第5章 相交线与平行线 单元测试 2023--2024学年华东师大版七年级上册数学（含解析）

第5章 相交线与平行线（单元测试）
华师大新版七年级上册数学
一．选择题（共10小题）
1．如图所示各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．4条直线两两相交，有（　　）个交点．
A．1个 B．4个
C．6个 D．以上都有可能
3．下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④
4．如图，如果要把河流中的水引到水池A中，那么在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是（　　）
A．垂线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以边A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于AB于E、BC于D，连接AD，若CD＝3，则BC的长为（　　）
A．6 B．6 C．9 D．3
6．如图，将∠A为30°的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．60° B．45° C．30° D．不确定
7．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）
A．138° B．124° C．116° D．108°
8．下列说法，正确的是（　　）
A．如果两条直线被第三条直线条直线所截，那么同位角相等
B．连接直线外一点到直线上的所有连线中，垂线最短
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
9．如图，AB∥CD，若∠1＝52°，则∠2的大小为（　　）
A．38° B．52° C．128° D．138°
10．如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
二．填空题（共8小题）
11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件 　 　，则有CE∥DF，理由是 　 　．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
12．将一块直角三角板的直角顶点放在长方形直尺的一边上，如∠1＝43°，那么∠2的度数为　 　°．
13．一副三角板按图示摆放，点E恰好落在CB的延长线上，使FD∥BC，则∠BDE的大小为 　 　．
14．如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是 　 　（填序号）．
15．如图，∠1＝83°，∠2＝97°，∠3＝100°，则∠4＝　 　．
16．我校的上午第一节课的下课时间是8：40，此时时针与分针的夹角是 　 　°．
17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AC＝4，点D为AC上任一点，连接BD，过点B，C分别作BE∥CD，EC∥BD，BE与CE交于点E，则线段DE的最小值为 　 　．
18．已知如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝127.5°，则∠BCD﹣∠EAB＝　 　度．
三．解答题（共6小题）
19．如图，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为点A，B，C，∠1＝70°，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．求∠2的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空（数学式或理由）
解：∵DE∥BC，
∴∠2＝　 　，（ 　 　）
∵EF∥AB，
∴　 　＝∠1，（ 　 　）
∴∠2＝∠1．（等量代换）
∵∠1＝70°，
∴∠2＝　 　．
20．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1＝∠2　 　
又∵∠E＝∠1
∴∠E＝∠2　 　
∴AE∥BC　 　
∴∠A+∠ABC＝180°　 　
又∵∠3+∠ABC＝180°
∴∠A＝∠3　 　
∴DF∥AB　 　．
21．已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠AOC和∠BOD的度数．
22．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？
（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
23．【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；
【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；
【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝　 　度．
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　 　度；（直接写出答案）
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．
第5章 相交线与平行线（单元测试）华师大新版七年级上册数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图所示各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据对顶角的定义可知，选项B中的∠1与∠2是对顶角，其余均不是对顶角，
故选：B．
2．4条直线两两相交，有（　　）个交点．
A．1个 B．4个
C．6个 D．以上都有可能
【答案】D
【解答】解：若4条直线两两相交，其位置关系有3种，如图所示：
则交点的个数有1个，或4个，或6个，
故选：D．
3．下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解答】解：①、②、④的两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，
故选：C．
4．如图，如果要把河流中的水引到水池A中，那么在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是（　　）
A．垂线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
【答案】A
【解答】解：在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是：垂线的性质：垂线段最短．
故选：A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以边A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于AB于E、BC于D，连接AD，若CD＝3，则BC的长为（　　）
A．6 B．6 C．9 D．3
【答案】C
【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝30°，
在Rt△ACD中，AD＝2CD＝6，
∴BD＝6，
∴BC＝BD+CD＝6+3＝9．
故选：C．
6．如图，将∠A为30°的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．60° B．45° C．30° D．不确定
【答案】A
【解答】解：如图，过点B作BD∥EF交AC于点D，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵BD∥EF，
∴∠1＝∠ABD，
∵BD∥EF，MN∥EF，
∴MN∥BD，
∴∠2＝∠CBD，
∴∠1+∠2＝∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°．
故选：A．
7．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）
A．138° B．124° C．116° D．108°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝90°，∠1＝48°，
∴∠AGI＝180°﹣∠A﹣∠1＝42°，
∴∠DGH＝∠AGI＝42°，
∵DF∥EC，
∴∠DGH+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠DGH＝180°﹣42°＝138°，
故选：A．
8．下列说法，正确的是（　　）
A．如果两条直线被第三条直线条直线所截，那么同位角相等
B．连接直线外一点到直线上的所有连线中，垂线最短
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【解答】解：A、如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么同位角才相等，故A错误；
B、连接直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短，故B错误；
C、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故C正确；
D、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故D错误；
故选：C．
9．如图，AB∥CD，若∠1＝52°，则∠2的大小为（　　）
A．38° B．52° C．128° D．138°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝52°
∴∠2＝180°﹣∠3＝128°，
故选：C．
10．如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【解答】解：如图，∵∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件 　∠6＝∠D（答案不唯一）　，则有CE∥DF，理由是 　同位角相等，两直线平行（答案不唯一）　．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
【答案】∠6＝∠D（答案不唯一），同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．
【解答】解：满足条件为：∠6＝∠D（答案不唯一），理由如下：
∵∠6＝∠D，
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠6＝∠D（答案不唯一），同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．
12．将一块直角三角板的直角顶点放在长方形直尺的一边上，如∠1＝43°，那么∠2的度数为　47　°．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，
，
∵∠1＝43°，
∴∠3＝∠1＝47°，
∴∠2＝90°﹣43°＝47°．
故答案为47．
13．一副三角板按图示摆放，点E恰好落在CB的延长线上，使FD∥BC，则∠BDE的大小为 　15°　．
【答案】15°．
【解答】解：∵FD∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BDF＝∠ABC＝60°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．
故答案为：15°．
14．如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是 　①②　（填序号）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①由同位角的概念得出：∠A与∠1是同位角；
②由同旁内角的概念得出：∠A与∠B是同旁内角；
③由内错角的概念得出：∠4与∠1不是内错角，错误；
④由内错角的概念得出：∠1与∠3是内错角，错误．
故正确的有2个，是①②．
故答案为：①②．
15．如图，∠1＝83°，∠2＝97°，∠3＝100°，则∠4＝　100°　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
∵∠2＝97°，
∴∠5＝∠2＝97°，
∵∠1＝83°，
∴∠1+∠5＝180°，
∴a∥b，
∴∠4＝∠3，
∵∠3＝100°，
∴∠4＝100°，
故答案为：100°．
16．我校的上午第一节课的下课时间是8：40，此时时针与分针的夹角是 　20　°．
【答案】20．
【解答】解：由题意得：40×0.5°＝20°，
∴此时时针与分针的夹角是20°，
故答案为：20．
17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AC＝4，点D为AC上任一点，连接BD，过点B，C分别作BE∥CD，EC∥BD，BE与CE交于点E，则线段DE的最小值为 　3　．
【答案】3．
【解答】解：∵∠A＝90°，BC＝5，AC＝4，
∴AB＝＝＝3，
∵BE∥CD，EC∥BD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴ED的最小值等于平行线BE与AC之间的距离AB＝3．
故答案为：3．
18．已知如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝127.5°，则∠BCD﹣∠EAB＝　37.5　度．
【答案】37.5．
【解答】解：设∠ADE＝x，
∵DE平分∠ADB，
∴∠EDB＝∠ADE＝x，
又∵ED⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣x，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝2x，∠BCD＝180°﹣（90°﹣x+2x）＝90°﹣x，
∵BD∥AE，
∴∠AED＝∠EDB＝x，
∵∠AED+∠BAD＝127.5°，
∴∠BAD＝127.5°﹣x，∠EAB＝180°﹣（127.5°﹣x+2x）＝52.5°﹣x，
∴∠BCD﹣∠EAB＝（90°﹣x）﹣（52.5°﹣x）＝37.5°．
故答案为：37.5．
三．解答题（共6小题）
19．如图，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为点A，B，C，∠1＝70°，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．求∠2的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空（数学式或理由）
解：∵DE∥BC，
∴∠2＝　∠EFC　，（ 　两直线平行，内错角相等　）
∵EF∥AB，
∴　∠EFC　＝∠1，（ 　两直线平行，同位角相等　）
∴∠2＝∠1．（等量代换）
∵∠1＝70°，
∴∠2＝　70°　．
【答案】∠EFC，两直线平行，内错角相等，∠EFC，两直线平行，同位角相等，70°．
【解答】解：∵DE∥BC
∴∠2＝∠EFC（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠1（两直线平行，同位角相等）
∴∠2＝∠1（等量代换），
∵∠1＝70°，
∴∠2＝70°．
故答案为：∠EFC，两直线平行，内错角相等，∠EFC，两直线平行，同位角相等，70°．
20．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1＝∠2　（角平分线定义）　
又∵∠E＝∠1
∴∠E＝∠2　（等量代换）　
∴AE∥BC　（内错角相等，两直线平行）　
∴∠A+∠ABC＝180°　（两直线平行，同旁内角互补）　
又∵∠3+∠ABC＝180°
∴∠A＝∠3　（同角的补角相等）　
∴DF∥AB　（同位角相等，两直线平行）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：BE是∠ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2（角平分线定义），
又∵∠E＝∠1，
∴∠E＝∠2（等量代换），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠3+∠ABC＝180°，
∴∠A＝∠3（同角的补角相等），
∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行），
故答案为：（角平分线定义），（等量代换），（内错角相等，两直线平行），（两直线平行，同旁内角互补），（同角的补角相等），（同位角相等，两直线平行）．
21．已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠AOC和∠BOD的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为∠COE＝90°，∠COF＝34°，
所以∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝56°，
因为OF是∠AOE的平分线，
所以∠AOE＝2∠EOF＝112°，
所以∠AOC＝112°﹣90°＝22°，
∠EOB＝180°﹣112°＝68°，
因为∠EOD是直角，所以∠BOD＝22°．
22．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？
（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE，∠ADE；
与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BOE＝∠1＝115°，
∵∠BOM＝145°，
∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°，
∴往上弯了30°．
23．【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；
【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；
【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝　25　度．
【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D，理由见解答；
（2）∠BEG+∠GFD的度数为83°；
（3）25．
【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D，
理由：过点E作EP∥AB，
∴∠B＝∠BEP，
∵AB∥CD，
∴CD∥EP，
∴∠D＝∠DEP，
∵∠BED＝∠BEP+∠DEP，
∴∠BED＝∠B+∠D；
（2）过点G作GM∥AB，
由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGM，
∵AB∥CD，
∴GM∥CD，
由（1）可得：∠GFD＝∠D+∠FGM，
∵∠B＝23°，∠EGF＝35°，∠D＝25°，
∴∠BEG+∠GFD＝∠B+EGM+∠D+∠FGM
＝∠B+∠D+∠EGF
＝23°+25°+35°
＝83°，
∴∠BEG+∠GFD的度数为83°；
（3）如图：
∵∠B＝60°，∠F＝85°，
∴∠BNF＝180°﹣∠B﹣∠F＝35°，
∴∠ANE＝∠BNF＝35°，
∵AB∥CD，
∴由（1）可得：∠DEN＝∠ANE+∠D，
∴∠D＝∠DEN﹣∠ANE＝60°﹣35°＝25°，
故答案为：25．
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　110　度；（直接写出答案）
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．
【答案】（1）110；
（2）∠APC＝α+β，理由见解答过程；
（3）当P在BD延长线上时，∠CPA＝α﹣β；当P在DB延长线上时，∠CPA＝β﹣α．
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
故答案为：110．
（2）∠APC＝α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α＝∠APE，β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝α﹣β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝β﹣α．