15.3 分式方程 分层练习 2023—2024学年人教版数学八年级上册（含答案）
文档属性
| 名称 | 15.3 分式方程 分层练习 2023—2024学年人教版数学八年级上册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 50.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-04 15:33:28 | ||
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文档简介
2023年人教版数学八年级上册
《15.3 分式方程》分层练习
基础巩固练习
一 、选择题
1.下列是分式方程的是( )
A.＋ B.＋＝0 C.(x﹣2)＝x D.＋1＝0
2.若x＝3是分式方程﹣＝0的根，则a的值是( )
A.5 B.﹣5 C.3 D.﹣3
3.解分式方程＋＝3时，去分母后变形正确的为( )
A.2＋(x＋2)＝3(x﹣1) B.2﹣x＋2＝3(x﹣1)
C.2﹣(x＋2)＝3 D.2﹣(x＋2)＝3(x﹣1)
4.关于x的方程＝2＋无解，则m的值为( )
A.﹣5 B.﹣8 C.﹣2 D.5
5.分式方程－1＝的解为( )
A.x＝1 B.x＝2 C.x＝－1 D.无解
6.施工队要铺设1 000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务，设原计划每天施工x米，所列方程正确的是( )
A.－＝2 B.－＝2
C.－＝2 D.－＝2
7.某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为( )
A.﹣＝10 B.﹣＝10
C.﹣＝10 D.＋＝10
8.某校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批篮球和足球.已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4 000元，购买篮球用了2 800元，篮球单价比足球贵16元.若可列方程＝－16表示题中的等量关系，则方程中x表示的是( )
A.足球的单价 B.篮球的单价
C.足球的数量 D.篮球的数量
9.某零件加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件，1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)？设安排x人加工A零件，由题意列方程得( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.×30＝×20
10.某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元.若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为( )
A.117元 B.118元 C.119元 D.120元
二 、填空题
11.下列方程：①＝；②x﹣＝3；③＝1；④＝；⑤3x＋＝10；⑥＋＝7，其中是整式方程的有 ，是分式方程的有 .
12.分式方程－＝0的解为x＝________.
13.A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 kg，A型机器人搬运900 kg所用时间与B型机器人搬运600 kg所用时间相等.设B型机器人每小时搬运x kg化工原料，根据题意，可列方程________.
14.A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程____________________.
15.某公司生产了台数相同A型、B型两种单价不同的计算机，B型机的单价比A型机的便宜0.24万元，已知A型机总价值120万元，B型计算机总价值为80万元，求A型、B型两种计算机的单价，设A型计算机的单价是x万元，可列方程 .
16.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支，则该商店第一次购进的铅笔每支的进价是______元.
三 、解答题
17.解分式方程：﹣＝.
18.解分式方程：＋＝1.
19.解分式方程：＝；
20.解分式方程：＝﹣1；
21.对于分式方程＋1＝，小明的解法如下：
解：方程两边同乘(x﹣2)，
得x﹣3＋1＝﹣3①，
解得x＝﹣1②，
检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠0③，
所以x＝﹣1是原分式方程的解.
小明的解法有错误吗？若有错误，错在第几步？请你帮他写出正确的解题过程.
22.某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3 120元购买A型芯片的条数与用4 200元购买B型芯片的条数相等.
(1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6 280元，求购买了多少条A型芯片？
能力提升练习
一、选择题
1.已知a是实数，若分式方程＝1无解，则a的值为( )
A.6 B.3 C.0 D.﹣3
2.解分式方程＋＝3时，去分母后变形为( )
A.2＋(x＋2)＝3(x﹣1) B.2﹣x＋2＝3(x﹣1)
C.2﹣(x＋2)＝3(1﹣x) D.2﹣(x＋2)＝3(x﹣1)
3.甲、乙两船从相距300 km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6 km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
4.若关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是( )
A.m＞－1 B.m≠1 C.m＞1 D.m＞－1且m≠1
5.若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解,且使关于y的方程＝2的解为非负数,则符合条件的所有整数a的和为( )
A.﹣3 B.﹣2 C.1 D.2
6.若﹣2＜a≤2，且使关于y的方程＋＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为( )
A.﹣3 B.﹣2 C.1 D.2
二 、填空题
7.方程＝1的根是x＝ .
8.关于x的方程＝1的解满足x＞0，则a的取值范围是________.
9.定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为 .
10.已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数，则k的取值范围是 .
三 、解答题
11.阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是什么？
经过交流后，形成下面两种不同的答案：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2.
因为解是正数，可得a﹣2＞0，所以a＞2.
小强说：本题还要必须a≠3，所以a取值范围是a＞2且a≠3.
(1)小明与小强谁说的对，为什么？
(2)关于x的方程有整数解，求整数m的值.
12.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年5月份A款汽车的售价比前年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，前年销售额为100万元，去年销售额只有90万元．
(1)去年5月份A款汽车每辆售价是多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7．5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，则该汽车销售公司共有几种进货方案？
(3)如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元．若要使(2)中所有的方案获利相同，则a的值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？
答案
基础巩固练习
1.D
2.A.
3.D
4.A.
5.D
6.A
7.A
8.D
9.A
10.A.
11.答案为：①④⑤，②③⑥.
12.答案为：－1
13.答案为：＝.
14.答案为：﹣＝.
15.答案为：.
16.答案为：4.
17.解：去分母得3﹣2x＝x﹣2，解得x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
故原分式方程的解为x＝.
18.解：去分母，得2＋x(x＋2)＝x2﹣4，
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，(x＋2)·(x﹣2)≠0，
故x＝﹣3是原方程的根.
19.解：(1)方程两边乘x(x﹣3)，得2x＝3(x﹣3).
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x(x﹣3)≠0.
所以，原方程的解为x＝9；
20.解：去分母，得2(1﹣x)＝x﹣(2x﹣4)，解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，2(x﹣2)≠0，
故x＝﹣2是原方程的根；
21.解：有错误，错在第①步，正确解法为：
方程两边同乘(x﹣2)，
得x﹣3＋x﹣2＝﹣3，
解得x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
所以原分式方程的解是x＝1.
22.解： (1)设B型芯片单价是x元，则A型芯片单价是(x－9)元.
根据题意得，＝，解得x＝35，
经检验x＝35是原方程的解.
35－9＝26(元)
故A型芯片单价为26元，B型芯片单价为35元.
(2)设购买a条A型芯片，则购买(200－a)条B型芯片.
26a＋35(200－a)＝6 280，
解得a＝80.
故购买了80条A型芯片.
能力提升练习
1.A
2.D
3.A.
4.D
5.C
6.C
7.答案为：-2.
8.答案为：a<－1 且a≠－2.
9.答案为：或10.
10.答案为：k＞0.5且k≠1.
11.解：(1)小强的说法对，理由如下：
解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2，
因为解是正数，可得a﹣2＞0，即a＞2，
同时a﹣2≠1，即a≠3，则a的范围是a＞2且a≠3；
(2)去分母得：mx﹣1﹣1＝2x﹣4，整理得：(m﹣2)x＝﹣2，
当m≠2时，解得：x＝﹣，
由方程有整数解，得到m﹣2＝±1，m﹣2＝±2，
解得：m＝3，4，0.
12.解：(1)设去年5月份A款汽车每辆售价是m万元，则
＝，解得m＝9．
经检验，m＝9是原方程的解，且符合题意．
答：去年5月份A款汽车每辆售价是9万元．
(2)设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车(15－x)辆．由题意，得
99≤7．5x＋6(15－x)≤105，
解得6≤x≤10．
∵x为自然数，
∴x＝6或7或8或9或10，
∴该汽车销售公司共有5种进货方案．
(3)设总获利为W元，则
W＝(9－7．5)x＋(8－6－a)(15－x)
＝(a－0．5)x＋30－15a．
当a＝0．5时，(2)中所有方案获利相同．
此时总成本＝7．5x＋(6＋a)(15－x)＝(x＋97．5)万元，故当x取6时，总成本最少．
故购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司更有利．
《15.3 分式方程》分层练习
基础巩固练习
一 、选择题
1.下列是分式方程的是( )
A.＋ B.＋＝0 C.(x﹣2)＝x D.＋1＝0
2.若x＝3是分式方程﹣＝0的根，则a的值是( )
A.5 B.﹣5 C.3 D.﹣3
3.解分式方程＋＝3时，去分母后变形正确的为( )
A.2＋(x＋2)＝3(x﹣1) B.2﹣x＋2＝3(x﹣1)
C.2﹣(x＋2)＝3 D.2﹣(x＋2)＝3(x﹣1)
4.关于x的方程＝2＋无解，则m的值为( )
A.﹣5 B.﹣8 C.﹣2 D.5
5.分式方程－1＝的解为( )
A.x＝1 B.x＝2 C.x＝－1 D.无解
6.施工队要铺设1 000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务，设原计划每天施工x米，所列方程正确的是( )
A.－＝2 B.－＝2
C.－＝2 D.－＝2
7.某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为( )
A.﹣＝10 B.﹣＝10
C.﹣＝10 D.＋＝10
8.某校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批篮球和足球.已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4 000元，购买篮球用了2 800元，篮球单价比足球贵16元.若可列方程＝－16表示题中的等量关系，则方程中x表示的是( )
A.足球的单价 B.篮球的单价
C.足球的数量 D.篮球的数量
9.某零件加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件，1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)？设安排x人加工A零件，由题意列方程得( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.×30＝×20
10.某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元.若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为( )
A.117元 B.118元 C.119元 D.120元
二 、填空题
11.下列方程：①＝；②x﹣＝3；③＝1；④＝；⑤3x＋＝10；⑥＋＝7，其中是整式方程的有 ，是分式方程的有 .
12.分式方程－＝0的解为x＝________.
13.A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 kg，A型机器人搬运900 kg所用时间与B型机器人搬运600 kg所用时间相等.设B型机器人每小时搬运x kg化工原料，根据题意，可列方程________.
14.A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程____________________.
15.某公司生产了台数相同A型、B型两种单价不同的计算机，B型机的单价比A型机的便宜0.24万元，已知A型机总价值120万元，B型计算机总价值为80万元，求A型、B型两种计算机的单价，设A型计算机的单价是x万元，可列方程 .
16.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支，则该商店第一次购进的铅笔每支的进价是______元.
三 、解答题
17.解分式方程：﹣＝.
18.解分式方程：＋＝1.
19.解分式方程：＝；
20.解分式方程：＝﹣1；
21.对于分式方程＋1＝，小明的解法如下：
解：方程两边同乘(x﹣2)，
得x﹣3＋1＝﹣3①，
解得x＝﹣1②，
检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠0③，
所以x＝﹣1是原分式方程的解.
小明的解法有错误吗？若有错误，错在第几步？请你帮他写出正确的解题过程.
22.某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3 120元购买A型芯片的条数与用4 200元购买B型芯片的条数相等.
(1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6 280元，求购买了多少条A型芯片？
能力提升练习
一、选择题
1.已知a是实数，若分式方程＝1无解，则a的值为( )
A.6 B.3 C.0 D.﹣3
2.解分式方程＋＝3时，去分母后变形为( )
A.2＋(x＋2)＝3(x﹣1) B.2﹣x＋2＝3(x﹣1)
C.2﹣(x＋2)＝3(1﹣x) D.2﹣(x＋2)＝3(x﹣1)
3.甲、乙两船从相距300 km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6 km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
4.若关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是( )
A.m＞－1 B.m≠1 C.m＞1 D.m＞－1且m≠1
5.若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解,且使关于y的方程＝2的解为非负数,则符合条件的所有整数a的和为( )
A.﹣3 B.﹣2 C.1 D.2
6.若﹣2＜a≤2，且使关于y的方程＋＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为( )
A.﹣3 B.﹣2 C.1 D.2
二 、填空题
7.方程＝1的根是x＝ .
8.关于x的方程＝1的解满足x＞0，则a的取值范围是________.
9.定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为 .
10.已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数，则k的取值范围是 .
三 、解答题
11.阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是什么？
经过交流后，形成下面两种不同的答案：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2.
因为解是正数，可得a﹣2＞0，所以a＞2.
小强说：本题还要必须a≠3，所以a取值范围是a＞2且a≠3.
(1)小明与小强谁说的对，为什么？
(2)关于x的方程有整数解，求整数m的值.
12.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年5月份A款汽车的售价比前年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，前年销售额为100万元，去年销售额只有90万元．
(1)去年5月份A款汽车每辆售价是多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7．5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，则该汽车销售公司共有几种进货方案？
(3)如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元．若要使(2)中所有的方案获利相同，则a的值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？
答案
基础巩固练习
1.D
2.A.
3.D
4.A.
5.D
6.A
7.A
8.D
9.A
10.A.
11.答案为：①④⑤，②③⑥.
12.答案为：－1
13.答案为：＝.
14.答案为：﹣＝.
15.答案为：.
16.答案为：4.
17.解：去分母得3﹣2x＝x﹣2，解得x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
故原分式方程的解为x＝.
18.解：去分母，得2＋x(x＋2)＝x2﹣4，
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，(x＋2)·(x﹣2)≠0，
故x＝﹣3是原方程的根.
19.解：(1)方程两边乘x(x﹣3)，得2x＝3(x﹣3).
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x(x﹣3)≠0.
所以，原方程的解为x＝9；
20.解：去分母，得2(1﹣x)＝x﹣(2x﹣4)，解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，2(x﹣2)≠0，
故x＝﹣2是原方程的根；
21.解：有错误，错在第①步，正确解法为：
方程两边同乘(x﹣2)，
得x﹣3＋x﹣2＝﹣3，
解得x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
所以原分式方程的解是x＝1.
22.解： (1)设B型芯片单价是x元，则A型芯片单价是(x－9)元.
根据题意得，＝，解得x＝35，
经检验x＝35是原方程的解.
35－9＝26(元)
故A型芯片单价为26元，B型芯片单价为35元.
(2)设购买a条A型芯片，则购买(200－a)条B型芯片.
26a＋35(200－a)＝6 280，
解得a＝80.
故购买了80条A型芯片.
能力提升练习
1.A
2.D
3.A.
4.D
5.C
6.C
7.答案为：-2.
8.答案为：a<－1 且a≠－2.
9.答案为：或10.
10.答案为：k＞0.5且k≠1.
11.解：(1)小强的说法对，理由如下：
解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2，
因为解是正数，可得a﹣2＞0，即a＞2，
同时a﹣2≠1，即a≠3，则a的范围是a＞2且a≠3；
(2)去分母得：mx﹣1﹣1＝2x﹣4，整理得：(m﹣2)x＝﹣2，
当m≠2时，解得：x＝﹣，
由方程有整数解，得到m﹣2＝±1，m﹣2＝±2，
解得：m＝3，4，0.
12.解：(1)设去年5月份A款汽车每辆售价是m万元，则
＝，解得m＝9．
经检验，m＝9是原方程的解，且符合题意．
答：去年5月份A款汽车每辆售价是9万元．
(2)设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车(15－x)辆．由题意，得
99≤7．5x＋6(15－x)≤105，
解得6≤x≤10．
∵x为自然数，
∴x＝6或7或8或9或10，
∴该汽车销售公司共有5种进货方案．
(3)设总获利为W元，则
W＝(9－7．5)x＋(8－6－a)(15－x)
＝(a－0．5)x＋30－15a．
当a＝0．5时，(2)中所有方案获利相同．
此时总成本＝7．5x＋(6＋a)(15－x)＝(x＋97．5)万元，故当x取6时，总成本最少．
故购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司更有利．