【答案】D
【解析】如图，AB＝5，AC＝9，AD为BC边的中线，
延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，CE，
∵AD＝x，
∴AE＝2x，
在△BDE与△CDA中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝9，
在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE，
即5+9＞2x，9﹣5＜2x，
∴2＜x＜7，
故选D．
3．老师布置的作业中有这么一道题：
如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC＝3，AD＝4．则AB的长不可能是（ ） A.5 B.7 C.8 D.9
甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点C作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙
【答案】D
【解析】如图，延长AD到E，使得ED＝AD＝4，
则AE＝2AD＝8，
延长AD到E使得AD＝ED＝4，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC，
在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，即8﹣3＜EC＜8+3，
∴5＜EC＜11，
∴5＜AB＜11，
∴AB的长不可能是5；
过C作CE∥AB交AD的延长线于E，
则∠BAD＝∠E，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC，AD＝ED＝4，
∴AE＝2AD＝8，
在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，即8﹣3＜EC＜8+3，
∴5＜EC＜11，
∴5＜AB＜11，
∴AB的长不可能是5；
综上所述，甲说法错误，乙和丙说法正确．故选D．
二、填空题
4．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是 ．
【答案】1＜AD＜4
【解析】如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE＝AB，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
而AB＝3，AC＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜2AD＜8，即1＜AD＜4．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，则∠E＝ ．
【答案】36°
【解析】∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，
在△BMD和△AMC中，，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示：
∵△BMD≌△AMC
∴BD＝AC，
又∵CE＝AC，
∴BD＝CE，
在△BFG和△CFE中，，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，
∴BD＝CE＝BG，
∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．
∴∠BDF＝∠CEF，
∴∠E＝36°．
故答案为：36°．
三、解答题
6．如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．
求证：BE∥CF．
【解析】∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴∠BED＝∠CFD，
∴BE∥CF．
7．如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．
【解析】AF⊥DF，AF＝DF，理由如下：
延长DF交AC于点P，如图所示：
∵BA⊥AC，ED⊥BD，
∴∠BAC＝∠EDA＝90°，
∴DE∥AC，∴∠DEC＝∠ECA，
∵F为EC中点，∴EF＝CF，
在△EDF和△CPF中，，
∴△EDF≌△CPF（ASA），
∴DE＝CP，DF＝PF，
∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，DE＝BD，
∴AB－BD＝AC－DE＝AC－CP，即AD＝AP，
在△DAF和△PAF中，，
∴△DAF≌△PAF（SSS），
∴∠DFA＝∠PFA＝90°，∠DAF＝∠PAF＝45°，
∴AF⊥DF，AF＝DF.
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8．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，当点D为BC中点时，求证：△ABC是等腰三角形．
【解析】（1）解：如图所示，AD就是∠BAC的角平分线；
（2）证明：如图，
延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠BDE＝∠CDA，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC，∠E＝∠CAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠E＝∠BAD，
∴AB＝BE，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
9．如图，AD为△ABC的中线．
（1）求证：AB＋AC＞2AD．
（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【解析】（1）证明：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，
∴AE＝2AD．
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，
在△ABE中，AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD；
（2）解：由①可知AE＝2AD，BE＝AC，
在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，
∵AC＝3，AB＝5，∴5－3＜AE＜5＋3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4.
10．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG＝CF．求证：AD为△ABC的角平分线．
【解析】证明：如图，延长FE到M，使EM＝EF，连接BM．
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△CFE和△BME中，，∴△CFE≌△BME（SAS），
∴CF＝BM，∠F＝∠M，
∵BG＝CF，∴BG＝BM，∴∠3＝∠M，∴∠3＝∠F，
∵AD∥EF，∴∠2＝∠F，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，
即AD为△ABC的角平分线．
11．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围.
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： （用字母表示），
（2）AD的取值范围是 ；
（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90 ，求GF的长.
【解析】（1）在△BED与△CAD中，，
∴△BED≌△CAD（SAS）；
（2）∵△BED＝△CAD，∴BE＝AC＝5，
∵AB＝7，∴2＜AE＜12，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6.
（3）延长GE交CB的延长线于点M，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，
在△AEG和△BEM中，，
∴△AEG≌△BEM（AAS），
∴GE＝EM，AG＝BM＝2，
∵EF⊥MG，∴FG＝FM，
∵BF＝4，∴MF＝BF＋BM＝2＋4＝6，∴GF＝FM＝6.
12．自主学习，学以致用
先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线。延长AD至E，使DE＝AD.在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB＝CE，AB∥CE等结论.
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题。
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF＝AC，连
结并延长BF交AC于点E，求证：AE＝EF.
【解析】证明：延长AD至点G，使得DF＝DG，连接CG，如图所示：
∵AD是中线，∴BD＝DC，
在△BDF和△CDG中，，∴△BDF＝△CDG，
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G，
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠G，
∵BF＝CG，BF＝AC，∴CG＝AC，∴∠G＝∠CAF，
∴∠AFE＝∠CAF，∴AE＝EF.
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD＝2.7，AE＝BE＝5，求CE的长．
【解析】如图，延长AF交BC的延长线于点G．
∵AD∥BC，∴∠3＝∠G，
∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，
在△ADF和△GCF中，，
∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AD＝CG，
∵AD＝2.7，∴CG＝2.7，
∵AE＝BE，∴∠5＝∠B，
∵AB⊥AF，∴∠4＋∠5＝90°，∠B＋∠G＝90°，
∴∠4＝∠G，∴EG＝AE＝5，
∴CE＝EG－CG＝5－2.7＝2.3.
14．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．
【理解与应用】
如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．
【解析】
[探究与发现]
证明：∵DE∥AB，
∴∠B=∠D，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA）；
[理解与应用]
（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，
∵点E是CD的中点，
∴ED=EC，
在△DEF与△CEA中，，
∴△DEF≌△CEA（SAS），
∴AC=FD，
∴∠AFD=∠CAE，
∵∠CAE=∠B，
∴∠AFD=∠B，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD与△AFD中，，
∴△ABD≌△AFD（AAS），
∴BD=FD，
∴AC=BD；
（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，
∴AB=AF=2x，
∵BD=3，AD=5，
在△ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，
解得：1＜x＜4，即x的取值范围是1＜x＜4．
15．如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【解析】（1）如图所示：
（2）如图，
判断：
证明如下：
延长至点，使得，连接
在和中，∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在和中，∵
∴
∴
又∵
∴
16．如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．
求证：①CE=2CD；
②CB平分∠DCE．
【解析】如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中线
∴BD=AD
在△BDF和△ADC中
∴△BDF≌△ADC（SAS）
∴BF=AC，∠1=∠F
∵CB是△AEC的中线
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=BF
∵∠1=∠F
∴BF∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
又∵AC=AB
∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°
∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE和△CBF中
∴△CBE≌△CBF（SAS）
∴CE=CF，∠2=∠3
∴CE=2CD，CB平分∠DCE.
17．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．
【解析】（1）解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝10，
在△CBE中，由三角形的三边关系得：CE BC＜BE＜CE BC，
∴10 8＜AE＜10＋8，即2＜BE＜18，
∴1＜BD＜9；
故答案为：SAS；1＜BD＜9；
（2）解：2BD＝MN，BD⊥MN，理由如下：
延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，如图所示：
由（1）得：△ABD≌△CED，
∴∠ABD＝∠E，AB＝CE，
∵∠ABM＝∠NBC＝90°，
∴∠ABC＋∠MBN＝180°，即∠ABD＋∠CBD＋∠MBN＝180°，
∵∠E＋∠CBD＋∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠MBN，
∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，
∴AB＝MB，BC＝BN，
∴CE＝MB，
在△BCE和△NBM中，，
∴△BCE≌△NBM（SAS），
∴BE＝MN，∠EBC＝∠MNB，
∴2BD＝MN．
延长DB交MN于G，
∵∠NBC＝90°，
∴∠EBC＋∠NBG＝90°，
∴∠MNB＋∠NBG＝90°，
∴∠BGN＝90°，
∴BD⊥MN．
18．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是 ；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
【解析】（1）①证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADB和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS）；
②解：由①知，△ABD≌△ECD，
∴CE＝AB，
∵AB＝5，
∴CE＝5，
∵ED＝AD，AD＝x，
∴AE＝2AD＝2x，
在△ACE中，AC＝3，
根据三角形的三边关系得，5﹣3＜2x＜5+3，
∴1＜x＜4，
故答案为：1＜x＜4；
（2）证明：如图2，延长FD，截取DH＝DF，连接BH，EH，
∵DH＝DF，DE⊥DF，
即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE，
∴△DEF≌△DEH（SAS），
∴EH＝EF，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF，
∴△BDH≌△CDF（SAS），
∴CF＝BH，
∵BE+BH＞EH，
∴BE+CF＞EF．
19．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为腰向△ABC外作等腰三角形ABM和等腰三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝120°，∠NBC＝60°，连接MN．
（1）请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
（2）延长DB交MN于点F，求∠MFB的度数．
【解析】解：（1）MN＝2BD，理由如下：
如图，延长BD至E使DE＝BD，连接AE，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AD，
在△CBD和△AED中，，
∴△CBD≌△AED（SAS），
∴BC＝AE，∠DAE＝∠DCB，
∵BC＝BN，
∴AE＝BN，
∵∠ABM＝120°，∠NBC＝60°，
∴∠MBN+∠ABC＝180°，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠MBN＝∠BAC+∠ACB＝∠BAC+∠DAE＝∠BAE，
∵AB＝BM，
∴△ABE≌△BMN（SAS），
∴BE＝MN，
∴MN＝2BD．
（2）延长DB交MN于点F，
∵△ABE≌△BMN，
∴∠ABE＝∠BMN，
∵∠ABM＝120°，
∴∠ABE+∠MBF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BMF+∠MBF＝60°，
∴∠MFB＝180°﹣60°＝120°．
20．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【解析】证明：（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，，
∴△BEF≌△CED（SAS），
∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，
∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，
∴AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，，
∴△BEF≌△CEG（AAS），
∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，，
∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如图3，
过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，，
∴△BAE≌△CME（AAS），
∴CM＝AB，∠BAE＝∠M，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠M＝∠EDC，
∴CM＝CD，
∴AB＝CD．
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专题12.2.3 全等三角形中的倍长中线模型
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、 单选题
1．已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不对
2．一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7
3．老师布置的作业中有这么一道题：
如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC＝3，AD＝4．则AB的长不可能是（ ） A.5 B.7 C.8 D.9
甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点C作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙
二、填空题
4．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是 ．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，则∠E＝ ．
三、解答题
6．如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．
求证：BE∥CF．
7．如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．
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8．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，当点D为BC中点时，求证：△ABC是等腰三角形．
9．如图，AD为△ABC的中线．
（1）求证：AB＋AC＞2AD．
（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
10．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG＝CF．求证：AD为△ABC的角平分线．
11．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围.
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： （用字母表示），
（2）AD的取值范围是 ；
（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90 ，求GF的长.
12．自主学习，学以致用
先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线。延长AD至E，使DE＝AD.在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB＝CE，AB∥CE等结论.
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题。
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF＝AC，连
结并延长BF交AC于点E，求证：AE＝EF.
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD＝2.7，AE＝BE＝5，求CE的长．
14．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．
【理解与应用】
如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．
15．如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
16．如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．
求证：①CE=2CD；
②CB平分∠DCE．
17．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．
18．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是 ；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
19．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为腰向△ABC外作等腰三角形ABM和等腰三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝120°，∠NBC＝60°，连接MN．
（1）请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
（2）延长DB交MN于点F，求∠MFB的度数．
20．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
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